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1、精品文档精品文档Y4f(x)积分i问题的提出一一求曲边梯形的面积图二中用四个小矩形逼近图二图三中用九个小矩形逼近曲边梯形面积的近似值为:加27即i-1当等分间隔无穷多时：图四2定积分的定义a,b积分区I可上式的这个极限称为函数在区间上的定积分,记为:被积表达式积分变量/W3定积分的几何意义曲边梯形的面积：/丸J/必二乂曲边梯形的面积的负值：图五 图五中曲线与坐标轴所围区域的面积为：Cfxdx 二 -时 +4 览 fl.4定积分的性质当a 二 b时,f(x)(lx 0；oIIIivq T o当a b时,y(x)fZr 二一f(x)fZv. /Cv) 士 g(x)(lx f(x)(lx+gx)dx
2、. kf (x)dx =/(x)(tx (k 为常数. 假设c Q-,in x是工在区间(0,他)内的原函数.原函数并非唯一,如：r-;-,C为任意常数不定积分的定义：在区间内,函数；工的带有任意常数项的原函数称为；工在区间内的不定积分, 记为;任意常数积分变量被积表达式 被积函数 h积分号6积分的根本计算i.由不定积分的定义可知,寻找原函数是计算的关键例如:微分运算与求不定积分的运算是 互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式 .如:(1)韧x二氐+U常数;兀屮1疋必二+031);1lnx + C;ii.定积分是特殊条件下的不定积分MX陀彳但況这称为牛顿一莱布尼茨公式例1：求(arcten1
3、i+?f片 dx = arctan x + CJl + ?例3:求:(2 cos x +sin x-1)必.解：原 5=2siiixc5sx-xV = 3-L J0 2结束语:开展独立思考和独立创新的一般水平,应当始终放在首位,而不应当把知识放在首位.如果一个人掌握了他 的学科的根底理论,并且学会了独立思考与工作,他必定会找到自己的道路.而且比起那些主要以获取细节知识为其 练习内容的人来,他一定会更好适应进步和变化.爱因斯坦7.定积分的根本思想是化整为零、以不变代变,积零为整,再取极限四个局部.1也八 的几何意义是由-：,一 ,丁 一靑,：一围成的曲边梯形的面积代数和.矩形方法就是用小矩形面
4、积代替小曲边梯形的面积,然后求和以获得定积分的近似值见图.试选择一个简单的定积分题目利用 定积分近似计算的矩形公式计算之,观察后者随着节点的增多,计算值与准确值的误差变化.图1定积分的几何意义3.3.3应用实验本实验研究转售机器的最正确时间问题.1.定积分定义面积问题资料在极限局部我们已经讨论抛物线下的面积问题.现在我们讨论一个更一般的面积问题.设函数f(x)在区间a,b上是连续的,且是非负的,如图1所示.如何求由曲线y = f(x) 与直线x =a,x =b与x轴所围成的区域的面积呢？我们现在有两个问题要解决,一是给出面积的定义,一是找出计算面积的方法.微积分 的巨大功绩就在于用干净利落的方
5、法同时解决了这两问题.由图1所示的图形称为曲边梯形.求曲边梯形的面积的方法与求抛物线下的面积的方法是一样的.建I啊辿荐氐图1曲边梯形把区间a,b】分成n份,分点为=b,a = x0 : X! :：:：xn4 : xn小区间的长度分别为Xo= Xi -Xo, Xi 二 X2 - Xi,：Xi=Xi 1 Xi,Xnj = Xn Xn_|.过各分点作平行于 y轴的直线,这些直线把曲边梯形分成n个小曲边梯形,设第i个小曲边梯形的面积为Si (i - 0,1,2, -1).在每个小区间Xi,Xi1 1上,任取一点i,即Xi 一 i -Xi1.过点i引平行于y轴的直线, 交曲线y = f(x)于点pi,点
6、pi的纵坐标为f( i).过pi作平行于x轴的直线,与直线 x =人,x = Xi 1交成一个小矩形,如图2中的阴影局部所示,这个小矩形的面积为f( i). Xi,即坷勺4iXM b.x图2小矩形面积fi)UXiS f( i)*i把n个小矩形的面积加起来,就得到曲边梯形面积S的一个近似值：S ： ff( J* f ( n)n AA f ( i) %=i =n 4令S 二爲 f( i)X符号“ V 为希腊字母,念作“西格玛,它表示一种求和运算.当分点无限增多,即 n无限增大,而小区间的长度,Xi无限缩小时,如果和 Sn的极限存在,我们就很自然地定义曲边梯形的面积为和的极限：心S = lim i
7、- f ( i) xi .XjrO i =由此我们提出的问题也就解决了.由于我们已经给出了曲边梯形面积的定义,并且给出了计算面积的方法, 但是在一般情况下,用求极限的方法去计算面积是太困难了,我们还需要找出更为简便的方法,这将在后面给出.定积分概念的起源与应用定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题.定积分的思想在古代数学家的工作中,就已经有了萌芽.比如古希腊时期阿基米德在公元前 240年左右,就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积.公元263年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想.在历史上,积分观念的形成比微分要早.但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前(17世纪下半叶),
