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1、高中数学新课标人教A版必修二高考数学按章节分类汇编 第二章点直线平面之间的位置关系 试题2012年高考数学按章节分类汇编(人教A必修二) 第二章点直线平面之间的位置关系 一、选择题 1 (2012年高考(浙江文)设是直线,a,是两个不同的平面 ( ) lA(若?a,?,则a? B(若?a,?,则a? llllC(若a?,?a,则? D(若a?, ?a,则? llll2 (2012年高考(四川文)下列命题正确的是 ( ) A(若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B(若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C(若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个
2、平面的交线平行 D(若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 23 (2012年高考(浙江理)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在,的直线进行翻着,在翻着过程中, ( ) A(存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B(存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C(存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D(对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 4 (2012年高考(四川理)下列命题正确的是 ( ) A(若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B(若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平
3、行 C(若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D(若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5 (2012年高考(上海春)已知空间三条直线lmn、.若l与异面,且l与异面,则 mn答 ( ) A(与异面. B(与相交. mnmnC(与平行. D(与异面、相交、平行均有可能. mnmn二、填空题 MNCD6(2012年高考(四川文)如图,在正方体中,、分别是、ABCDABCD,CC11111DN的中点,则异面直线与所成的角的大小是_. AM1EF,7(2012年高考(大纲文)已知正方形中,分别为,的中点,ABCDABCD,CCBB111111D1C1AE那么异面直
4、线与所成角的余弦值为_. DF1B1A1NMN8( 2012年高考(四川理)如图,在正方体ABCDABCD,中,、分别1111DCMCDDN是、CC的中点,则异面直线AM与所成角的大小是_. 11AB9(2012年高考(大纲理)三棱柱中,底面边长和侧棱长都相ABCABC,111等,则异面直线与所成角的余弦值为_. ，,，,:BAACAA60BCAB1111三、解答题 10(2012年高考(重庆文)(本小题满分12分,(?)小问4分,(?)小问8分)已知直三棱柱中,为的中点.(?)求异面直线和AB,4ACBC,3DABABCABC,CC1111的距离;(?)若,求二面角的平面角的余弦值. ABA
5、BAC,ACDB,111111(2012年高考(浙江文)如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-ABCD中,AD?BC,AD?1111AB,AB=.AD=2,BC=4,AA=2,E是DD的中点,F是平面BCE与直线AA的交点. 211111(1)证明:(i)EF?AD; 11(ii)BA?平面BCEF; 111(2)求BC与平面BCEF所成的角的正弦值. 111PABCD,ABCD12(2012年高考(天津文)如图,在四棱锥中,底面是矩PDCD,2形,. ADPDBCPC,1,23PABC(I)求异面直线与所成角的正切值; PDC,ABCD(II)证明平面平面; PBABCD(III)求直线与
6、平面所成角的正弦值. 13(2012年高考(四川文)如图,在三棱锥PABC,，,APB90，,PAB60中,点在平面内的射影在ABBCCA,PABCOAB上. (?)求直线与平面所成的角的大小; PCABC(?)求二面角的大小. BAPC,PCAB14(2012年高考(上海文)如图,在三棱锥P-ABC中,PA?底面ABC,D是 P ,PC的中点.已知?BAC=,AB=2,AC=2, 32D PA=2.求: A (1)三棱锥P-ABC的体积; (2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三 B C 角函数值表示). ,15(2012年高考(陕西文)直三棱柱ABC- ABC中,AB=A A ，
7、CAB1111 ,=2(?)证明; CBBA,11(?)已知AB=2,BC=,求三棱锥 的体积. CA,AB511ABD16(2012年高考(山东文)如图,几何体是四棱锥,?为正三角EABCD,CBCDECBD,形,. (?)求证:; BEDE,(?)若?,M为线段AE的中点, BCD,:120求证:?平面. DMBEC/ABCABC,，,BAC9017(2012年高考(辽宁文)如图,直三棱柱, /ABBCAA=1,点M,N分别为和的中点. ABAC,2,/AACC(?)证明:?平面; MN/AMNC,(?)求三棱锥的体积. 1(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高) 318(201
