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1、函数中的同构问题探究知识梳理1. 一个方程中岀现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可 适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简.2. 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x = e叭対=en+*、XleX =e2,nr+t = e,nx+x、InX+ln = lnv、Inx-I = In-,Xe有时也需要对两边同时加、乘某式等.3. 常见同构式：Alnx 与Xe”型：xnx = nxemx 9 XeX = elnxex: “+InX 与兀+云型:x+InX=InX+etaxx + b=严
2、+H问题一、利用同构解决双参数恒成立问题例1(2020 山东21)已知函数/(X) = 1-InX+ Int/,若f(x).求的取值范围.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右 两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构适辅助函数同步练习1.对于任意实数0,不等式-InX+ lnrO恒成立，求的取值范輒问题二.利用同构解决不等式问丿点评：(1)为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换而”，常用 的方法有：Xmlnj 胁=严XT=严W =,nv+x . nx+na = hux.XInx-I = In-,有时也需要对两边同时加.
3、乘某式等.e(2)XInx与卅为常见同构式：XlnX = InX严，卅=严e； x + nx与x+e为常见同 构式：X + Inx = In X + enx, x+ex = elnx + e 例 1(2020 新课标卷 II 文数12)若 2v-2v 则()A. ln(y-x + l) 0 B. ln(y-x + l)v c. Inlx-yl0 D. InlX-yl0,不等式S-几Inx0恒成立，则2的最大值是 2 关于兀的不等式xelknx + k(x + )对任意x0 (其中k0 )恒成立,贝弘的取值范围是.3. 关于X的不等式xVu + 3)x + 21nx + l对任意x0恒成立，则k
4、的取值范围是.4. (2020 山东21)已知函数 = uet-,-lnx+ln,若/(x)l,求“的取值范围.5. 如果 cos5 - sin5 0的解集是xx 2bB. ab2D alY用的方法有：A =”、Xex = elnx+x、JCeX =e2lnx+x、 = InA*t Inx+ln= lnr InX-I = In-,Xe有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式：AlnX与丘型：Xlnx = InxZS XeX = XeX J x+lnx与卄疋型：+lnx = lnx+elnS + b=严2问题一、利用同构解决双参数恒成立问题例1(2020 山东21)已知函数f(x) =
5、ae-i-nx + na ,若/(x)l,求的取值范用.【解析】将/(a)1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：11 f(x) = UeX -lnx + lntl 移项得:ex1 + In a In X +1即 em+,+hulnx + l ,两边同时加(X-I) W e,n+ vl +x + na- In + X即 J* + (x + In -1) ninx + 严设 X) = X+ e ,则 (x) = 1+cO,所以 g(x)单增所以 Inr/+x-1 Inx 即 -lnx+ln-lO设(x) = -lnA + lnt-l ,则 Xer) = I-丄，所以/心)在(OJ)单减，
6、在(l,+)单增，X所以U)mln =(1) = 1-1O,所以1.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右 两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.同步练习1.对于任意实数A-O,不等式-InX + lnt0恒成立，求“的取值范围.解法一：将-InXlntO变形为 W1-. 2e2x 丄(说明：将参数移至一边)aU U两边同时乘X得2-1-(说明：H的是凑右边的结构)a aHP2xe2l-m- = /In-(说明：目的工；!左右两边的结构相同)(二a aa设 g(x) = XeX ,则 gx) = (1 + x)ex 0 , g(x)
