《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新.wps（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 24.14.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 预习课本 P103105，思考并完成以下问题 (1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ (2)向量 b在 a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ (3)向量数量积的性质有哪些？ (4)向量数量积的运算律有哪些？ 新知初探 1向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积： 已知条件 向量 a，b是非零向量，它们的夹角为 定义 a与 b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos 记法 ab|a|b|cos (2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为 0. 点睛 (1)两向量的数量积，其结果是
2、数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两 向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定 (2)两个向量的数量积记作 ab，千万不能写成 ab的形式 2向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： 向量 b在 a的方向上的投影为|b|cos . 向量 a在 b的方向上的投影为|a|cos . (2)数量积的几何意义： 数量积 ab等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积 ab 点睛 (1)b在 a方向上的投影为|b|cos ( 是 a与 b的夹角)，也可以写成 . |a| (2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零 1 3向量数量积的性质 设 a
3、与 b 都是非零向量， 为 a 与 b 的夹角 (1)abab0. (2)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|， 当 a 与 b 反向时，ab |a|b|. (3)aa|a|2或|a| aa a2. a b (4)cos . |a| b | (5)|ab|a|b|. 点睛 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只 需判定它们的数量积为 0；若两个非零向量的数量积为 0，则它们互相垂直 4向量数量积的运算律 (1)abb a(交换律) (2)(a)b (a b) a (b )(结合律) (3)(ab)ca c b c(分配律) 点睛 (1)向量的数量积不满足消去
4、律：若 a，b，c 均为非零向量，且 acbc，但 得不到 ab. (2)(ab)ca(bc)，因为 ab，bc 是数量积，是实数，不是向量，所以 (ab)c 与向量 c 共线，a(bc)与向量 a 共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情 况下不成立 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)两个向量的数量积仍然是向量( ) (2)若 abbc，则一定有 ac.( ) (3)若 a，b 反向，则 ab|a|b|.( ) (4)若 ab0，则 ab.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 1 2若|a|2，|b| ，a 与 b 的夹角为 60，则 ab( )
5、 2 1 A2 B. 2 1 C1 D. 4 答案：B 1 3已知|a|10，|b|12，且(3a)( b )36，则 a 与 b 的夹角为( ) 5 2 A60 B120 C135 D150 答案：B 4已知 a，b的夹角为 ，|a|2，|b|3. (1)若 135，则 ab_； (2)若 ab，则 ab_； (3)若 ab，则 ab_. 答案：(1)3 2 (2)6或6 (3)0 向量数量积的运算 典例 (1)已知向量 a与 b的夹角为 120，且|a|4，|b|2，求：ab; (a b) (a2b) (2)如图，正三角形 ABC的边长为 2， AB c， BC a，CAb， 求 abbc
6、ca. 解 (1) 由已知得 ab|a|b|cos 42cos 1204. (ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412. (2)|a|b|c| 2，且 a与 b，b与 c，c与 a的夹角均为 120， abbcca 2 2cos 12033. 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的 夹角是求数量积的关键 (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算 活学活用 已知|a|3，|b|4，a与 b的夹角为 120，求： (1)ab；(2)a2b2； (3)(2ab)(a3b) 3 1 解：(1)a
7、b|a|b|cos 12034( 2 )6. (2)a2b2|a|2|b|232427. (3)(2ab)(a3b)2a25ab3b2 2|a|25|a|b|cos 1203|b|2 1 232534( 2 )34260. 与向量的模有关的问题 1 典例 (1)(浙江高考)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e2 .若平面向量 b 满足 be1 2 be21，则|b|_. (2)已知向量 a，b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab| 10，则|b|_. 解析 (1)令 e1与 e2的夹角为 ， 1 e1e2|e1|e2|cos cos . 2 又 0180，60. b(e1e2)0， b
8、 与 e1，e2的夹角均为 30， be1|b|e1|cos 301， 1 2 3 从而|b| . cos 30 3 (2)a，b 的夹角为 45，|a|1， 2 ab|a|b|cos 45 |b|， 2 2 |2ab|244 |b|b|210，|b|3 2. 2 2 3 答案 (1) (2)3 3 2 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用 a2|a|2，勿忘记 开方 (2)aaa2|a|2或|a| a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 活学活用 4 已知向量 a，b 满足|a|b|5，且 a 与 b 的夹角为 60，求|ab|，|
9、ab|，|2ab|. 解：|ab|2(ab)2(ab)(ab) |a|2|b|22ab25252|a|b|cos 60 1 50 255 75， 2 |ab|5 3. |ab|2(ab)2(ab)(ab) |a|2|b|22ab |a|2|b|22|a|b|cos 6025， |ab|5. |2ab|2(2ab)(2ab) 4|a|2|b|24ab 4|a|2|b|24|a|b|cos 60175， |2ab|5 7. 两个向量的夹角和垂直 题点一：求两向量的夹角 1(重庆高考)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为( ) A. B. 3 2 2 5 C. D. 3 6 解析：选 C a(2ab)，a(2ab)0， 2|a|2ab0， 即 2|a|2|a|b|cosa，b0. |b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0， 1 2 cosa，b ，a，b . 2 3 题点二：证明两向量垂直 2已知向量 a，b 不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab) 证明：|2ab|a2b|， (2ab)2(a2b)2. 即 4a24abb2a24ab4b2， a2b2. (ab)(ab)a2b20. 5