《人教版七年级数学上册知识点(魔方格).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版七年级数学上册知识点(魔方格).doc（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。 人教版-七年级-数学-上册第1章 有理数 第一节正数与负数正数：就是大于0的（实数）负数：就是小于0的（实数）0既不是正数也不是负数。非负数：正数与零的统称。非正数：负数与零的统称。正负数的认识：1.对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数。例如：-a一定是负数吗？答案是不一定，因为字母a可以表示任意的数。若a表示正数时，-a是负数；当a表示0时，-a就是在0的前面加一个负号，仍是0，0不分正负；当a表示负数时，-a就不是负数了，它是一个正数。2.引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数
2、扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，如6，4，2，0，2，4，6，不能被2整除的数是奇数，如5，4，2，1，3，53.数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数；但研究问题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。4.通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。第二节 有理数有理数定义及分类有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。有理数的分类：（1）按有理数的定义： 正整数 整数 零 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 （2）按有理数的性质分类: 正整数 正数
3、正分数 有理数 零 负整数 负数 负分数有理数除法有理数除法定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。有理数的除法法则：（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。有理数除法注意：0不能做除数； 有理数的除法和乘法是互逆运算；在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。数轴数轴定义：规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。数轴具有三要素：原点、正方
4、向和单位长度，三者缺一不可。数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。用数轴上的点表示有理数： 每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。 1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。 2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。 3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。 数轴的画法： 1.画一条直线（一般画成水平的直线）； 2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；
5、 3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）； 4.选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，。数轴的应用范畴:符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。（如2的相反2）在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。相反数相反数的定义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数的几何意义：在数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数叫做互为相反数。相反数的代数意义：如果两个数的和为零，其中一个数是另一
6、个数的相反数，这两个数称为互为相反数。相反数的特性：1、若a，b互为相反数，则a+b=0; 反之,若a+b=0，则a,b互为相反数；2、在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称； 3、此时，b的相反数为b=(a)=a，那么我们就说“相反数具有互称性”。4、相反数的规律：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。5、相反数的表示方法：a的相反数是-a，-a的相反数是a；a-b的相反数是b-a，b-a的相反数是a-b；a+b的相反数是-（a+b），即-a-b。 (互为)相反数的代数意义：1、只有符号不同的两个数称互为相反数。a和-a是一对互为相反数，a叫
7、做-a的相反数，-a叫做a的相反数。注意：-a不一定是负数。a不一定是正数。（a不等于0）2、若两个实数a和b满足b=a。我们就说b是a的相反数。3、两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。也可以说实数a和b满足a+b=0，则这两个实数a,b互为相反数。相反数的判别：我们在利用相反数的概念进行化简时，很多情况下，把括号里的部分看成一个整体（即想象成一个数a），问题就容易解决。因此要求一个数的相反数，只要在这个数前面叫上“-”，再化简即可。多重符号的化简：1、在一个数前面添加一个“+”好，所得的数与原数相同。2、在一个数前面添加一个“-”号，所得的数就成为原数的相反数。3、对于有三个火三个以
8、上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”号，可以把正号去掉，其次要看“-”号的个数，当“-”号的个数为偶数个时，结果取正，当“-”号的个数为奇数个时，结果取“-”号。绝对值绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用“|”来表示。在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相
9、反数。互为相反数的两个数的绝对值相等。a的绝对值用“|a |”表示读作“a的绝对值”。实数a的绝对值永远是非负数，即|a |0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值a，如|x|=3，,则x=3.绝对值的有关性质：任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； 绝对值等于0的数只有一个，就是0； 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； 互为相反数的两个数的绝对值相等。 绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的