7、单增 故由(#)得2xln- lnInx-ZvU再令(x) = 1-2,则() = -2,易知当( =(l) = -ln2-lX2所以 In Cl -In 2 1 1!卩 CI 2w解法:将 2ae2x Inx+ In0 变形为严*“ -lnx+ln“ 0，即 eln2l+2x + In2a In2x严出 ” + IX + In Ia 2x + In 2 =严 + In Ix设(X) = er+-,易知g(x)单增故2x+In2tln2r (以下同解法一,从貉).点评：(3) 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换而”，常用 的方法有：X = Mj 廊W=严+、2ev
8、 = 6,2!nxx、 = y十.Inx + InU = In心、XInx-I = In-,有时也需要对两边同时加、乘某式等.e(4) XInX与 Xe为常见同构式：Alnx = InAlnx , XeX =elnxex: x+lnx x + ev 为常见同 构式： + lnx = lnx + m x + ex =lnX +ex 问题二、利用同构解决不等式问题例1(2020 新课标卷II文数12)若2x-2v,-x + l) 0 B. ln(y-x + l)0 d. InlX-yl0-【答案】A【分析】将已知2v -2v V3- -3-V按照“左右形式形式相当,一边一个变量”的目的变形，然后逆
9、用函数的单调性.【解析】由2-2vJ2x-3x2-v-3v设 f (X) = T-Vx易知/(x)是定义在R上的增函数，故由2-3-0= y-x+1 1,从而ln(y-x + l) 0,故选 A.同步练习1.已知函数 f(x) = 3x-3x , d-21og30 + (引0g3 D A IogJ ,则 的取值范围是.【答案】t+)【分 析】这里可以发现IOgr=jog= (2IogJ-I)-(3IogJi),将3/(l-2 Iog31) + /(3 Iog3 r -1) log 1 r移项变形为3/(3Iog3/-1) + (3log/-1) (2log；+1)-/(1-2Iog31),易知
10、 f(x) = 3x-3x 是奇函数, -/(l-21og) = (21og3, + l) , 故 进 一 步 变 形 为 /(3Iog3/-l) + (3Iog3r-l)(2Iog3/-l) + (21og3r-l),此时,得到一个“左右形式相 当，一边一个变呈”的不等式，令F(x) = f(x)+ x ,问题转化为 F(31og3,-l)F(21og3,-l).只需研%F(x) = f(x) + x的单调性，逆用该函数的单调性 即可.解析J lgf =_lg( =-(1 -2log；)-(3log；-1)3. /(l-2Iog30 + /(3Iog3r-l)log1r 可变形为：3/(3
11、log-l) + (31og-l)(2 log；-1)-/(1-2 Iog)/(-) = 3-3是奇函数-(l-21og3r) = (21og-l). /(3Iog3r 1) + (31og-l)(2Iog3r一 1) + (2Iog3r-l)令 F(X) = f(x) + x = 3x-3-+t 则 F(X) = In33+ In33 + 10. F(X)单增31og-l21og-l, BPlog； 0,解之得/21所以上的取值范用是l,+s).问题三、利用同构解决多元问题例1已知实数州，W满足召刃=疋，x2(lnx2-2) = e则xlx2 =.【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结
12、构形式，令nx2-2 = t,x2=e,+2,得到iet=e3t研究函数f(x) = xex的单调性，求出XZ关系，即可求解.解法一：实数州，勺满足 XieXI = e3, (lnx2-2) = e5,Xl Q9x2 e2 lnx2-2 = r 0,x2 =er+2t 则 tel = e3f (x) = XeX(X O)J3 = (x+V)ex O(X 0),所以 T(X)在(0,+o)单调递增，而/(x1) = f(t) = & ,/. Xl =t = n x2- 2,. xx2 = x2 (In x2 -2) = c5.解析二：对XleXl = e3两边取自然对数得：hT+召=3,对x2(
13、ln2-2) = 两边取自然对数得：lnx2+ln(lnx2-2) = 5 (探) 为使两式结构相同,将 X)进一步变形为：(InX2-2)+ln(lnx2-2)=3 设 fM = hx + x 则 z(x) = - + l 0X所以/(X)在(0,-Ko)单调递增，/(x) = 3的解只有一个. Xl = Inx2-2,X1X2 =(Inx2-2)x2 =e5点评:两种解法实质相同，英关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函 数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.课后作业1. 对于任意实数A0.不等式e-nx0恒成立，则兄的最大值是.【答案】e2. 关于X的不等式.xekn
