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1、1 齐次线性方程组解的结构2 非齐次线性方程组解的结构,第三章 第四讲,1,重点辅导,一、 齐次线性方程组解的结构,则方程组(1)可写成向量方程,若记,回顾,称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解,则,2,重点辅导,方程组 有非零解的充要条件是 。,齐次线性方程组的解有如下的性质,证,性质（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证,证毕.,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,3,重点辅导,因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组基。称解空间的一组基为
2、方程组的基础解系。,定义 1,并称为方程组的通解。,4,重点辅导,定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。,基础解系的求法,证明：,系数矩阵为,有非零解，从而秩rn.对A进行行初等变换，A可化为,5,重点辅导,与之对应的方程组为,取,6,重点辅导,可得,从而得到(1)的n-r个解,7,重点辅导,首先，这n-r个解向量显然线性无关.,代入方程组得,8,重点辅导,于是,因此方程组的每一个解向量，都可以由这n-r个解向量,定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.,线性表示，,9,重点辅导,例 1 解齐次
3、线性方程组,解 齐次线性方程组的系数矩阵为,对A进行行初等变换，得,10,重点辅导,秩r24，故有非零解.,其对应的方程组是,基础解系为,方程组的通解为,11,重点辅导,二、非齐次线性方程组解的结构,如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组，简称导出组.,12,重点辅导,定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。,13,重点辅导,其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性
4、方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,14,重点辅导,解 对增广矩阵进行行初等行变换,系数矩阵与增广矩阵的秩都是25，故有解。,15,重点辅导,对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础解系为,令x3x4x50，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)， (不能忽略常数列)，于是它的全部解为,其中k1，k2，k3，为任意实数。,16,重点辅导,例 3 设线性方程组,试就p,t讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.,解 对增广矩阵进行行初等变换,(1)当 时，有惟一解,17,重点辅导,(2)当p=1，且1-4t+2pt =1-2t=0 即t = 时，方程组有无穷多解，此时,(3)当p=1，但1-4t+2pt=1-2t0，即t1/2时，方程组无解.,(4)当t=0时，1-4t +2pt =10，故方程组也无解.,18,重点辅导,练习. 设,(1)求|A|；（2）已知有无穷多解，求，并求的通解.,19,重点辅导,齐次线性方程组解的情况,齐次线性方程组基础解系的求法,三、小结,（一）、齐次线性方程组解的结构,1 非齐次线性方程组解的情况,2非齐次线性方程组通解的求法,（二）、非齐次线性方程组解的结构,20,重点辅导,