10、符号老确保整个值为正值，也就是当：a=a (a为正值，即a0 时）；a=-a （a为负值，即a0 时）整数就找到这两个数的相同因数；小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。倒数倒数的定义：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就叫做互为倒数。倒数性质：（1）若a、b互为倒数，则ab=1，或，反之也成立；（2）0没有倒数；（3）乘积为-1的两个数互为负倒数，即ab=-1，则ab互为负倒数，反之也成立。倒数的特点：一个正实数（1除外）加上它的倒数 一定大于2。理由：a/b,b/a为倒数当ab时a/b
11、一定大于1，可写为1+(a-b)/b。因为： b/a+(a-b)/a=bb/ab+(ab-bb)/ab=(aa-bb+bb)/ab=aa/ab，又因为ab，所以aaab，所以aa/ab1，所以1+(a-b)/b+aa/ab2，所以一个正实数加上它的倒数一定大于2。当ba时也一样。同理可证，一个负实数（-1除外）加上它的倒数一定小于-2。倒数的求法：1.求一个分数的倒数，例如3/4，我们只须把3/4这个分数的分子和分母交换位置，即得3/4的倒数为4/3。2.求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到。如12，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母
12、交换位置，把分子做分母，分母做分子，则有1/12。即12倒数是1/12。说明:倒数是本身的数是1和-1。（0没有倒数）把0.25化成分数，即1/4再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子.则是4/1再把4/1化成整数，即4所以0.25是4的倒数。也可以说4是0.25的倒数也可以用1去除以这个数，例如0.251/0.25等于4，所以0.25的倒数4.因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使不完整用这种规律。比较有理数的大小比较有理数大小的方法:有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。数轴法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大
13、。2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。绝对值法：1、两个正数比较大小，绝对值大的数大；2、两个负数比较大小,绝对值大的数反而小。差值法：设a、b为任意两有理数，两数做差，若a-b0，则ab ; 若a-b0则a1,则ab；若a/b1,则ab有理数的加法：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数。有理数加法的运算律：（1）加法的交换律 ：a+b=b+a；（2）加
14、法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)。几个有理数相加常用方法：.运用加法运算律把同号的加数相加，再把异号的加数相加；.应用运算律把可以凑整的加数相加；.运用运算律把互为相反数的加数相加。用加法的运算律进行简便运算的基本思路：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。注意事项：有理数的加法与小学的加法有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那
15、一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了。多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。记忆要点：同号相加不变，异号相加变减。欲问符号怎么定，绝对值大号选。有理数的减法：已知两个有理数加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做有理数的减法，减法是加法的逆运算。有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b）。两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成： ab=a+（b）。计算步骤：（1）把减法变为加法；（2）按加
16、法法则进行。有理数减法点拨：1.引进负数之后，对于任意两个有理数都可以求出其差，不存在“不够减”的问题，并有如下结论：大数减小数，差为正数；小数减大数，差为负数；某数减去零，差为某数；零减去某数，差为某数的相反数；相等两数相减，差为零。2.在减法转化为加法时，减数必须同时变成其相反数，即“同时改变两个符号”。有理数的加减混合运算有理数的加减运算顺序：同级运算从左往右（从左往右算）异级运算先二后一（先算二级运算，再算一级运算，、 为二级，+、 -为一级）有括号的先里后外（先算括号里的，再算括号外的）有理数加减混合运算的步骤：（1）把减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式；（2）应用加法的交换律
17、与结合律，简化运算；（3）求出结果。有理数加减混合运算：有理数加法运算总是涉及两个方面：一方面是确定结果的符号，另一方面是求结果的绝对值。法则：（一）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（二）异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（三）一个数同0相加，仍得这个数。步骤：减法化加法省略加号和括号运用加法法则，加法运算律进行简便运算。有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。注：在运用减法法则时，注意两个符号的变化，一是运算符号，减号变成加号，二是性质符号，减数变成它的相反数。有理数的加减混合运算加减混合运算可以通
18、过减法法则，将减法化加法，统一为加法运算。有理数除法有理数除法定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。有理数的除法法则：（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。有理数除法注意：0不能做除数； 有理数的除法和乘法是互逆运算；在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。有理数的乘方有理数乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，
