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1、2020 年北师大版爬坡练习题总复习例 1 两个数的最大公因数是30， 最小公倍数是180。 其中的一个数是90， 另一个数是多少？【详解】 求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先 180 除以 90 得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数30 乘另一个数的独有因数，即可得解。【答案】180 90=2 30 2=60答：另一个数是60。例 2 四个连续自然数的乘积是11880，求这四个自然数的和。【详解】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先把11880分解质因数，然后适当的调整计算，即
2、可求出这四个连续的自然数，再求出它们的和。【答案】把11880 分解质因数：11880=2 2 2 3 3 3 5 11；3 3=92 5=102 2 3=12这四个自然数数是9， 10， 11， 12。9+10+11+12=42答：这四个自然数的和是42。例 3 商场有“长虹”和“海尔“液晶电视 75台，售出“长虹”电视的 1 和“海3尔”电视的 3 后，两种电视共剩下42 台。原来两种电视各有多少台？5【详解】此题的两个分数单位“1”不同，我们可假设都卖了 1 ，这样的话一共3就卖了 75 的 1 ，即 25 台，还剩50 台。其实是剩余42 台，差的8 台，是把“海3尔”液晶电视的也假设
3、为售出 1 造成的。因此，8 台和 4 对应，也就是“海尔”315液晶电视的4 是那 8 台，所以，先求出了“海尔”液晶电视的台数，再用两种15电视的总数量减去“海尔”液晶电视的数量就是“长虹”电视的数量。【答案】75（1- 1 ）32=75 23=50（台）（ 50-42）（3- 1 ）53=8 415=30（台）75-30=45（台）答： “长虹”液晶电视有 45 台， “海尔”液晶电视有 30 台。例 4 一个文具盒卖价5 元，如果小东买了这个文具盒，小东与小鹏的钱数之比是 2： 5，如果小鹏买了这个文具，则小东与小鹏的钱数之比是8： 13，小东原来有多少钱？由题意可知：小东和小鹏剩余的
4、钱数的和是不变的，把二人剩余的钱数看作单位 “ 1”， 则小东买了这个文具盒后，他剩余的钱数占总剩余钱数的小东的钱数，占总剩余钱数的8 ， 增加了用乘法即可求解。22228 13， 增加的分率所对应的量是5 元， 于是用对应量5 除以对应分率） ，就得到二人剩余钱数的总量，进而根据求一个数的几分之几是多少，=5=5=205(88 1382()21 72821 21(元)2 )5288218132，5288 1388 13答：小东原来有20 元钱。例 5 甲、乙、丙三人同时从A地向B 地跑，当甲跑到B 地时，乙离B 地还有35米，丙离B 地还有68 米；当乙跑到距多少米？B 地时，丙离B 地还有
5、 40 米，A、 B 两地相B 地时，乙离B 低还有 35 米，丙离B 地还有 6835 米到达 B地时，米；当乙跑到B 地时，丙离B地还有40米，也就是说当乙跑丙跑了 68-40=28（米） ，据此先求出乙和丙的速度比，设A、 B 两地相距x 米，依据路程和速度成正比可列方程：（ x-35 ） ： （ x-68） =4： 5，依据等式的性质即可求解。【答案】设A、 B 两地相距x米。68-40=28（米）35： 28=5： 4（ x-35） ： （ x-68） =5： 45 x-340=4x-1405 x -340+340=4 x -140+3405x-4 x=4x+200-4 xx=200
6、答：A、 B 两地相距200 米。例 6 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AE=EB=CD=厘米， 3BC=ED=2厘米。以 CD边为轴将该梯形旋转一周，形成的物体体积是多少？【详解】将梯形ABCD以CD为轴旋转一周后形成的物体，是一个底面半径是2厘米、 高为 6 厘米的圆柱中挖去一个底面半径是2 厘米、 高为 3 厘米的圆锥，分别计算出圆柱的体积和圆锥的体积，然后相减即可。也可以这样分析：圆锥的体积是与其等底等高圆柱体积的1 ， 则旋转后上半部分的物体体积相当于下半部分3圆柱体积的2 ， 于是该物体的体积是下半部分圆柱体积的5 ， 列式可得5 3.14333 22 3=62.8（立方厘米
7、）。1【答案】3.14 22 6-3.14 22 3 131=12.56 6-12.56 3 13=75.36-12.56=62.8（立方厘米）答：形成的物体体积是62.8 立方厘米。例 7 一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥的底面半径为3 分米，圆柱的底面半径为2 分米容器内装有水，如果按图1 放置，水深比圆柱高的1 多 22分米，如果颠倒这个容器（ 如图 2） ，那么容器中的水刚好装满圆锥部分。这个容器中圆柱部分的高是（）分米，这个容器的容积是（）升。【详解】首先根据圆锥的容积公式：v= 1 sh，求出容器中水的体积，再根据圆柱3的容积公式：v=sh，由于水的体积不变这个等量关系，列
