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1、.专题四 数列推理与证明第一讲 等差数列与等比数列1.an与Sn的关系:Sn=a1+a2+an,an=2.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an-an-1=常数(n2)=常数(n2)通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n1)an为等差数列(3)通项公式法:an=pn+q(pq为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(AB为常数)an为等差数列(5)an为等比数列,an0logaan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法:a=anan+2(n1)(an0)an为等比数列(3)通项公式
2、法:an=cqn(cq均是不为0的常数,nN*)an为等比数列(4)an为等差数列aan为等比数列(a0且a1)性质(1)若mnpqN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an=am+(n-m)d(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差数列(1)若mnpqN*,且m+n=p+q,则aman=apaq(2)an=amqn-m(3)等比数列依次每n项和(Sn0)仍成等比数列前n项和Sn=na1+d(1)q1,Sn=(2)q=1,Sn=na11. (2013江西)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于( )A.-24 B.0 C.12 D.24答案 A解析 由x,3x+
3、3,6x+6成等比数列得,(3x+3)2=x(6x+6).解得x1=-3或x2=-1(不合题意,舍去).故数列的第四项为-24.2. (2012福建)等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 方法一 设等差数列an的公差为d,由题意得 解得d=2.方法二 在等差数列an中,a1+a5=2a3=10,a3=5.又a4=7,公差d=7-5=2.3. (2013辽宁)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题
4、为( )A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4答案 D解析 an=a1+(n-1)d,d0,an-an-1=d0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关.故数列nan不一定递增,命题p2不正确.对于p3:=+d,-=,当d-a10,即da1时,数列递增,但da1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d0.数列an+3nd是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.4. (2013重庆)已知an是等差数列,a1=1,公
5、差d0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=_.答案 64解析 因为a1,a2,a5成等比数列,则a=a1a5,即(1+d)2=1(1+4d),d=2.所以an=1+(n-1)2=2n-1,S8=4(1+15)=64.5. (2013江苏)在正项等比数列an中,a5=,a6+a7=3.则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为_.答案 12解析 由已知条件a5=,a6+a7=3,即q+q2=3,整理得q2+q-6=0,解得q=2,或q=-3(舍去).an=a5qn-5=2n-5=2n-6,a1+a2+an=(2n-1),a1a2an=2-52-42-32n-6=
6、2 ,由a1+a2+ana1a2an可知2n2 +1,n12.题型一 等差(比)数列的基本运算例1 (2012山东)已知等差数列an的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.审题破题 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组,解得a1和d,从而求出an.(2)求出bm,再根据其特征选用求和方法.解 (1)设数列an的公差为d,前n项和为Tn,由T5=105,a10=2a5,得解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nN*).(2)对mN*,若an=
7、7n72m,则n72m-1.因此bm=72m-1.所以数列bm是首项为7,公比为49的等比数列,故Sm=.反思归纳 关于等差(等比)数列的基本运算,一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决,如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识.变式训练1 (2013浙江)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解 (1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-
8、1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,a7a142=25.当且仅当a7=a14时取等号.(2)根据等差数列的性质,得数列也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项=a1=-2 013,公差d=1,故=-2 013+(2 013-1)1=-1,所以S2 013=-2 013.反思归纳 等差数列和等比数列的项,前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.变式训练2 (1)数列an是等差数列,若-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n等于( )A.11 B.17 C.19 D.21答案 C解析 a
9、n的前n项和Sn有最大值,数列为递减数列.又0,a110,得a10+a110,S20=10(a10+a11)0,且第2项第5项第14项分别是等比数列bn的第2项第3项第4项.(1)求数列anbn的通项公式;(2)设数列cn对nN*,均有+=an+1成立,求c1+c2+c2 013.解 (1)a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,d0,(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2.则an=1+(n-1)2=2n-1.又b2=a2=3,b3=a5=9,等比数列bn的公比q=3.bn=b2qn-2=33n-2=3n-1.(2)由+=an+1,得当n2时,+=an,两式相减,得=a
10、n+1-an=2,cn=2bn=23n-1 (n2)而当n=1时,=a2,c1==c1+c2+c2 013=3+231+232+232 012=3+=3-3+32 013=32 013.典例 (12分)已知数列a1,a2,a30,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a30是公差为d2的等差数列(d0).(1)若a20=40,求d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围;(3)续写已知数列,使得a30,a31,a40是公差为d3的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题(2)
11、应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?规范解答解 (1)由题意可得a10=10,a20=10+10d=40,d=3.3分(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)=10(d0).5分当d(-,0)(0,+)时,a307.5,+).7分(3)所给数列可推广为无穷数列an,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列,当n1时,数列a10n,a10n+1,a10(n+1)是公差为dn的等差数列.8分研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求出a10(n+1)的取值范围.研究的结论可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3),9分依次