14、x + k(x + )对任意x0 (其中QO)恒成立，则k的取值范围是.【答案】(0,e3. 关于X的不等式x(R + 3)x + 21nx + l对任意x0恒成立，则R的取值范围是.【答案】(TO,04. (2020 山东21)已知函数/U) = UeX-,-lnx+ln,若/(x)l,求“的取值范围.【解析】将/(a)1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：由 /(x) = aei -InX+ lnl 移项得:aexi +ln01nx+l即eu,*-,ln0 ,所以g(x)单增所以 lu + x-l lnx , EQJ -1 + 1iu-10设(x) = x-lnx + lu-l,
15、则X(x) = l-丄，所以力(力在(0,1)单减，在(L+)单增, 所以(x)m4n =(l) = ln-lO,所以u.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右 两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数5如果 cos5 - sin5 的解集是7. 已知8w0,2r),若关于的不等式0-SR(SinT-CosQ)在(-2上恒成立,则&的取值范阳为.【答案】8. 已知实数，2),且满足宀4专-2-44则十的值为.29. (2020 新课标 I 理数12)若2+log2 = 4fe + 21og47,则(B)A. a2bB. ab1D. a
16、“满足方程2 + log2(=5,则x1+x2=.【答案或提示】2噸4不等式可化为：() +5吕”+5X构造函数f(x) = x3+5x ,则f(x) = 3x2+50, /在R上单增2所以 X 解之得XV2或一IVXVlA：+1所以原不等式解集是.3.【分析】本题的实质是含参数& (这里当然是sin8 cos& )的不等式恒成立问题,应抓住已知条件i肓-(sin-cos3)的対伏注构.为数，利用函数的单调性布列不等式.【解析】看到丽-(sin-cos)想“对称结构”，将它变形为:k sin3 - JsinG k cos3 - JCoS & 设张)“7, r=32-易知当 ke(-2 时，.厂
17、(X) = 32令0,故/(X)在O,o)单减,Sin & S cos O所以SinOnO ,解之得：044 CoSeno所以&的取值范期4. 【答案】2【分析】将a2-b2-4 = -2a-4b化为:a1+2a=(2-b)2 + 21-b,设/() = x2+2则几x)在(0,2)上递增，由/() = (2-Z?).得a+b的值. 4【解析】H a1-b1- = -r-r-b ,化简为：a2+2a =22-h + (b-2)2 ,即a2 + 2a =(2-b)2+22b,设/(x) = x2+2 则f(x)在(0,2)上递增，因为 a, b(0, 2),所以 2-/(0, 2),且f(a)
18、= /(2-Z?),所以a = 2-b,即a+b = 2.5. 【答案】B【分析】 4fe+2Iog4b = 2lh + Iog4b2=22b+ Iog2b = 22h +Iog22-1：.2 +Iog2 a = 22b + IOg2 2b设f(x)r+02x,利用作差法结合/(X)的单调性即可得到答案.【解析】举 + 2Iog4 b = 22h + Iog4 b2 = 22h +log2Z? = 22b + Iog2 2h -1.,.2 + Iog2 a = 22b + Iog2 2方一 1 ,故 2 + Iog2 a 2lb + Iog2 2b设=T+Iog2A-,则f(x)为增函数,所以
19、 f(a) f(2b),所以 a0,此时f(a)f(b2)t 有ab2当b = 2时,f(a)-f(b2) = -l0,此时 f(a) f(b2)t 有a=2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f G)y=af+2+cx+d苴对称中心为(Ab, f (a),其中 f (Ab) =0.8. 【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现英含有(x + 2)、X两个因式，将不等式转化为“一边一个变虽”的形式为：X6 - X4 + (X + 2)3 -(X + 2)2 + (X + 2),构适函数/&) = X3 - A2 + X ,题目转化为求解/(x2) /(x + 2)的问题.因为/V) = 3x2 -2x + l O 恒成立，故 /(a)为 R f(x2) f(x + 2)立得：a-2 X + 2 .解之得-1 79. 【答案】一ff(x) = 3x2 一 2 + 1 ,易知上的单调增函数，所以由Y 2.2