8、出方程求出容器的高，进而求出这个容器的容积解：设圆柱、圆锥的高为x分米。1132 x =22（x+2）323 x =4（1 x+2）23 x=2 x+8 x=8x=811 3.14 32 8+3.14 22 831= 3.14 9 8+3.14 4 83=75.36+100.48=175.84（立方分米） =175.84（升）【答案】8 175.84例 8 如果用 “” 表示一个立方体，用 “” 表示两个立方体叠加，用 “”表示三个立方体叠加，那么图中由7 个立方体叠加的几何体，从正面观察，可画出的平面图是（） 。【详解】 先找到从正面看所得到的图形（注意所有看到的棱都应表现在视图中），再根据
9、题意进行分析：从正前方观察，应看到下层一行有三个立方体且中间的为三个立方体叠加，上层中间位置有两个立方体叠加。所以选A。【答案】 A例 9 用 8 个棱长5cm的正方体拼成一个长方体（如图），这个长方体的表面积是多少？如果拿走一个小正方体后，它的表面积是多少？【详解】 （ 1）观察图形可知，这个长方体的长是4 个小正方体的棱长之和，是20 厘米，宽是10 厘米，高是5 厘米，利用长方体的表面积=（ ab+ah+bh）2计算即可；（ 2）如果是拿走顶点处的小正方体，表面积在减少4 个面的同时，也增加了2个面， 所以比原来的长方体的表面积是减少了2 个小正方体的面的面积；如果拿走的不是顶点处的小正
10、方体，则表面积在减少3 个面的同时，也增加了3 个面，所以与原长方体的表面积相等，据此即可解答。（ 1） 5 4=20（厘米）5 2=10（厘米）（ 20 10+20 5+10 5）2=350 2=700（平方厘米）（ 2）若从顶点处拿走一个小正方体，表面积：700-5 5 2 =700-50 =650（平方厘米）若不是从顶点处拿走小正方体，则表面积在减少3 个面的同时，也增加了3个面，所以表面积还是700 平方厘米。答： 长方体的表面积是700平方厘米如果拿走一个小正方体后，它的表面积是650 平方厘米或700平方厘米。例 10 一个小正方形内接于一个圆，而这个圆则内接于一个大正方形（如图所
11、示） ， 若外面的大正方形的边长是3 厘米， 则阴影部分的面积是多少？（取3.14）【详解】 由大正方形的边长是3 厘米， 可知这个圆的半径是1.5 厘米。 小正方形可以看作是由底为3 厘米、 高为 1.5 厘米的两个三角形组合而成。再用圆的面积减去小正方形的面积就可以求出阴影部分的面积。【答案】如下图正方形内接圆的面积：3.14 1.52=7.065 （平方厘米）小正方形的面积：3 1.5 2 2=4.5（平方厘米）7.065-4.5=2.565 （平方厘米）答：阴影部分的面积是2.565 平方厘米。例 11 用同样长的小棒摆成如下图所示的图形，照这样继续摆，图形一共用了（）根小棒。【详解】
12、图形用5 根小棒摆成，图形用9 根小棒摆成，图形由13 根小棒摆成 , 仔细观察发现：在图形的基础上，每增加一个五边形，小棒的根数增加4。图形可以看作是在图形的基础上增加了5 个五边形，所用小棒的根数为5+5 4=25。例 12 星期天， 阳光明媚淘气的三个伙伴A、 B、 C在楼下喊他，约他去打球， 淘气站在阳台上不能看到（A、 B、 C三个伙伴。A在左下方，淘气站在阳台上不能看到；B、 C在右下方，淘气站在阳台上能看得到。体的背面形成一个黑暗的区域，这就是影子；过光源和立杆的顶点做一条光线，这条光线和地面的交点就是影子的最右端的位置，从而得出结果。 【答案】例 14 小明假期随爸爸去旅游，他
13、把汽车从A 城到 B 城的行驶情况制成下面的（ 3）在A城到 B城这段公路上，汽车的平均速度是每小时（）千米。 （休息时间除外）【详解】 （ 1）根据统计图纵轴所示，每一格表示60 千米，因此汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了60千米。（ 2）从横轴上看，1 小时是 4 个格，因此每一格是15 分钟，因此汽车休息了15 2=30（分钟）， 即 0.5 小时； 汽车休息的地点距B城：360-240=120（千米）。（ 3）要求平均速度，用总路程除以总时间，但要注意：休息时间除外。即（1）汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了（60）千米。（ 2） 360-240=120（千米）， 15
14、2=30（分钟）=0.5（小时） ；（ 3）在A城到B城这段公路上，汽车的平均速度是每小时行：360（4.5-0.5 ） =90（千米）【答案】60 120 0.5 90例 15 下面是一辆汽车与一列火车的行程图表，根据图示回答问题。（ 1）汽车的速度是每分钟（）千米；（ 2）火车停站时间是（）分钟；（ 3）火车停站后时速比汽车每分钟快（）千米；（ 4）汽车比火车早到（）分钟。【详解】观察折线统计图可得：第（1）题根据统计图可知：汽车出发的时刻是7:55， 行驶到 15千米时的对应时刻是8:20， 所以用路程（ 15千米） 除以时间 （ 25分钟）即可；第（2）题从图中可知火车在8:00 到 8:10 之间停站，也就是停站时间是 10 分钟； 第 （ 3） 题可先求出火车停站后的时速，再减去汽车的时速即可；第（4）题，由图中得出信息可知汽车到达时刻为8:20，火车到达时刻为8:25，汽车比火车早到5 分钟。31【答案】 （ 1） 3 ； （ 2） 10； （ 3）1 ； （ 4） 5515