8、2年高考(课标文)如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,?ABCABC,1111ACB=90?,AC=BC=AA,D是棱AA的中点. 112(I) 证明:平面?平面 BDCBDC11(?)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. BDC119(2012年高考(江西文)如图,在梯形ABCD中,AB?CD,E,F是线段AB上的两点,且DE?AB,CF?AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将?ADE,?CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点2重合与点G,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG?平面CFG; (2) 求多面体CDEFG的体积. 20(2012年高考(湖南文)如图6,
9、在四棱锥P-ABCD中,PA?平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD?BC,AC?BD. (?)证明:BD?PC; (?)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30?,求四棱锥P-ABCD的体积. P ADCB21(2012年高考(湖北文)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上不是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱ABCDABCD,1111柱. ABCDABCD,2222(1) 证明:直线平面; BD,ACCA1122(2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知(单位:厘米),每平方厘米的加工处理A
10、BABAAAA,10,20,30,1311210.20费为元,需加工处理费多少元? 22(2012年高考(广东文)(立体几何)如图5所示,在四棱锥中,平面AB,PABCD,?,是的中点,是上的点且PADABPDAD,EPBFCDDC1,为中边上的高. PH,PADADDFAB,2(?)证明:平面; PH,ABCDAD,2(?)若,求三棱锥的体积; PH,1FC,1EBCF,(?)证明:平面. EF,PAB23(2012年高考(福建文)如图,在长方体中,ABCDABCD,ABADAAM,1,2,11111为棱上的一点. DD1(1)求三棱锥的体积; AMCC,1(2)当取得最小值时,求证:平面M
11、AC. AMMC，BM,11PABCD,ABCDPA,24(2012年高考(大纲文)如图,四棱锥中,底面为菱形,底面ABCDPA,2EPCPEEC,2,是上的一点,. AC,22PC,BED(?)证明:平面; APBC,PDPBC(?)设二面角为90?,求与平面所成角的大小. P E A D B C 25(2012年高考(北京文)如图1,在Rt?ABC中,?C=90?,D,E分别是AC,AB上的中点, 点F为线段CD上的一点.将?ADE沿DE折起到?ADE的位置,使AF?CD,如图2. 11(1)求证:DE?平面ACB; 1(2)求证:AF?BE; 1(3)线段AB上是否存在点Q,使AC?平面
12、DEQ?说明理由. 1126(2012年高考(安徽文)如图,长方体中,底面是正方形, ABCD,ABCDABCD11111111是的中点,是棱上任意一点. OBDEAA1(?)证明: ; BD,EC1(?)如果AB=2,AE=, , 求 的长. OE,ECAA211PA27(2012年高考(天津理)如图,在四棱锥PABCD,中,丄平面ABCD,AC丄0P，ABC=45ADABPAAD=2BCAC=1,丄,. ADPC(?)证明丄; APCD,(?)求二面角的正弦值; 030PA(?)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长. B AC D128(2012年高考(新课标理)如
13、图,直三棱柱中,D是棱ABCABC,ACBCAA,11112的中点, DC,BDAA11(1)证明: DC,BC1(2)求二面角的大小. A,BD,C112329(2012年高考(浙江理)如图,在四棱锥PABCD中,底面是边长为的菱形,且26?BAD=120?,且PA?平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点. (?)证明:MN?平面ABCD; (?) 过点A作AQ?PC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值. 30(2012年高考(重庆理)(本小题满分12分(?)小问4分(?)小问8分) 如图,在直三棱柱 中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点 ABC,ABC111(
14、?)求点C到平面 的距离; AABB11(?)若,求二面角 的平面角的余弦值. ABAC,ACDC,1111PABC,31(2012年高考(四川理)如图,在三棱锥，,APB90，,PAB60PAB,ABBCCA,中,平面平ABC面. PCABC(?)求直线与平面所成角的大小; PCAB(?)求二面角的大小. BAPC,32(2012年高考(上海理)如图,在四棱锥-中,底面是矩形,?底面,PABCDABCDPAABCDE是的中点.已知2, PCAB=AD=2,PA=2.求: 2P 三角形的面积; (1)PCD(2)异面直线与所成的角的大小. BCAEE D A B C 1M33(2012年高考(
