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1、“数列的求和”例题解析例1.求下列数列的前n项和5：1(1)11 (2) 2331 24213石，(n 81 234 ,331，1+ 21尹)1 213514，361尹1+42+ . 32n，；12*，1解(1)Sn=1123(n -)48i 21 1=(1 + 2+ 3+-+ n) + (241-)2n)n(n +1)2n(n 1)12 _2n12 1212(2)S n =234 -2nJ-+2n333333111222=(_ +3+33+ 32n-1) + (32 +34+ + 2n31121(12n )2(12n )33331V1121 -233=1+51飞(1 一齐)1 111an =
2、 1n242n4_ 2 _ 才二1 11二 Sn = (2 + 2 + + 2)-(1 + + + +n-1 )2 4(3)先对通项求和12 n-1 ),1=2n (1+ +21 =2n 2 +例2.求和:n(n 1) (2n -1)(2n 3)(3n - 1)(3n 2)(1) 1n(n + 1) n- Sn / I) A1 2 2-1)(丄3-七）1二1 -n 11(2n - 1)(2n + 3)4(2n -112n 3)1亠 .92n -31 1 1 2n 1 2n -1 2n 31 11111:51一5 3一7 51 1 1=41一1_3 2n 1 2n 3 n(4n 5)3(2 n
3、1)(2 n 3)1 1(3) (3n - 1)(3n +2) 一 3(3n -113n 2)6n 41盲）（乔一齐）例3. 求下面数列的前n项和:1 11+1, a+4，a2+7，i+ (3n 2),a分析：将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以 组成以3n- 2为通项的等差数列，分别求和后再合并。解设数列的通项为0，前n项和为Sn1-为公比的等比数列，另一个数a 1则 an = n J + (3n - 2)a1 1 1Sn=(12-j) + 1 + 4 + 7 + + (3n _ 2)a aa当a = 1时,Sn1(3n - 2) n 3n2 n=n +当1时,说明11 一孑 (1 3n
4、 - 2)nan -1(3n 1)n12a - a1 -a等比数列的求和问题，分 q=1与q工1两种情况讨论。Snn n -1 a - a57a2a3的前n项之和是()6n3n亠 6(n-1)-A.B.C.D.n 1n 1n解设数列357,，的通项为bn .a1a2a33【例4】.设ak = 12 + 22 + k2(k N*)，则数列 a1则bn6(n1)n 22n 1an又J an = 12 + 2 + n21n(n+ 1)(2 n + 1)6bn61 1=6( ) n(n + 1)nn + 1数列bn的前n项和Sn=b1+ b2+ bn=6(1 -1=6(1 211 .3n)6nn +
5、1例5.求在区间a.b (ba, a, b N)上分母是3的不可约分数之和。3ab上分母为3的所有分数是号,3a+43a+53b 2a+ 1, -3- , -3， a+ 2，b 1, -3，3a13a为首项，以1 * 3为公差的等差数列.33解法一区间a,3a 133b-133a 2，3，它是以31项数为 3b 3a+ 1,其和 S = 2 (3b 3a+ 1)(a + b)其中，可约分数是 a, a + 1, a+ 2,，b1其和 S= -(b a+ 1)(a + b)故不可约分数之和为S S=2(a+ b)(3b 3a+ 1) (b a+ 1)=b解法二3a +1 3a + 2 3a +
6、4 3a + 53b2 3b1/ S= + +333333124521- S=(a+ -) + (a+ -)+ (a+ 3) + (a+ 3) + + (b -)+ (b-)S=b a例6.求下列数列的前n项和Sn：(1) a, 2a而又有 S=(b -) + (b 一)+ (b -) +(b-) + (a+一)+, 3a33331(a+ 一)3两式相加：2S= (a + b) + ( a+ b)+( a+ b)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数。即 3 (b a) + 1 ( b a+ 1) =2 (b a)2S=2 (b a) (a + b),nan,，(a工0、1);(2) 1
7、, 4, 9,，n2，；(3) 1, 3x, 5X2,，(2n 1) xn-1,，(1)123n(4)2 , 4 , 8 ,2n ,.解 (1) Sn=a + 2a2+ 3a3+ + nan/0aSn= a + 2a + 3a +( n 1) a + naSn aSn=a+ a + a + a na/1 “、c a(1-an) n1 (1 - a)Snna1 -ann -1c a(1 _a ) naSn厂(1 - a) 1 - a2(2) Sn=1 + 4+ 9 + + n(a+ 1) 3 a3=3a?+ 3a+123 13=3 X 12+ 3X 1+ 1 33 23=3X 22 + 3X 2
8、+ 14 3=3 X 3 + 3 X 3+ 1 n3 (n- 1) 3=3 (n- 1) 2+ 3(n- 1) + 1(n + 1) 3 n3=3n2 + 3n + 1把上列几个等式的左右两边分别相加，得3n(n 1)(n + 1) 3 13=3 (12+ 22+-+ n2)+ 3 (1 + 2+-+ n)+ n2222.,=3(1 + 2 + 3 + n ) + 2 2 12+ 22 + 32+ n如 + 1)33n(n 1)2n1= 3n3+3n2 + 3n3n(n 1)2n1 2=6门(2 n + 3n+ 1)1=n(n+ 1)(2 n + 1)6(3 )TSn=1 + 3x + 5x2
9、 + 7x3+( 2n 1) xn-1xSn=x+ 3x?+ 5x+( 2n 3) x1 +( 2n 1) x两式相减，得(1 - x)Sn=1 + 2x (1 + x+ x2 + + xn-2)-( 2n- 1) xn n2x(Xn* -1)一 1- (2n 1)x +X -1(2n 1)xn+1 -(2n T)xn (1 x)一1 -x- Sn =(2n - 1)x n+1 -(2n 1)xn (1 x) (1-x)2n2n1123n2Sn二尹歹尹 F7两式相减，得11Sn2(1-2nn2*1说明 求形如an bn的数列的前n项和，若其中an成等差数列，bn成等比数列, 则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想。 .8 1112452