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1、第三章 函数极限 教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数
2、不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的定义及其应用。一、复习：数列极限的概念、性质等 二、讲授新课： （一） 时函数的极限： 以 时 和 为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义 ( 和 . ) 几何意义 介绍邻域其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证 （二） 时函数 的极限： 由 考虑 时的极限引入. 定义 函数极限的“ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证
3、( 类似有 （三）单侧极限: 1定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限 不存在. 例11 设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有 = 2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明
4、或简证. 二、讲授新课： （一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出. 1. 唯一性: 2. 局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性( 不等式性质 ): Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域 , 使 ，都有 证 设 = ( 现证对 有 ) 註: 若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明. 5. 迫敛性: 6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”) （二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极
5、限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限 和)例2 例3 註: 关于 的有理分式当 时的极限. 例4 利用公式 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求和 补充题:已知 求和 ( ) 3 函数极限存在的条件（4学时） 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以
6、极限 为例.一.Heine归并原则函数极限与数列极限的关系： Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )注意自变量各种变化形式下对应的Heine归结原则的形式。（包括连续时） Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅1P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明 例3 证明 不存在.二.Cauchy准则: Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域 内有定义.则存在, 证 ( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用C
7、auchy准则证明极限 不存在.证 取 例5 设在 上函数 . 则极限 存在, 在 上有界. ( 简证, 留为作业 ). 4 两个重要极限（2时） 教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点：两个重要极限的证明及运用。教学难点：两个重要极限的证明及运用。教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一 （证） （同理有 ）例1 例2 .例3 例4 例5 证明极限 不存在.二. 证 对 有 例6 特别当 等. 例7 例8 例9 5无穷小量与无穷大量 阶的比较（2学时） 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。
8、会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。一.无穷小量: 定义. 记法. 例1 判断: 可怜虫是很小很可怜的虫; ( ) 无穷小量是很小很小的量. ( ) 无穷小的性质: 性质1 ( 无穷小的和差 ) 性质2 ( 无穷小与有界量的积 )例2 无穷小与极限的关系: Th 1 ( 证 )二. 无穷小的阶: 设 时 1 高阶（或低阶）无穷小： 2 同阶无穷小： 三等价无穷小： Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) 几组常用等价无穷小: （见2）例3
9、时, 无穷小 与 是否等价?例4 四. 无穷大量: 1.定义: 2.性质: 性质1 同号无穷大的和是无穷大. 性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系. 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果. 3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习 题 课（2学时） 一、理论概述： 二、范例讲析： 例1 设数集无界.试证明:存在数列使例2 设 为定义在 上的递增函数. 证明: 极限 存在的充要条件是函数 在 上有上界.例3 证明: 对 其中是Riemann函数.例4 设函数定义在 内, 且满足条件 对 有 试证明 是 内的常值函数. 例5 求极限注意= 有界 例6 求 和 .解法一 又 解法二 ， 由 且原式极限存在，即 .例7 . 求 .注意 时, 且 . 先求 由Heine归并原则即求得所求极限. 例8 求和.并说明极限 是否存在.解 ; 可见极限 不存在.13 / 13文档可自由编辑打印