15、上海春)如图,正四棱柱的底面边长为,高为2,ABCDABCD,1111AB为线段的中点.求: (1)三棱锥的体积; CMBC,1DC11(2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示) CDMC1A1B1CD34(2012年高考(陕西理)(1)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条b,aAB直线(不垂直于),是直线在上的投影,若ab,则ac,”为真. bb,cM (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明) ABCD35(2012年高考(山东理)在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,AB?,平面CD，,DABFC60,ABCDAEBDCBCDCF,. BD,AED(
16、?)求证:平面; 求二面角的余弦值. (?)FBDC,36(2012年高考(辽宁理) 如图,直三棱柱/ABCABC,，,BAC90, /ABBC点M,N分别为和的中点. ABACAA,/AACC(?)证明:MN?平面; /AMNC,(?)若二面角为直二面角,求,的值. ABACAABC,5,437(2012年高考(江西理)在三棱柱中,已知,ABCABC,1111在在底面ABC的投影是线段BC的中点O。 A1EAEOE,(1)证明在侧棱上存在一点,使得平面,并求出的长; BBCCAA111(2)求平面与平面BBCC夹角的余弦值。 ABC1111ABCABC,ABAC,DE，38(2012年高考(
17、江苏)如图,在直三棱柱中,分别是棱1111111BCCC，BCADDEF,，上的点(点 不同于点),且为的中点. DC111BCCB求证:(1)平面平面; ADE,11AF/(2)直线平面. ADE139(2012年高考(湖南理) 如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA?平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,?DAB=?ABC=90?,E是CD的中点. 证明:CD?平面PAE; (?)(?)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积. P A D ，,ACB4540(2012年高考(湖北理)如图1,BC,3过E B C 动点A作,垂足D在线段
18、BC上且异于点B,连接AB,ADBC,图5 ，,BDC90沿AD将?ABD折起,使(如图2所示). (?)当BD的长为多少时,三棱锥的体积最大; ABCD,E(?)当三棱锥的体积最大时,设点,M分别为棱,的中点,试在 ABCD,BCAC棱上确定一点,使得BM,并求与平面所成角的大小. CDNEN,ENBMNA A M D B C . C ? D B E 图2 图1 41(2012年高考(广东理)如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平PA,PABCD,ABCD面,点在线段上,平面. EBDEABCDPCPC,(?)证明:平面; BD,PAC(?)若,求二面角的正切值. PA,1AD,2BPCA,
19、42(2012年高考(福建理)如图,在长方体中ABCDABCD,1111ABADE,1,为中点. CD(?)求证: BEAD,11PAP(?)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,DP/BAEAA11说明理由. AB(?)若二面角的大小为,求的长. 30:ABEA,1143(2012年高考(大纲理)(注意:在试题卷上作答无效)如图,(PA,四棱锥PABCD,中,底面ABCD为菱形,底面PAE,2,是上的一点,. ABCDPCPEEC,2AC,22PBED(1)证明:PC,平面; PDAPBC,90:PBC(2)设二面角为,求与平面所成角的大小. EA BD C44(2012年
20、高考(北京理)如图1,在Rt?ABC中,?C=90?,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点, 且DE?BC,DE=2,将?ADE沿DE折起到?ADE的位置,使AC?CD,如图2. 11(1)求证:AC?平面BCDE; 1(2)若M是AD的中点,求CM与平面ABE所成角的大小; 11(3)线段BC上是否存在点P,使平面ADP与平面ABE垂直?说明理由. 1145(2012年高考(安徽理)平面图形如图4所示,其中是矩ABBACCBBCC11111形, BCBB,2,4ABAC,21ABAC,5.现将该平面图形分别沿和折叠,使与所在平BC,ABC,ABCBC111111111面都 与平面
21、垂直,再分别连接,得到如图2所示的空间图形,对此空间图BBCCAABACA,11111形解答 下列问题. (?)证明:; (?)求的长; AAAABC,11(?)求二面角的余弦值. ABCA,1参考答案 一、选择题 1. 【答案】B 【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质. 【解析】利用排除法可得选项B是正确的,?a,?,则a?.如选项A:?a,?lllll,时, a?或a?;选项C:若a?,?a,?或;选项D:若若a?, ?a,llll?或?. l2. 答案C 解析若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直
22、线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确. 点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 3. 【答案】B 】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知【解析选项B是正确的. 4. 答案C 解析若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂
