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1、圆的方程；空间两点的距离公式. 本周教学内容：圆的方程，空间两点的距离公教学目的：1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径; 能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题; 探索 并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和 般方程。2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系 ; 能够根据给定的圆的方程，判 断圆与圆的位置关系。3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标; 掌握空间两点 的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。重点：1. 圆的标准方程以及会
2、根据不同条件求得圆的标准方程 ; 圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标 和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。2. 直线和圆的位置关系的判断和应用 ; 两圆位置关系的判断。3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标空间两点距离公式。难点：1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系 ; 通过两圆方程联立方程组的解来研究两 圆位置关系。3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标 ; 空间距离公式的推导。知识分析：（ 一 ） 圆的标准方程1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆
3、心，定长叫做圆的半径。2. 圆的标准方程：已知圆心为 （a，b） ，半径为 r，则圆的方程为 ;若点 M（x1，y1） 在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即（ 二 ） 圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：当）为圆心，以时，方程只有实数解）;当 时，方程表示一个圆，方程叫做圆的一般方程。圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：<O > 和<1 >的系数相同，且不等于 0;（2） 没有 xy 这样的二次项。以上两点是二元二次方程(2) 过圆 ;(3)过圆3.直线与圆的位置关系中的三个基本问题(1)判定位置关系。方
4、法是比较 d 与 r 的大小。第 5 页(2)求切线方程。若已知切点 M（x0，y0） ，则切线方程为 若已知切线上一点 N（x0，y0） ，则可设切线方程为（ 四 ） 圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数; 第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下： 圆 的位置关系，其中时，两圆外离 ;时，两圆外切 ;时，两圆相交 ;时，两圆内含 注意：两圆的位置关系可表示在一条数轴上， 如图所示：两圆位置关
5、系的问题同直线与圆的位置关系的问题样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有 关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。2. 两圆相交问题(1) 过两已知圆 即 ，表示过两圆的交点的直线 ( 当两圆是同心圆时，此直线不存在 ) ，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线 当两圆相切时，此直线为两圆的公切线 ; 当两圆相离时，此 直线为与两圆连心线垂直的直线。(2) 过直线与圆交点的圆系方程 设直线 相交，则方程 l 与圆 C 的两个交点的圆系方程。( 五 ) 空间直角坐标系1. 空间直角坐标系为了确定空间点的位置， 我们在空间中取一点 0作原点，过0点作三条两两垂直的数轴，通常用x
6、、y、z 表示 .轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看， x 轴的正半轴 沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合。这时，我 们在空间建立了一个直角坐标系 O-xyz 。在这个过程中， 条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。2. 点 P 的坐标过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为X，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗？3. 坐标平面每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy 叫做坐标平面。4. 特殊点的坐标形式i=fi=fi=fxOy平面是坐标形如x、 y 为任意
