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1、第 4 讲 数的整除性（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5 整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被 4，8，9 整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如， 48 能被 16 整除， 16能被 8 整除，那么 48一定能被 8整除。性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例 如，21与 15都能被 3整除，那么 2115及 21-15 都能被 3整除。性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘 积整除。
2、例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9 X 7 = 63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性， 我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（ 1 ）一个数的个位数字如果是 0， 2， 4， 6， 8中的一个，那么这个数就能被 2整除。（2） 一个数的个位数字如果是0或 5，那么这个数就能被 5 整除。（3） 一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被 3 整除。（4） 一个数的末两位数如果能被4（或 25）整除，那么这个数就能被4（或 25）整除。（5） 一个数的末三位数如果能被8（或
3、125）整除，那么这个数就能被 8（或 125）整除。（6） 一个数各个数位上的数字之和如果能被9 整除，那么这个数就能被 9 整除。 其中（ 1 ）（ 2）（ 3）是三年级学过的内容， （4）（ 5）（6）是本讲要学习的内容。因为 100能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质 1 知，整百的数都能被 4（或 25）整除。因为 任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质 2 知， 只要这个数的后两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。这就证明了（ 4）。类似地可以证明（ 5）。（ 6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
4、837= 800+ 30 + 7=8X 100+ 3X 10+ 7=8X（99+1）+ 3X（9+1）+ 7= 8X 99+ 8+ 3X 9+ 3+ 7=（ 8X 99+ 3X 9）+（ 8+ 3+ 7）。因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99 + 3x9）能被9整除。再根据整除的性质 2，由（ 8+3+7）能被 9整除，就能判断 837能被 9整除。利用（ 4）（5）（6）还可以求出一个数除以4， 8， 9的余数：（4）一个数除以 4的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。 （5）一个数除以 8的余数，与它的末三位除以 8的余数相同。（6）一个数除以 9的余数
5、，与它的各位数字之和除以 9的余数相同。 例 1 在下面的数中，哪些能被 4整除？哪些能被 8整除？哪些能被 9整除？ 234， 789， 7756， 8865， 3728， 8064。解：能被 4 整除的数有 7756， 3728， 8064； 能被 8 整除的数有 3728， 8064； 能被 9 整除的数有 234， 8865， 8064。例2在四位数56 2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8, 4整除？解：如果56 2能被9整除，那么5+ 6 + 2= 13+口应能被 9整除，所以当十位数是 5，即四位数是 5652时能被 9整除；如果56口2能被8整除，那么6口
6、2应能被8整除，所以当十位数是 3或7,即四位数是5632或 5672 时能被 8 整除；如果56 2能被4整除，那么口 2应能被4整除，所以当十位数是 1, 3, 5, 7, 9，即四位数是5612, 5632, 5652 , 5672, 5692 时能被 4 整除。到现在为止，我们已经学过能被2, 3, 5, 4, 8, 9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6= 2X 3, 2与3互质，所以如果这个数既能被 2整除又能被3整除，那么根据整除的性质 3,可判定这个数能被 6整除。同 理，判断一个数能否被 12整除，只需判断
7、这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被 72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。例3从0, 2, 5, 7四个数字中任选三个，组成能同时被2, 5, 3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。解：因为组成的三位数能同时被2, 5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被 3整除的特征，数字和2+ 7+ 0与5+ 7 + 0都能被3整除，因此所求的这些数为270, 570, 720, 750。例4五位数；能被72整除，问：A与B各代表什么数字？ 分析与解：已知能被72整除。因为72= 8X 9, 8和9是互质数，所以加；既能被8整除, 又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求
8、能被8整除，由此可确定B= 6。再根据能被 9整除的数的特征，上的各位数字之和为A+ 3 + 2 + 9+ B= A+ 3 f 2 + 9 + 6= A+ 20,因为I AW 9,所以21 A+ 20W 29。在这个范围内只有 27能被9整除，所以A= 7。解答例4的关键是把72分解成8 X 9，再分别根据能被 8和9整除的数的特征去讨论 B和A所代 表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为 B代表的数字不受 A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。例5六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6= 2X 3，且2与3互质，所以这个整数
9、既能被 2整除又能被3整除。由六位数能被 2整除，推知A可取0, 2, 4, 6, 8这五个值。再由六位数能被3整除，推知3+ A+ B+ A+ B+ A= 3 + 3A+ 2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0, 3, 6, 9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取 5个值，题目没有要求 AM B,所以符合条件的六位数共有5 X 4 = 20 （个）。例6要使六位数1沙；1山能被36整除，而且所得的商最小，问A, B, C各代表什么数字？分析与解：因为 36= 4 X 9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数HlAHLh能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1 , 3, 5, 7, 9。要使所得的商最小，就要使 Im”这个六位数尽可能小。因此首先是 A尽量小，其次是B尽量 小，最后是C尽量小。先试取 A=0b六位数川I；5的各位数字之和为12+ B+ C。它应能被9整除， 因此B+ C= 6或B+ C=15。因为B, C应尽量小，所以B+ C= 6,而C只能取1,3, 5,7,9，所以要使1 MH :Uh尽可能小，应取 B= 1 , C= 5。当A=0, B=1, C= 5时，六位数能被 36整除，而且所得商最小，为150156十36 = 4171。