23、直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确. 点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 5. D 二、填空题 6. 答案90 解析方法一:连接DM,易得DN?AD ,DN?DM, 1111所以,DN?平面AMD, 11又AM平面AMD,所以,DN?AD,故夹角为90 ,11111方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD为x, y, z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正1方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A(2,0,2) 1DN,(0,2,1)，MA,(2，,1,2)故,
24、1DN,MA1所以,cos = 0,故DN?DM,所以夹角为90 ，DN，MA，,11|DN|MA|1点评异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 7. 【解析】正确的是? ABCD?四面体每个面是全等三角形,面积相等 ;180ABCD?从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 ?连接四面体每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ABCD?从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 ABCD8. 解析方法一:连接DM,易得DN?AD ,DN?DM, 1111所以,DN?平面AM
25、D, 11平面AMD,所以,DN?AD,故夹角为90 又AM,11111方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD为x, y, z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正1方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A(2,0,2) 1故, DN,(0,2,1)，MA,(2，,1,2)1DN,MA1所以,cos = 0,故DN?DM,所以夹角为90 ，DN，MA，,11|DN|MA|169. 答案 6【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可. ABABAABCACAAAB,，,，,【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有,则1111222
26、2|()222cos603ABABAAABABAAAA,，,，,，,，:, 111122222|()2222BCACAAABACAAABACAAACABAAAB,，,，,11111ABBCABAAACAAAB,，,，,()()而 1111,，,，,，,ABACABAAABABAAACAAAAAAAB111111111,，,，,1112222ABBC,1611 ？,cos,ABBC116|ABBC23,11三、解答题 110. 【答案】:(?)(?) 3,【解析】:(?)如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点,故CD AB.又直三棱柱中, CC,122ABCCD=5BCBD,面 ,故
27、,所以异面直线 和AB的距离为 CCCC,CD11CD,(?):由CD,CD,ABBB故 面 ,从而CD,DA ,CD,DBAABB11111故 为所求的二面角的平面角. ，ADBACDB,1111因是AC在面上的射影,又已知 由三垂线定理的逆定理得ADAABBABA,C,111111从而,都与互余,因此，,，AABADA,所以ABA,D,，AAB，ADA，BAB111111111AAAB2111?,因此得 AAADAB,8RtAADRtBAA,111111ADAA122从而 ADAAADBDAD=23,23，,1111222ADDBAB，,11111所以在中,由余弦定理得 ADBcosADB
28、,111123ADDB,1111. 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行,线面垂直和线面角的计算,注重与平面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力. (1)(i)因为, 平面ADD A所以平面ADD A CBAD/CB,CB/11,11.11111111又因为平面平面ADD A,所以.所以. CBEF/ADEF/BCEF11=EF111111(ii) 因为,所以, BBABCD,BBBC,11111111又因为,所以, BBBA,BCABBA,1111111在矩形中,F是AA的中点,即ABBA112tantan，,，,ABFAAB.即 1112,故. ，,，ABFAABBA
29、BF,11111所以平面. BCEFBA,111(2) 设与交点为H,连结. BABFCH111由(1)知,所以是与平面所成的角. 在矩形BCEFBCBCEF，BCHABBA1111111144BH,BH,BC,23中,得,在直角中,得 AA,2BHCAB,21116630BH30,所以BC与平面所成角的正弦值是. BCEFsin，,BCH11115BC151PABCD,12. 解:(1)如图,在四棱锥中,因为底面ABCDADBC,ADBC/是矩形,所以,且,ADPD,，PAD又因为,故或其补角是异面PABC直线与所成的角. PDRtPDA,在中,所以异tan2，,PADADPABC面直线与所
