《《高等代数》期末考试卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等代数》期末考试卷.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高等代数期末考试卷一、单选题（32分.共8题，每题4分）1） 设为3维行向量，丫=。,工2，当）1（2，占，3）=8，则CA）对任意的，V均是线性空间：B）对任意的方，V均不是线性空间；C）只有当。=0时，V是线性空间：D）只有当。时，V是线性空间。2）已知向量组I： a）,a2，,a,可以由向量组II：，,J,线性表示，则下列叙述正确的是AA）若向量组I线性无关，贝心二f；B）若向量组I线性相关，则s/：C）若向量组II线性无关，则s / ：D）若向量组II线性相关，则st.3）设非齐次线性方程组AX =J中未定元个数为，方程个数为小，系数矩阵A的秩为人则DA）当r时，方程组4X=J有无穷多
2、解； B）当r=时，方程组AX=J有唯一解：C）当，时，方程组AX=J有解：D）当r = ，时，方程组AX=J有解。4） 设A是加阶矩阵，8是 邛介矩阵，且A3 = /，则 o AA) r(A)=阳，r(B) = m ：B) r(A) = m, r(B) = n ：C) r(A) = n. r(B) =m ；D) r(4) = ，r(8) = 5）设K上3维线性空间V上的线性变换p在基CjC、,Q1下的表示矩阵冲1IiL则g）在基r,2c”C3下的表示矩阵是 o C1 2 1111 2 1C)卜 o 1；i 2 i1 7 1D) 2 u 21 f IA) 2 0 2 ：B)1 0 工：6） 设
3、（p是V到U的线性映射，dim V =句dimU = m，若mn ,则（p。 BA）必是单射：B）必非单射;C）必是满射：D）必非满射。10/ 1学年第一学期原门大学高等代数期末试卷7)设V、U、W是数域K上的线性空间，又设?、丫、口是都是V上的线性变换，则下列结论正 确的有 个。B Ker(p +丫)/ Ker(p + KerY ； Im ( a-b! W = (a+b,a + b)a,bK ； W = 亿4,酬4/ kA) 1：B)2；C)3；D)4O二、填空题(32分.共8题，每题4分)1)设向量组，,线性无关，L =2a?+3%+.+% , J, =a, +3a. +. + rar,
4、,Jr =a,+2a2 +. + (r-l)ar_, Jr+1 =a, +2a2 +. + (r-l)ar_, + rar,则J PJr+1(选填 “线性相关”，“线性无关”，“无法确定”)。线性相关2)设I：%。2，.,火和山1,人,.，是线性空间丫中两个向量组，向量组I可由向量组H线性表 示，且1) = II),则向量组I与向量组II(选 “必等价”，“未必等价”)，s与/(选填“必 相等”，“未必相等”)。必等价，未必相等3)设a%,%,%都是4维列向量，A = (aa2,a3,a4)o已知齐次线性方程组AX = 0的通解是 攵(0,1,1,0)。以4表示A的伴随矩阵，则齐次线性方程组A
5、X=0解空间的维数是,而 是 它的一个基础解系。3, 四,。2，。4或d,。3，。44)设元齐次线性方程组4丫 = 0和桁=0分别有个线性无关解向量，且/ + ?，则 (A + 8)x = 0(选填“必有”，“未必有”)非零解。必有5)设%,在，MW”，弘是V的两组基，(电,的,.,弘)=(%62，AJA 又若V中向量 a在基WWz,.”下的坐标向量是X,则a在基C1,C2,.,c“卜的坐标向量是。PX6)设V1 , V2都是维线性空间V的子空间且 dim(V1+V2)= din】Y + l ,则dim V2 -dimCV, 4 V2) =。10 1 07)设(p是V到U的线性映射，且(p(C
