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1、实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。 实数基本定理是 建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的， 特别是可通过 这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观 并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格 的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。2.1实数基本定理的陈述1. 确界存在原理定理121非空有上界数集必有上确界（非空有下界数集必有下确界）2. 单调有界原理定理单调有界数列必收敛3. Can tor 闭区间套准则定义2.1（区间套）设a. ,bn 是一闭区间序列.若满足条件对 n
2、,有an1,bn1an, bn,即卩an an 1bn 1bn，亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中；（2）bn an0, （n ）.即当n 时区间长度趋于零。则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套 ， 简称为区间套。简而言之，所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列。区间套还可表达为a1 a2angb? d ,bn a.0, （n ）。我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列an和bn,其中 an递增，bn递减。11 1 （ 1）n 2例 2.1 - , -和0,-都是区间套.但 1 -_, 1 、n nnnn111 （0,- 和-, 1-都不是。nnn定理2.1（Cantor区间套准则） 设a
3、n ,bn 是一闭区间套。 则存在唯一的点，使对 n有an,*。简言之，区间套必有唯一公共点。推论1若 an,bn是区间套 an ,bn确定的公共点，则对 0,N,当n N时，总有an , bn 1 U (x , e)。推论2 若an ,bn 是区间套an ,bn 确定的公共点, 则有an单增且收敛于，同时bn单减且收敛于，（n）。4. Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件定理 数列 an收敛 an是Cauchy列证 上节3证必要性，现证充分性：根据假设，对任给的0，总存在自然数N，对一切n N，都有an aN，即在区间aN8n内含有an中除掉有限项外几乎所有的项据此，令1，则存在N1，在区
4、间aN上含有an中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为1再令豕，则存在N2N1aN丄2 , aN2122上含有an中除有限项外几乎所有项。记aN2122，它也含有an中有限项外几乎所有的项，且11丄。照以上的方2 21 11法，依次令-3,-4丄，-n,L，得一闭区间列2 22an中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件，它的每个区间都含有nn 1, n 1, n 2,3,L,从而由区间套定理知,n10 n存在唯一一个数an,bnn 1,2丄，现在证明这个就是数列an的极限。因为对任给0,由定理2.1推论知存在自然数N，当n N时，便有an,bnU因此在U内就含有an中除有限项外
5、几乎所有的项，这就证得lim an 。n5. Weierstrass 聚点原理定义2.2（数集的聚点，亦称为接触点）设E是无穷点集。若在点 （未必属于E）的任何邻域内有E的无穷多个点，则称点 为E的一个聚点。例2.2数集E=1有唯一聚点0,但0 E ;开区间（0,1）的全体聚点之集n是闭区间0,1；设Q是0,1中全体有理数所成之集,易见Q的聚点集是闭 区间0,1。定理 2.3（Weierstrass 聚点原理）每一个有界无穷点集必有聚点。6. Bolzano致密性定理定理 2.2 （Bolzano 致密性定理）任一有界数列必有收敛子列。7. Heine -Borel有限复盖定理定义2.3 设E
6、是一个数集，G I ,是区间族。 若对x E, x I，则称区间族G覆盖了 E ,或称区间族G是数集E的一个覆盖。记为E I ,。若指标集L仅有有限个元素，则称区间族G是数集E的一个有限覆盖。若区间族G的子集族覆盖了数集E,则称此子集族为数 集E的覆盖G的子覆盖。若每个I都是开区间，则称区间族G是开区间族。开区间族常记为M (,),。定义2.4（开覆盖） 数集E的一个开区间族覆盖称为E的一个开覆盖,简称 为E的一个覆盖。若 G中的开区间的个数是无限的，则称 G为E的一个无限开 覆盖。若G中的开区间个数是有限的，则称 G为E的一个有限开覆盖。例2.3 M （,空），x （0,1） 覆盖了区间（0
7、,1）,但不能覆盖0,1;2 2H （x b x , x b x ）, x （a,b） 覆盖a,b）,但不能覆盖a,b。2 2定理2.4（Heine -Borel有限复盖定理）闭区间的任一开覆盖必有有限子覆2.2实数基本定理等价性的证明我们注意到，实数完备性基本定理等价性的证明，几乎都可以利用二等分构 造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利 用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。证明七个实数基本定理等价性的路线：确界原理单调有界原理Con tor区间套定理 Cauchy收敛准则Weierstrass聚点原理Bolzano致密性定理Heine -Borel有限
