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1、学案5.1向量的线性运算自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.向量的有关概念名称定义备注向量具有 和 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面向量是自由向量零向量长度为 的向量；其方向 记作0单位向量长度等于 的向量非零向量a的单位向量为平行向量(共线向量)共线向量的方向 或 0与任意向量 或共线相等向量 、 都相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).向量的减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a
2、与b的差 法则aba(b)数乘向量求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0或a0时，a0(1)()aaa；(2)(a)()a；(3)(ab)ab3.平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)若ab，bc，则ac.()(4)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点
3、在一条直线上.()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()(6)ABC中，D是BC中点，则().()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 平面向量的概念例1下列命题中，正确的是_.(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.答案解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；正确，
4、向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.变式训练：设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是
5、假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 考点二 平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B.C. D.(2)在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc答案(1)C(2)A解析(1)()()().(2)2，22()，32，bc.命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则等于()A. B.C. D.(2)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3
6、，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.答案(1)A(2)D解析(1)2，即2()，.(2)设y，yy()y(1y).3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x. 变式训练：如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，则的值为()A. B.C. D.答案A解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，由E，F，K三点共线，可得，故选A.考点三：平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；
7、(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.(2)解kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是两个不共线的非零向量，kk10，k210.k1. 变式训练(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线(2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.答案(1)B(2)
8、解析(1)2a6b2(a3b)2，、共线，又有公共点B，A，B，D三点共线.故选B.(2)()，12，1，2，故12.当堂达标1.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是()A. B. C. D.答案A解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误.2.如图所示，向量ab等于()A.4e12e2 B.2e14e2C.e13e2 D.3e1e2答案C解析由题图可得abe13e2.3.(2015课标全国)设D为ABC所在平面内
9、一点，3，则()A. B.C. D.答案A解析3，3()，即43，.4.(教材改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示).答案baab解析如图，ba，ab.5.已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案解析由已知得abk(b3a)，解得巩固提高案 日积月累 提高自我1.设O是正方形ABCD的中心，则向量，是()A.相等的向量 B.平行的向量C.有相同起点的向量 D.模相等的向量答案D解析这四个向量的模相等.2.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()A.a0b0 B.a0b01C.|a0|b0|2 D.|a
10、0b0|2答案C解析因为是单位向量，所以|a0|1，|b0|1.3.在四边形ABCD中，ABCD，AB3DC，E为BC的中点，则等于()A. B.C. D.答案A解析，.4.已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D.点P在ABC外部答案C解析由得，即2，所以点P在线段AC上.5.已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A.30 B.60C.90 D.120答案B解析由0，知点O为ABC的重心，又O为ABC外接圆的圆心，ABC为等边三角形，A60.6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且
11、向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_.答案平行四边形解析由得，所以.所以四边形ABCD为平行四边形.7.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.答案2解析由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.8.(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析()，x，y.9.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解()ab.()()ab.10.设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.(1)证明e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线.又与有公共点C，A、C、D三点共线.(2)解(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.- 16 - / 16文档可自由编辑打印