30、成角的正切值为2. (2)证明:由于底面是矩形,故,又由于,因ABCDADCD,ADPD,CDPDD,此平面,而平面,所以平面平面. AD,PDCAD,ABCDPDC,ABCD(3)在平面内,过点作交直线于点,连接.由于平面PDCPPECD,CDEEBPDC,平面,由此得为直线与平面所成的角. ABCD，PBEPBABCD在中,可得 ,PDC，,:PCD30PDCDPC,2,23在中, RtPEC,PEPC,:,sin303ADBCAD/,由平面,得平面,因此 PDCBC,PDCBCPC,PE3922在RtPCB,中,在RtPEB,中, PBPCBC,，,13sin，,PBEPB1339所以直
31、线PB与平面ABCD所成角的正弦值为. 13，OCP为直线PC与平面ABC13. 解析(1)连接OC. 由已知,所成的角 设AB的中点为D,连接PD、CD. ,AB. 因为AB=BC=CA,所以CD，APB,90:，PAB,60:，所以,PAD为因为等边三角形, 不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4. 322所以CD=2OD，CD,1，12,13,OC=. 3OP339,OCP中，OPC,在Rttan OC1313,AP(2)过D作DE于E,连接CE. ,由已知可得,CD平面PAB. 据三垂线定理可知,CE?PA, ，CED为二面角BAPC的平面角所以,. 由(1)知,DE= 3CD
32、23在Rt?CDE中,tan ，CED,2DE3二面角BAPC的大小为arctan2故 点评本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值). 114. 解(1)S,，2，23,23, ,ABC2P 三棱锥P-ABC的体积为 4311V,S，PA,，23，2, ,ABC333E D A 取的中点,连接、,则 (2)PBEDEAE?,所以?(或其补角)
33、是异面直线 EDBCADEB C 与所成的角 BCAD在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2, 222332，2,2cos，ADE,所以?ADE=. arccos2，2，2443因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是 arccos415. 解:()如图，连接，由直三棱柱可知1,AB，:？,？,CAB=90，AC平面ABBA，ACBA1111 又ABCAAC,？,？,AABAABABBBA,.111111()，2251ABAAACAC,？,BC=，111112又平面ACABAVSAC,？,，,21.CABAABA,1111111133316. 证明:(I)设BD中点为O,连接OC,OE,
34、则由知, BCCD,COBD,又已知,所以BD,平面OCE. CEBD,所以,即OE是BD的垂直平分线,所以BEDE,. BDOE,MNDN,(II)取AB中点N,连接,?M是AE的中点,?, BEMN?ABD是等边三角形,?.由?BCD=120?知,?CBD=30?, DNAB,所以?ABC=60?+30?=90?,即,所以ND?BC, BCAB,所以平面MND?平面BEC,又DM平面MND,故DM?平面BEC. ,AD,BCF另证:延长相交于点,连接EF.因为0，ABC,90CB=CD,. 因为?ABD为正三角形,所以000，AFB,30,则, ，BAD,60,，ABC,901AB,AD所
35、以,又, AB,AF2所以D是线段AF的中点,连接DM, DM/EF又由点M是线段AE的中点知, DM,EF,而平面BEC, 平面BEC,故DM?平面BEC. 17. 【答案与解析】 ABB(1) 证明:取中点P,连结MP,NP,而M,N分别是A与 BC的中点,所以, AACACMP?A,PN?,所以,MP?平面AC,PN?平面MPNPp,AC,又,因此平面MPN?平面AC,而MN平面MPN,所以,MN?平ACAC,面AC, AC,(?)(解法一)连结BN，由题意?,面?面=, ANBCABCBBCCBC1,?面NBC， ?=1, ANANBC2111 ?. VVVV,AMNCNAMCNABC
36、ANBC,226111(解法2) VVVV,AMNCANBCMNBCANBC,226【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积. 18. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】(?)由题设知BC?,BC?AC,?BC,面, 又CCCCACC,ACCA1111?面,?, ACCADCBC
37、,DC,11110090由题设知,?=,即, ，,，,ADCADC45，CDCDCDC,1111DCBCC,BDC又?, ?面, ?面, DCDCBDC,111BDC?面?面; BDC1112，1AC(?)设棱锥的体积为,=1,由题意得,=, BDACC,VV，11111232V由三棱柱的体积=1, ABCABC,111?=1:1, ?平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1. ():VVV,BDC111AC,BC,a法二:(I)证明:设,则, AA,2a1DA,平面ABCDA,AC因侧棱垂直底面,即,所以, 1又D是棱AA的中点,所以 DA,AA,a112Rt,DAC在中,由勾股定理得: ; D
38、C,2a同理,又, DC,2aCC,AA,2a111222所以:, DC，DC,CC11即有 CD,CD？(1)1平面,所以, 因ABCAA,AA,BC110，ACB,90又,所以 ,所以侧面,而平面, AC,BCBC,ACCACD,ACCA11111BCD所以:;由(1)和(2)得:平面, BC,CD？(2)CD,11BDC又平面 ,所以平面平面 CD,BCDBDC,111(II) 平面BDC分此棱柱的下半部分可看作底面为直角梯形,高为的一个四BCACCD111121a，a,3V,V,S,BC,a,a,a棱锥,其体积为:, ,下B,ACCDACCD113322,13该四棱柱的总体积为, V,