12、类推可得a10(n+1)=10(1+d+dn)=11分当d0时,a10(n+1)的取值范围为(10,+).12分评分细则 (1)列出关于d的方程给1分;(2)求a30的范围时没有注明d0扣1分.阅卷老师提醒 本题从具体数列入手,先确定d,然后利用函数思想求a30的范围,最后通过观察寻求一般规律,将结论进行推广,要求熟练掌握数列的基本知识,灵活运用数列性质.1. 已知等比数列an的公比为正数,且a3a7=4a,a2=2,则a1等于( )A.1 B. C.2 D.答案 A解析 设数列an的公比为q(q0),由a20,知a40,a50,由于a3a7=a,所以a=4a,从而a5=2a4,q=2,故a1
13、=1.2. 已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示数列an的前n项和,则使得Sn取得最大值的n是( )A.21 B.20 C.19 D.18答案 B解析 设数列an的公差是d,则a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=99-105=-6,即d=-2.又3a3=105,所以a3=35.所以an=a3+(n-3)d=41-2n.令an0得n20.5,即数列an的前20项均为正,自第21项起以后各项均为负,因此使得Sn达到最大值的n为20.3. 首项为-24的等差数列an从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是( )A.d3 B.d3C.d3 D.d
14、3答案 C解析 设等差数列an的公差为d,由已知得即所以d的取值范围是1,a1=1,a3=4,则公比q=2,因此S6=63.5. (2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=_.答案 解析 方法一 S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2,将a3=a2q,a4=a2q2代入得,3a2+2+a2q+a2q2=3a2q2+2,化简得2q2-q-3=0,解得q=(q=-1不合题意,舍去).方法二 设等比数列an的首项为a1,由S2=3a2+2,得a1(1+q)=3a1q+2.由S4=3a4+2,得a1(1+q)(1+
15、q2)=3a1q3+2.由-得a1q2(1+q)=3a1q(q2-1).q0,q=.6. (2013安徽)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是_.答案 an=解析 由已知S梯形AnBnBn+1An+1=S梯形An+1Bn+1Bn+2An+2,SOBn+1An+1-SOBnAn=SOBn+2An+2-SOBn+1An+1,即SOBnAn+SOBn+2An+2=2SOBn+1An+1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA+OA=2
16、OA,即a+a=2a,因此a为等差数列且a=a+3(n-1)=3n-2,故an=.专题限时规范训练一选择题1. (2013课标全国)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-答案 C解析 设等比数列an的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.2. 等比数列an的前n项和为Sn,若2S4=S5+S6,则数列an的公比q的值为( )A.-2或1 B.-1或2C.-2 D.1答案 C解析 方法一 若q=1,则S4=4a1,S5=5a1,S6=6a
17、1,显然不满足2S4=S5+S6,故AD错.若q=-1,则S4=S6=0,S5=a50,不满足条件,故B错,因此选C.方法二 经检验q=1不适合,则由2S4=S5+S6,得2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得q2+q-2=0,q=1(舍去),q=-2.3. 已知an为等差数列,a2+a8=,则S9等于( )A.4 B.5 C.6 D.7答案 C解析 an为等差数列,a2+a8=a1+a9=,S9=6.4. 一个由实数组成的等比数列,它的前6项和是前3项和的9倍,则此数列的公比为( )A.2 B.3 C. D.答案 A解析 等比数列中,S6=9S3,S6-S3=8S3,=q3=8,q=2.
18、5. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解析 由等差数列的前n项和及等差中项,可得=7+ (nN*),故n=1,2,3,5,11时,为整数.6. 已知an为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为( )A.-110 B.-90C.90 D.110答案 D解析 a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又a7是a3与a9的等比中项,(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20.S
19、10=1020+109(-2)=110.7. 已知数列an满足1+log3an=log3an+1(nN+),且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( )A. B.- C.5 D.-5答案 D解析 由1+log3an=log3an+1得=3,an为等比数列,公比为3.a5+a7+a9=27(a2+a4+a6)=279=35,log(a5+a7+a9)=log35=-5.8. 设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150,S160,得a80.由S16=0,得a9+a80,所以a90,且d0,S16,S17,Sn0,则0,0.又S8S7S60,a6a7a80.,故最大.二填空题
20、9. (2013课标全国)若数列an的前n项和Sn=an+,则an的通项公式是an=_.答案 (-2)n-1解析 当n=1时,a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,故=-2,故an=(-2)n-1.10.(2013课标全国)等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为_.答案 -49解析 由题意知a1+a10=0,a1+a15=.两式相减得a15-a10=5d,d=,a1=-3.nSn=n=f(n),f(n)=n(3n-20).令f(n)=0得n=0(舍)或n=.当n时,f(n)是单调递增的;当0na1a9,求a1的取值范围.解 (1)因为
21、数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以a=1(a1+2),即a-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9,所以5a1+10a+8a1,即a+3a1-100,解得-5a12.14.已知数列an的前n项和为Sn,a1=,且2Sn=2Sn-1+2an-1+1(n2,nN*).数列bn满足b1=,且3bn-bn-1=n(n2,nN*).(1)求证:数列an为等差数列;(2)求证:数列bn-an为等比数列;(3)求数列bn的通项公式以及前n项和Tn.(1)证明 2Sn=2Sn-1+2an-1+1(n2,nN*),当n2时,2an=2an-1+1,可得an-an-1=.数列an为等差数列.(2)证明 an为等差数列,公差d=,an=a1+(n-1)=n-.又3bn-bn-1=n(n2),bn=bn-1+n(n2),bn-an=bn-1+n-n+=bn-1-n+=(bn-1-n+)=bn-1-(n-1)+=(bn-1-an-1),又b1-a1=0,对nN*,bn-an0,得=(n2).数列bn-an是首项为,公比为的等比数列.(3)解 由(2)得bn-an=n-1,bn=-+n-1(nN*).b1-a1+b2-a2+bn-an=,b1+b2+bn-(a1+a2+an)=.Tn-=.Tn=+(nN*).;