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1、B-S模型假设：1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相 同的回报，均为无风险利率I2、市场上没有交易费用：3、市场的交易可以连续进行；4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的 证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）：5、证券在期权存续期内无红利发放；6、资产价格服从几何布朗运动模型：冏二,（ + 7*/比其中，W是标准布朗运动，“是证券的期望增长率，b是证券的波动率。风险中性定价方法：风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论: 即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险 态度无关的。在理想
2、的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基 础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率I其次，正由于不存在 任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率厂，所以基础证券或衍生 证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险 中性定价过程是鞅（Martingle）,所以现值的风险中性定价方法乂称为等价鞅方 法 （Martingale Pricing Technique）o设在客观测度P下，S,的动态为：cis, =4-, 0t K = (r- a)T + cjJtZ hi2Sqi。=厂工（S厂“一 k厂亡汁衣亠,辰八dZI K1 c|而 一（1
3、尹）小乔5节十（尹）门，lK 亠 e 壬业=QTKNg, y J2兀-rT匚亠dz,Is令“ =z-ad、=/ +aVr = (In+ (r+ r2)T), a-JT K 2=SJ e -du = S0N(d2),所以，VQ = SQN(d2)-eKN(dl)o注1：加)引理是随机分析中的链法则。ho过程是有如下形式的过程：X(t) = S(0 ) J (u)dVu + J &(u)du.或者可以写成微分形式：dx=&df+dw,.令为应过程，f(t9x)为实值函数且偏导数fg), fx(t,x)及几(F,X)均 有定义且连续，则 df(t, x,)= ft (r, x,)dt + fx (r
4、, x,)dx, + 1/CT (r, xt)dxtdxt.注2： Girsanov定理：令(0rT)为概率空间(G,尸,P)上的布朗运动。设 F,(0t(/)(0/7),是与此相适应的过程。对0幻灯 定义：W, = 0(u)du + W, Zf = ex * &/比 一 j J；伊()：并定义一个新的测度，对任意AeF,定义P(A) = zrdP ；则在新测度下P下,过程w,(or0并给定re0,To定义函数g(/,x)=E(Xr),则 g(人X)满足偏微分方程g,(f,.V)+ a(tyx)gx(/, J + *0(G.v)gn(r,.v) = 0.而终点条 件为 g(T,x) = h(x)。分析：由于在风险中性测度Q下的动态为dS严0d/ + Sq/就，令g 亿 S)=穴 S) = Eq (e-rT c(r, S) Ft)由 Feyiu)ian-Kac 定理知 g(t,S)满足：宼+M聖+丄丫空=0 dt dS 2 dS2，而 g(t,S) = ertC(t,S)ftt=-膚”c(/, S)+厂 c, a, S)；dt詈十C“S)；器二厂Css(/,S).代入方程空+卅聖+丄”了空=0,有dt dS 2 aS*C(f,S)+ rS (t,S) + crS1C5S(t,S)-rC(t,S) = 0 ,这正是Black-Scholes方程。