7、实数 ;xOz平面是坐标形如x、 z 为任意实数 ;yOz平面是坐标形如y、 z 为任意实数 ;x 轴是坐标形如(x ， y，(x ， 0，(0 ， y，(x ， 0，0) 的点构成的点集，其z) 的点构成的点集，其z) 的点构成的点集，其0) 的点构成的点集，其中为任意实数 ;y 轴是坐标形如(0 ， y，0) 的点构成的点集，其中为任意实数 ;轴是坐标形如 （0 ， 0， z） 的点构成的点集，其中为任意实数。5. 卦限 三个坐标平面把空间分为八部分， 每一部分称为一个卦限。在坐标平面 xOy 上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第I、第n、第m、第W卦限；在下方的卦限称为第V、第w
8、,第皿第w卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第n卦限，x为负数，y、z均为正数。（ 六 ） 空间两点的距离公式 空间两点 A（x1， y1， z1） ， B（x2， y2， z2） 的距离公式是特别的，点 A（x， y， z） 到原点的距离为典型例题】例 1. 求满足下列条件的各圆的方程：（1） 圆心在原点，半径是 3;（2） 圆心在点 C（3， 4） ，半径是 ;因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 又圆心在直线(3)第 6 页解方程组 ，得：所以圆心坐标为 （4 ，4) ，或(1 ，-1)第 11 页于是可得半径 或 。(5) 设圆
9、心为 (a,-2a)由题意，圆与直线解得： a=1所以所求圆的圆心为（1 ， -2） ，半径为故圆的方程为 ，则 解得 法二：因为圆过 A（5，2），B（3，-2） 两点，所以圆心定在线段AB的垂直平分线上，线段 AB的垂直平分线方程解得 所求圆的方程为 又圆 C 与 y 轴相切得 又圆心在直线 圆心 C（a， b） 到直线 联立解方程组可得 将 A（2， -2） ， B（5， 3） ， C（3， -1） 三点的坐标代入圆的方程点评：一般来说， 由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。例 5. 已知圆消去y，得(1)或 ，即 时，直线与圆相交(3)令 或 或 ，即 ， 或
10、 时，即 即 ，即时直线与圆相离点评：解决直线与圆的位置关系， 几何法比代数法简单。例 6.已知直线 ，曲线 ，它们有两个公共点，的取值范围。解析：法一，曲线C中，I和C有两个公共点，等价于方程组 有两组不同解，又等价于 ，有两组不同解，x 得 I 有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解于是 解得 表示单位圆位于 x 轴及其上方的半圆，如图所示。当I与C有两交点，此时b=1，记为 与半圆相切时，切 线记为 ; 当 与 之间时，解析：法解方程组 得交点坐标分别为 （0 ， 2）（-4 ， 0）设所求圆心坐标为 （a ， -a）解得 法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为 （0 ， 2） ，（
11、-4 ， 0）设所求的圆的方程为 解得 法三，设所求圆的方程为 因为这个圆的圆心在直线 上 所以 圆的方程为 1、点 （2 ， 0， 3）在空间直角坐标系中的位置是在 （ ）A. y 轴上 B. xOy 平面上 C. xOz 平面上 D. 第一卦限内2、点 M（2，-3 ， 1）关于坐标原点的对称点是 （ ）A. （-2 ，3，-1） B. （-2， -3 ， -1）C. （2 ，-3 ，-1） D. （-2， 3， 1）3、设点 B 是点A（2 , -3 , 5）关于xOy面的对称点，则|AB|等于（）A. 10 B. D. 384、设有圆 M：，点 P（2， 1） ，那么 （ ）A. 点
12、P 在直线l 上，但在圆 M 上C.点P在直线I上，也不在圆 M上 5、设M是圆 上的点，贝y M到直线 的最小距离是（）A. 9 B. 8 C. 5 D. 26、方程A.C.7、过点P（3， 0） 能有多少条直线与圆 A. 0 条 B. 1条 C. 2 条 D. 1条或 2 条8、直线被圆 A. B. 2 C. D.9、直线所截得线段的中点坐标是 （ ）A. D. 10、若圆 关于直线 对称，那么直线 的方程是( )A. B.C. D.11、与两坐标轴都相切，且过点 （2， 1）的圆的方程是12、过点 （0， 0）， （1， 0）， （0， 2）的圆的方程是13、若实数 x， y 满足 ，贝
13、 ，贝 的最大值为15、圆过点P（-4 ， 3） ，圆心在直线 相切，且和直线 ，求该圆的方程。试题答案】1 10: C A A A D D A C A D 11、 13 、 14 、 依题意，得： 解得： 所以所求圆的方程为16、设此圆的方程为解得： 所以所求圆的方程是 或或17、设OP的圆心为P(a , b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b| , |a|，由题设知OP截x轴所得劣弧所对圆心角为 90°，知OP截x轴所得的弦长为r , 故 2|b|= r ，得： r2=2b2又OP被y轴解得的弦长为2,由勾股定理得:r2=a2+1 ，得：2b2-a2=1 。又因为P(a,b) 到直线 x-2y=0 的距离为 ，即有解得:，于是 r2=2b2=2