6、|,c,cJ =(w，)|，其中CiC-Cj, %2，分别：0 0 10是 V 和 U 的一组基，则 Ker(p=, Imq =。(n,), U 或必”?)0 -18)设A=| I,由X AX定义了 R? 上的线性变换中，则q的不变子空间是_。0, R2 11 09(6 分)设向量组四,%,%是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系。问下列向量组 a1 +2a2+a, 2a)+a, +2av%+0+%是否也是齐次线性方程组AX =0的一个基础解系？为 什么？1 2 1解：(法一)3 + 2a.+a，,2a1+a)+ 2a(X1+a)+a、)= (a ,a ,a )12 12 1 1= 0 ,故不
7、1 2 1 是基础解系。f2 H(法二)因2 1 1卜2(a) = 0.证明：a,(p(a),.,(pi(a)是V的一组基，并求q)在这组基下的表示矩阵。证明：因a,(p(a),.,(pi(a)的个数恰为V的维数，因此要证其为V的基，仅需证其线性无关即可。事实 上，设koa +K(p(a) + Z”w7(a) = 0,(*)将(pi同时作用于(*),结合已知条件，得&秒i(a) = 0,又(pi(a)oO,故攵o=O。类似的，将中。 (p-3,，p作用于(*),得占=0,3=0,，*=0。进而射(pM(a) = 0,由(pi(a)oO, 故 4- =0o0(P 在a,(p(a),.,(pz(a
8、)下的表示矩阵 。5、 (10分)设A是阶方阵且r(A) = 。求证4?=A的充要条件是存在，矩阵S和r矩阵T ,使得 A = ST, TS = j r(5) = r(T) = r o证明：充分性直接计算A2=STST=S/r = A。必要性。对矩阵A,存在可逆矩阵P, Q使得A = p lQ = pIf(I ,0)go令S = P,I qI I 0 I r，0 3 3 9T = (/,，0)。，可证P，。即为所求。显然，S和7分别是 r矩阵和r 矩阵，且因尸，Q可逆，所以 r(S) = r(7) = r o 下证 75 = /,。由#=A,得(法一)(10级尹思文)将(*)等式两边分别左乘(
9、。，0)尸-1右乘。得U 0)0尸1=/ , |。6 r oj f即 TS = /,。(法二)(10级李宏生，王邑良，吉子龙，夏宇静)由(*),ts=(。)。吧.叩。33 讥 S 讥 S ,(法三)(*)式= /;(1 ,0)0尸臼(/ ,0) = 75(1 ,0)(1 ,0) =， r 故7=/。I o I， Inir I 0 Ir I 0 jIo/u3 A u3 u9u3必要性。(法四)(10级李荣刚)将A视为线性变换(P在维线性空间V的某基下的表示矩阵，由同构对应，则6=3。设p的秩为人c ，,c 是Ker(p的一组基，将扩成c,c,c ，C为V的 一组基,则(p(cj,(p(c,)线性
10、无关，且可证(p(c),(p(c,)Cz，c是V的一组基。事实上，因为V 的维数是，因此只要证明(p(cj,(p(c,)c1,c线性无关即可。设匕(P(Cj + .+/(p(Cr)+ (+Crx+FC=0,将(P作用于式子两边，结合q)2=(P，得p(匕(p(C1)+.+%(p(c,)+(+C$+.+k“c“)=K(p(c)+.+(p(Cr)=O,由p(Cj,.,(P(Cr)的线性无关性，得尢=0,进而(+| =.=攵“ =0。因此p(p(C|),.,(p(C,)C+i,.,c“)= (p(Cj，,(p(Cr)，C,+i,.,CR)f%这说明存在可逆矩阵P,使得。-四尸=：。令S = P,7=
11、(/,0)pT,则从=57，TS = I ,I 010 1rr3 ar(S) = r(T) = r 0（法五）（10：-;小子佳，高场-胡丹青，黄步跃，林琴等）因42=4,所以存在可逆矩阵P,使得A = p尸。另 S=P ,7=(/ ,0)PolI o IrS 3i,则从=57，TS = Ir(S) = r(7) = r 。主要错误：法二、法三中7s =/没有证明。六、 （10分）设V是数域K上维线性空间，（p,o是V上线性变换，且（p2=0. o2=0,（po+o（p=/v，其中2v是V上恒等变换。求证:(1) V = Ker(p v Kero ；(2) V必是偶数维线性空间。证明：(1)对