39、S,AA,a,a,2a,a,ABC1213所以,平面BDC分此棱柱的上半部的体积为V,V-V,a 1下上2所以 ,所求两部分体积之比为 1:1 19. 【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,则折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以可得EGGF, CFEGF,底面EGCFG,面又因为,可得CFEG,即所以平面DEG?平面CFG. (2)过G作GO垂直于EF,GO 即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为1112 SGO,，,5520正方形DECF33520. 【解析】(?)因为 PAABCDBDABCDPABD,平面平面所以,.ACBDPAAC,又,是平面PAC内的两条相较直线
40、,所以BD平面PAC, PC,BDPC,而平面PAC,所以. ,(?)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(?)知,BD平面PAC, ,30，DPO，DPO所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而. ,PO,BDPO,由BD平面PAC,平面PAC,知. ,30RtPOD，DPO中,由,得PD=2OD. 在AODBOC,ACBD,因为四边形ABCD为等腰梯形,所以均为等腰直角三角形, 111从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 ADBC，,，,(42)3,2221 S,，,(42)39.22在等腰三角形AOD中, ODAD,22,222PDODPAPDAD,242,4.所以 11故四棱锥的
41、体积为. PABCD,VSPA,，,，,941233PADECB 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一,，DPO问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(?)知,BD平面PAC,所以是直线PD1和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积. VSPA,，321. 【解析】(1)因为四棱柱的侧面是全等的矩形,所以ABCDABCD,2222AAABAAAD,22ABADA,ABCD又因为,所以平面 AA,2BDBD,ABCD连接,因为平面,所以 AABD,2ABCDACBD,BD因为底面是正方形,所以.根据棱台的定义可知,与共面. BD1
42、1ABCD/又已知平面平面,且平面平面ABCDBBDD,111111ABCDBD, 平面ABCDBD,所以BDBD/,于是 BBDD,1111111111由,可得, AABDACBDBDBD,/AABD,ACBD,21121111又因为,所以平面. AAACA,BD,ACCA21122(2)因为四棱柱的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以 ABCDABCD,2222222SSSABABAAcm,，,，,，,()410410301300() ABCD1222四个侧面2222又因为四棱台的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以 ABCDABCD,111112SSSABABABh,，,，(
43、)4()21111ABCD四个侧面梯形等腰梯形的高11112112222,，,cm204(1020)13(2010)1120()222于是该实心零部件的表面积为,故所需加工处理SSScm,，,，,0()12费为0.20.22420484S,，,(元) 【点评】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四归的能力.线线垂直,棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查. 22. 解析:(?)因为AB,平面PAD,PH,平
44、面PAD,所以ABPH,.又因为PH为,PADABADA,中边上的高,所以.,平面,平面,ADPHAD,AB,AD,ABCDABCD所以PH,平面. ABCD112(?),因为E是PB的中点,PH,平面,所以ABCDSFCAD,，,12,BCF222111h,点E到平面的距离等于,即三棱锥的高,于是ABCDEBCF,PH,22211212. VSh,，,EBCFBCF,332212(?)取PA中点,连接、.因为E是PB的中点,GGDGE1GEAB,所以且?AB.而F是上的点且GEDC21DFABDF,?,所以且?.所GEDF,GEDFAB,2EF以四边形是平行四边形,所以?.而GDFEGDPD
45、AD,AB,所以.又因为平面GDPA,ABPAA,PADPADAB,PABPA,平面,所以.而,平面,平面GD,ABGD,PABPABEF,PAB,所以平面,即平面. GD,23. 【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想. ,【解析】(1)又长方体AD平面CDDC.点A到平面CDDC的距离AD=1, 11111111?=21=1 ,? SVADS,CCCD，MCC1AMCCMCC,1112233(2)将侧面绕逆时针转动90?展开,与侧面共面.当,M,C共线CDDCADDADDA111111时, +MC取得最小值AD=CD=