8、有关定积分的种种结果还是孤立零散的,比拟完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后,计算问题得以解决,定积分才迅速建立开展起来.牛顿和莱布尼茨对微积分的创立都作出了巨大的奉献,但两人的方法和途径是不同的.牛顿是在力学研究的根底上,运用 几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上,运用分析学方法引进微积分要领的.牛顿在微积 分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确,胜过牛顿.在对微积分具体内容的研究上,牛顿先有导数概念,后有积分概念；莱布尼兹那么先有积分概念,后有导数概念.虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异,但 殊途同归.各
9、自独立地完成了创立微积分的盛业,荣耀应由他们两人共享.定积分概念的理论根底是极限.人类得到比拟明晰的极限概念,花了大约2000年的时间.在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确.因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论根底还不十分牢靠,有些概念还比拟模糊,由此引起了数学界甚至哲 学界长达一个半世纪的争论,并引发了 “第二次数学危机.经过十八、十九世纪一大批数学家的努力,特别是柯西首先成功地建立了极限理论,魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义,极限概念才完全确立,微积分才有了坚实的根底,也才有了我们今天在教材中所见到的微积分.现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的.一、从阿基米德的穷竭法
10、谈起【引例】从曲线所围图形的面积如图：在区间0,2个等分点丿.,得曲线上点 过这些点分别向轴,轴引垂线,得到阶梯形.它们的面积分别为:-0 2 -1 2 -2 2 -(-1? 2卫皆卜 二咅冷 +总川* + e-K + -+ e.一nnnn=(e) 4-(%)1 + 2%尸 *(%)打 n2 1 - 2 (1 - 2)3 * _n 1- n (1 - e 角lim n -e n) 令？ = f lim = -2i-+打i- 0+0t心2土?(mth)故可得到面积值为为了便于理解阿基米德的思想,我们先引入曲边梯形的概念所谓曲边梯形是指这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条是平行的,第三条与前两
11、条垂直叫做 条曲线弧叫做曲边,这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点.底边,第四条边是一根据这一定义,引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积.运行程序gs0501.m,可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想.阿基米德的做法豁曲边梯形的面枳计算化归为 由多个炖形状的阶梯形的面积之和. BI着小矩影的个数的无限塔多.最 终得到曲边梯形的面积押借助计算机,能更好地展示阿 奴氷德的这一思拒的重要鳩.由图牺可看岀,Z料衣是用的单 调下降函数而心卜是耳的单调 王升函数它们同吋迢近某个面积屋20、曲边梯形的面积计算及：轴设连续函数/20(X偽切) ,求由曲边 y=f(x) ,直线.,:如图,在区间上任
12、意地插入- - 1个分点a.b(2 二呵 迥 _ 5 j 屯 _ X沪 1 J区间分划成个小区间且记小区间的长度为Ax?二占-石_ 二 12/)过每个分点作平行于轴的直线段,这些直线段将曲边梯形分划成.个窄小的曲边梯形,用个窄小的曲边梯形的面积.由于曲边梯形的高在上是连续变化的,在很短小的一段区间上它的变化也很小,即可近似地视为不变.因此,在 每个小区间上,可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高,用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面 积.具体地对第个窄小曲边梯形在其对应区间作为近似高,以矩形面积m近似a】即恥少舒即酗于是,一一:-.很明显地_的长度八越小,近似程度就越好；要
13、使得.=】近似程度越好,只需i：都越来越小.因此,为了得到面积的精确值,我们只需将区间无限地细分,使得每个小区间的长度都趋向于零假设记从而max Al, Ax204 二 lim L/()AxjKb 二 1i三、变速直线运动的路程设某物体作直线运动,速度是时间间隔上的连续函数,且v(f)0,求物体在时间间隔内所经过的路程.在时间间隔 恥 内任意地插入 1个分点将分划成个时间区间由冷血切【m忙山各时间区间的长度依次为记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为人冲Aj3 *A必在时间间隔,物体所经过的路程A二的近似值为箱日百-1山$二1,2,/即：将物体在ft-b y上的速度视为不变的,以h;来近似代替.很自然地,当这一时间间隔段很短时,这种近似是合理的.于是可给出的近似值s二为山严堵Mgi=l i=l为得到1的精确值, 只需让每个小时间间隔段的长度 Af血2也戯 均趋向于零.假设记A - maxA人勺馅他Js= lim Sv(JAf；JlTOj 二上述两例,尽管其实际意义不同,但有两点是一致的.1、曲边梯形的面积值由高 J 二 /X 及的变化区间来决定;变速直线运动的路程由速度1呗 及！的变化区间 R,阴 来决定.2、计算-与的方法、步骤相同,且均归结到一种结构完全相同的和式极限.我们可给出定积分概念.抛开这些问题的具体实际意义,抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括,