12、6axV , a =P(a) + o(p(a) = J +共 0 由已知(p： =0 , o2 =0,得(p(J )=(p2(o(a) = 0, o(i) = o(p(N) = 0 ,即 J %Ker(p , |1 /Kero 说明 V = Kercp + Kero。此夕卜，对6a%Ker(p Ker。，(p(a)=0,o(a)=0 由(po+o(p=/v, Wa=(po(a)+o(p(a)=0 o 说明 Kercp - Kero =0。综上，即得V = Ker(pKero。(2)(法一)设 r(p) = r,则 dimKercp = 一厂 0 由(1),若%,缶,C/是 Kero 的一组基，
13、cp(G),(p(G)，,(p(G )线性无关，且由(p2=0,知(p(#),(p(p ),(p(c )为Ker(p ,意味着r二一九 同 10-11学年第一学期度门大学高等代数期末试卷o(c*),o(c,+2)，,。八)线性无关,且由。2=,知 o(Ce).o(C-2)，,o(Q)%Kero ,意味着 /?-r Z r o 因此一r = r,即 = 2r。(法二)(10吴璇)设Q，G ,.Q 是Kero的一组基，由于6=。，所以qQ)为Ker(p,l Hi殷下面证明(p(C1),(p(C2),.,q)(cJ线性无关。事实上，设G(p(Ci)+C2(p(C2)+.+qq(cJ=O。两边同时作
14、用o ,则CiO(p(C1)+c2cHp(Cz)+. +qo(p(c J=0( *)而Ci=qo(c)+o(p(c)=o(p(c),所以(*)式即为cc+c2c2+.+c/=0,从而=0,1口人因此(p(C),(p(C2),(p(r)线性无关。故女=山1111010 二 dimKercp a 同理，dim Kercp Z dim Kero o 从而.附加题：(10分)设(P，。是维线性空间v上线性变换，且N(p) + “o)二。证明：存在v上可逆变换卜，使得 (plO = 0 o证明：(法一)设八,八2,，是V的一组基，(P和o在该基下的表示矩阵分别是A和3。|40 r对48分别存在可逆阵尸,
15、。,5,人使得从=川 0 Q, B=S1 /匕令C = Q-，01 0VV则C可逆，且A8C = 0定义V上线性变换，,n)c,贝什可逆，且00=0。化 ”(法二)(10侯晓宇，郑鹭鹏，郑鹃)如上设A = pl 0 Q, 3 = S 0丁。令! I 。！C=QT 【n-pf S-oIqs(法三)(10 袋姗姗)设 r(p) = r, r(o) = k ,则 r + 左二，kn-r 又设nt+1 ,ck+2，,n)是 Kero的一组基，将其犷为V的一组基c“,r,r+，,c/,则o(C1),.,o(cJ线性无关，记w=o(r),1 汇女，将%，,vJ扩为V的一组基%,.,电平+1,。再设内，,L
16、，出+l,即T是Ker(p的一 组基，将其扩为V的一组基内,山山7串山川，,o定义V上线性变换卜：w pf, 12/Zh o 则可逆，且(pb = 0。(法四)(10吴璇)设r(o) = k,即dimlmo= 记电芈,是Imo的一组基，扩为 巾,VdVe，,wJ为v的一组基。设 r(p) = r，即 dimIm(p = r ,则 dimkercp = n-r 0 记C,C2，.,cr是 ker(p 的一组基，扩为 巾,M-2,用为V的一组基。定义V上线性变换)：n,l j/nH,则是V上可逆线性变换(因将V的基映射为V的基)。下证(po =0 o对任意 a %V , o(a)/Imo , o(a) = gw + c2vKz + +6电 因 r(o) + r(cp) = k + r 二，所以 kDn-rt且同蒯)=中()0,1匚i口 进而(po (a) = 0 (q|/| + C2W2 + + ) = 0。