8、复盖定理确界原理。确界原理单调有界原理证明参见定理单调有界原理Con tor区间套定理证明因为%,0an i，bn J，所以有a1 a2 Lan Lbn Lb2 b1从而可见数列an单增有上界，数列bn单减有下界故由单调有界定理可知a N 使得 lim an = a, b N 使得 lim bh = b ,nn且n N有an a, n N有b g，所以a,b an,bn，于是成立0 b a bn an。又因为lim(bn- an)= 0，所以a b。记 a b，从而存在性得证。n假设不唯一，即存在abj,贝U仿上面易得。Contor区间套定理Cauchy收敛准则证明 上节已经证明了 Cauch
9、y收敛准则的必要性，在此只需证明充分性。证法一 设xn为Cauchy列，即 0,叫 0, n,m N1，有IXn Xm|-o2先证明，Cauchy列 xj有界：事实上，在 中取 1,m N11，就可知丘| M : max |xJ,L , Xn1 , Xn1 11。其次，我们用Can tor区间套定理找出 xn的一个收敛的子列xnk如下：定义闭区间a,b具有性质P: a,b含有数列xn的无限项。Step(1):由有界性知，闭区间1, 1： M ,M具有性质P。从xn中任 取一项作为Xg。易得11 2M。Step(2):将1对半分为两个闭区间11 禾廿_ 12 2 中至少有一个闭区间具有性质P ,
10、不妨记此区间为1，则其2易知2, 2Xn：n Y,n 厲中仍含有数列xn的2, 2xn: n, nm中任取一项作为xn2。易得Step(k):k1, k1对半分为两个闭区ii和kk1易知Xn : n，则其中至少有一个闭区间具有性质订Xn： n Y,n nk1Y,n nk 1中任取一项作为中仍含有数列Xnk。易得k不妨记此区间为&的无限项。从M0k 2k 2至此，我们完成了证法二| Xn X,Cauchy收敛准则的充分性证明 设 xj为Cauchy基本列，即nkXr)kXnkXnk证毕0, N 0, n N 有由此可得一闭区间套 k, k满足(i) k， k k 1， k 1；(ii) (bk-
11、 ak)= M 揪k 井 o ；(iii) Xnk k, k。由闭区间套定理可知存在唯一的n, n。且lim Xnk = X。k现在，我们可以证明lim xn = x。事实上，由lim xnk = x知，$K ? , k K , nkk有|Xnk于是N: N1K , n N, k N,蕹 nk k N ? K，由(1)和 (2)知,Xn |，即Xn区,Xn0定义性质P:0,N 0, nN有xnXn,Xn o则Step(1):令1，则2N使得xn1 12,XN1 2具有性质P，不妨记此区间为1, 1。Step(2):令1左，则 N2( N1)使得Xn2君Xn2右具有P，不妨记此区间为2,2 0M
12、Step(k):令丄，则Nk( Nk1)使得XNk丄X -具有P，不kNkk2k2 2妨记此区间为k,k 0M由此可得一闭区间套 n,满足(i) n, n n1, n l；1(ii) ( n n)歹；(iii) n, n具有性质P，即含有某个N0后的所有项。由闭区间套定理可知存在唯一的n, n。从而lim xn = xCauchy收敛准则 Weierstrass聚点原理证明 设S为直线上有界点集，则a,b R使得S a,b。定义性质P :至少含有S中的无限多个点。利用二等分法容易构造出具有性质 P的区间套 an,bn满足：,b a、bn an 盯。(3)由性质P任意挑选S中不同的点构成的数列x
13、n使得xn an,bn。0，由和极限定义知，NO, n m N有xn xm bn an。由定义知xn是Cauchy列。由Cauchy收敛准则知，R使得lim Xn = x。从而可知 即为nS的一个聚点。Weierstrass聚点原理Bolzano致密性定理证明 设人为有界无穷数列（若xj有无限多相等的项，则命题显然成立）。由Weierstrass聚点原理知，x至少有一个聚点R，则由聚点的定义：Step(1) 令 1，则 xn1 U( , 1)l Xn且 xn1。1Step (2)令 2 min QlXm|, Xn2 U(,2)lXn且 Xn1Xp, n2n1。M1Step(k)令 kminr-
14、,| Xnk1|, Xnk U( , k)I Xnk且 XnkXni,i1,2 丄 k 1,nknk1。M1从而得到xn的子列xnk使得0, N 当k N时有Xnk U( , k)。即丄| Xnk| k N n。故 lim xn = x。kBolzano致密性定理Heine -Borel有限复盖定理证明仮证法）假设区间a,b不能被开覆盖有限覆盖。定义性质P :不能被有限个开区间覆盖利用二等分法容易得到一个具有性质P的区间套 an,bn满足(3)由于an, bn都是有界数列，故由Bolzano致密性定理知，存在子列ank, bnk，1, 2 R 使得kimank =X1，kimbnk =x20
15、由易证a,b。从而 U( , ) UK 0，使得 k K有,这与ank.bnkl具有性质Pank,bnk U( , )0 从而ank，bnk U( , ) U矛盾。这就证明了 Heine -Borel有限复盖定理。Heine -Borel有限复盖定理确界原理证明 设S是有上界的非空数集，则b R使得 xS有x b，取a S，得到区间a,b。0 ,使得U(x,)满足条反证法，假设S没有上确界，则x a,b,件：若x是的上界，那么u(x,)中的点都是S的上界；若x是S中的点，那么U(x,)中不存在S的上界。从而得a,b的一个开覆盖:U(x, )x a,b。由Heine -Borel有限覆盖定理知，
16、存在的一个有限子覆盖1 : U(Xi, ”a,b,i1,2,n。因此必有一个，不妨设为u(xJ，包含b。因为b是S的一个上界，故U(X1, J内的元素全是S的上界。从而与U(xJ相交的1中的邻域的点也必为S的上界。依次类推下去，将有 a为S的一个上界，这与a S矛盾，故S具 有上确界。练习2.21.直接证明实数理论命题的两两等价。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins perspasieldesdes fins commerciales.TObgjD aJirogefi , KOTOpbie ucnoE3yroTCHg贝刃 o6yqeHUE , ucc 贝 egoBaHKOMMepqeckuxqe 贝 ax.以下无正文