19、a叫做底数，n叫做指数。 22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。习惯上把22叫做2的平方，把23叫做2的立方；当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。乘方的性质：乘方是乘法的特例，其性质如下：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； （3）0的任何（除0以外）次幂都是0； （4）a2是一个非负数，即a20。有理数乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）3=-8，（-2）2=4正数的任何次幂都是正数，0的
20、任何正整数次幂都是0.例如：22=4,23=8,03=0点拨：0的次幂没意义；任何有理数的偶次幂都是非负数；由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；负数的乘方与乘方的相反数不同。乘方示意图：探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。 （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律； （
21、2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。探索规律题题型和解题思路:1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；探索结论型题的一般解题思路是：（1）从特殊情形入手，发现一般
22、性的结论；（2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；（3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。4. 探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。探索存在型
23、题的结论只有两种可能：存在或不存在；存在型问题的解题步骤是：假设存在；推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。 解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。考点名称：有理数的混合运算有理数的混合运算：是一个运
24、算式子中有加有减有乘有除有次方等运算方式的混合运算方式。有理数混合运算的规律：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算。考点名称：科学记数法和有效数字定义：把一个大于10的数表示成a10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种计数法叫做科学记数法。 有效数字：从一个数的左边非0数字其，到末尾数字止，所有数字都是这个数的有效数字。科学记数法的特点：（1）简单：对于数目很大的数用科学记数法的形式表示起来又科学、又简单。（2）科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的，其中一个因数为a（1a
25、10，aN*），另一个因数为10n（n是比原来数A的整数部分少1的正整数）。（3）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。速写法：对于10的指数大于0的情形，数出“除了第一位以外的数位”的个数，即代表0的个数。如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科学记数法写作1.81012或1.8E12。10的指数小于0的情形，数出“非有效零的总数（第一个非零数字前的所有零的总数）”如0.00934593，第一位非零数字（有效数字）9前面有3个零，科学记数法写作9.3459310-3或9.34593E-3。即第一位非零数字前的0的个数为n，就为10-n（n0）科学计
26、数法的基本运算：数字很大的数，一般我们用科学记数法表示，例如6230000000000，我们可以用6.231012表示，而它含义从直面上看是将数字6.23中6后面的小数点向右移去12位。 若将6.231012写成6.23E12，即代表将数字6.23中6后面的 小数点向右移去12位，在记数中如 1. 3104+4104=7104可以写成3E4+4E4=7E4 即 aEc+bEc=(a+b)Ec2. 41047104=3104可以写成4E47E4=3E4 即 aEc-bEc=(a-b)Ec 3. 3000000600000=1800000000000 3e66e5=1.8e12 即 aEMbEN=
27、abE(M+N) 4. -600003000=-20 -6E43E3=-2E1 即 aEMbEN=a/bE(M-N) 5.有关的一些推导 （aEc)2=（aEc)（aEc)=a2E2c （aEc)3=（aEc)（aEc)（aEc)=a3E3c （aEc)n=anEnca10lgb=ab aElgb=ab考点名称：近似数和有效数字近似数：一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些），这一个数称之为近似数。 如：我国的人口无法计算准确数目，但是可以说出一个近似数。比如说我国人口有13亿，13亿就是一个近似数。有效数字：是指从该数字左边第一个非0的数字到该数字末尾的数字个数（有点绕口）。例如：3一共
28、有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字，1.9103有两个有效数字（不要被103迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10n看作是一个单位）。精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。（1）一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；（2）规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求。有效数字注意：近似数的精确度有两种形式：精确到哪一位；保留几个有效数字；对于绝对值较大的数取近似值时，结果一般用科学计数法来表示，如：8 90 000（保留三个有效数字）的近似值，得8 903 0008.90106。对带有计数单位的近似数，如2.3万，他有两个有效数字：2、3，而不是五个有效数字。有效数字的舍入规则：1、当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n位单位数字的0.5就舍掉。2、当保留n位有效数字，若后面的数字大于第n位单位数字的0.5 ，则第位数字进1。3、当保留n位有效数字，若后面的数字恰为第n位单位数字的0.5 ，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数加1。如将下组数据保留三位45.77=45.8 43.03=43.0 38.25=38.2 47.15=47.212 / 12