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1、最新资料推荐直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离 之差的绝对值最大。【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B 点的距离之和最小。【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础:1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解;（定理1）2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。”（定理2）（定理3）3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。”【几种不同情况的详细解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当
2、两固定点在直线同侧时，如图1ALMP P MP 1图点，形成点与A点，点与BP假设直线上任意一点P点，连接P ; A-PB|ABBAP,根据“定理3，得知|P 定，根据形成两 点，P BAAP当P点移动到”点时，分别连接、B B|AB 得 知|PA -P3理的交点时，连线的延长线与直线 BAL点，即只有移动到 P 。 |PA-PB|=AB i最新资料推荐结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。计算：P点的位置(或坐标)以及最大值。如图1,过A点做直线垂直与直线L,垂足为M,过B点做直线垂直于直线L,垂足为M这样，AM / B
3、M因此，在直角 PBM中，AM/BM=PM/PM所以，PM=PM+MM最终得出：PM= (AMXMM) +|BM-AM|,以此确定P点的位置(或 坐标)。同样道理，PM/MM=PA/AB所以，最大值AB=MM/PMXPA,根据勾股定理计算出PA后，就计 算出了 AB的长度。(2)当两固定点在直线异侧时，如图 2A 2图L MM P ” P PA 2图LA做一条垂直与直线对于处于直线异侧的两点，先通过其中一点， 的对称点）A点对于直线L, M且使AM=AM （即做的直线，垂足为 将异侧问题转化为同侧问题。B、A点，则P点就是到P然后，连接 A和B点，并延长交于直线于 两点距离之差的绝对值最大时的
4、点。： 可以看出，”，并连接P同样，在直线上任意一点PAPBPA2 最新资料推荐在PAB 中，|PA-PB|AB ,由于 PA=PA ,所以， |PA-PB|=|PA-PB|AB。将P点移动到P”点，并构成 P AB ,同样道理可以得出|P A-P” B|=|P A-P B|AB + PBAA所以，PP根据“定理 3,在APAB 中， B+P, B AA点，与、B点构成 P同样道理，如果P点移动到P A ” =PB,而 P AP B+P AABAA”所以，P B+P点即处于的交点处时，即 PB点连线与直线L只 有当P点移动到A、，所以，=PAPA|PA+PB|=AB而直线L上，又处 于线段AB
5、上时，B|PA+PB|=A点到两定点的距离之和的绝对值才是其他所有点到两定点距这时，P 离之和的绝对值中最小的。当直线上一动点到直线同侧两固定点之距离之和的绝对值最小结论： 点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的P 时， 交点处。P 点的位置（或坐标） 以及最小值计算：， 垂足为点做直线垂直于直线，过如图3BLM4最新资料推荐由于直角三角形MPA与直角三角形BPM,三角相等，所以，这两个三角形为相似三角形所以， MP/PM=MA/BM ，且 PM=MM-MP所以，MP=MA X MM + （ MA+BM）,以此确定P点位置（或坐标）。 又因为，|PA+PB|=|PA+PB|=A
6、B,且 MP, PM=MM-MP均已计算出， 运用勾股定理，分别计算出 PA、PB长度，即可确定AB的长度，即P 点到两固定点距离之和绝对值的最小值。(2)当两固定点在直线L异侧时，如图4BP LMM P PA4图根据上述同侧问题，我们可以看出，直接连接 A、B两点与直线L 的交点就是符合要求的P点，在此不再累述。【本节结论】直线上一动点到直线外两固定点的距离之和的绝对值只 存在最小值，没有最大值。当两固定点在直线同侧时，动点位于固定 点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处；当两固定点在直线异侧时，动点位于两固定点连线与直线的交点处。推导出：(1)当两固定点在直线上时，动点到两固定点的距离之和的绝对值 的最小值，有且只有一个，就是两固定点之间的线段长。(2)当两固定点在直线上时，直线上的动点到两固定点的距离之差 的绝对值的最大值和距离之和的绝对值的最小值相等， 即两固定点之 间的线段长。5