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1、分数的根本性质例1、分数3的分子加上9,要使分数值不变，分母要扩大多少倍? 833+9析o =n ，分子增加3倍，说明分子扩大了 4倍，分母也要增加 3倍或扩大4倍。 88+ IJ4 5拓展：分数一的分子加上8,要使分数值不变，分母要扩大多少倍?154例2、分数7的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是3-,求分子和分母都加上的这个数是几? 43分析：万法一试一试：将4的分子、分母同时扩大一样的倍数3 6912 1544 =8=弦G =20用这些分数的分子、分母与7的分子、分母相减，结果一样的就是。方法二先观察下面的几组等式:2 4 39 4 163 =6 5= 15 3= 12a d
2、穿插相乘可以发现 3X4=2 X65X 9=3X 154X12=3X 16,因此我们得出这本一个结论，当 -=%时，aX c=b Xdo解：设分子和分母都加上的这个数为x,根据题意可得：4+x37+x= 4(4+x) X 4=(7+x) X 3 16+4x=21+3xX=21-16X=5方法三：【利用分母与分子差不变】,11 一、口拓展：分数 一的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是413 ,求分子和分母都加上的这个数是几?8原来相差30加同样的数还是相差 30但新数相差为5,必须5X 6 =30一一，八 一一， 2，一例3: 一个分数，分子比分母大 20,如果分子减去6,得到新分数
3、约分后等于1-,求原分数。3方法：【利用分母与分子差不变】31例4、一个分数，如果分子加上1,就变成4 ,如果分子减去1,就变成，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大看分子减2倍可以不可以变成 1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1,分母减去1,就变成4 ,如果分子减去1,分母加上1,就变成?，那么原来的52分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数小2,分母比第一个数大 2方程法：一个分数，如果分母减去 2,就变成2 ,如果分母加上5,就变成3 ,那么原来的分数是多少?38方法一、等值放大两数分母相差7
4、方法二、通子3一个分数，如果分母减去4,就变成1,如果分子减去2,就变成 ,那么原来的分数是多少?将分子，分母数字较大的采用“等值放大将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数大2,分母比第一个数小 41例5、-个分数，分子分母的和是3如果分子分母都减去19 ,得到是新分数化简后是心求原来的分数是多少?利用和变拓展:554分数的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为一，求某数是多少?6413利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16,分母减去166,那么约分后是 3,如果分子加上124,分母加上340,那么约分41后是一。求原分数是多少?2用方程组分数的拆分问题一、分数拆
5、分的初步知识拆分主要有以下几个步骤：把J的分母写成质因数乘积的形式“即Iiq x 5把心的分子和分母同时乘以5,成为劣黑的形6式,这叫做扩分。注意：为什么要乘以5?因为5正好是分母6的两个质因数的和把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：1152”2 W2x3x5 -2x3x5 - 2乂3乂5* 2乂 3乂5把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。例1填空:六一,并写出过程111X927 M 2X7- 2X7X9 - 2X7X9 2X7X91111一 ”9+2X9 一品十而事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的
6、和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。晚填空19A十六1解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18,取不同的两个约数的和，可以得到 不同的解。如:1 乂。+ 2)121118X(U2) = 5?+54 = 54 + 27乂(2+的2 J_ 18Xp+J) = 90 + 90 = 45*301 乂(3 + 6) _ 361118X(3+ 6) = H2 + 162 = 51 +27“(6+9) _ 6 9 . 1 118X(S + 9) = 270 + 270 4530!乂(9+1a _ 9 道 _ 1 , 118, -486+ 486 = 54 + 271X (2 + 9) _
7、 2 , 9 _ 1 , 118(2 + 9) =198+ 198 = 99422可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不一样。但是中选用的四个约数成比例时，它们的解就一样。如：选用 1和2, 3和6, 9和18;或选用2和3; 6和9时，解就一样。、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和例3填空.卷+白各解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。_ 11X(1 + 2435123 -+ IS18X(1+2 + 3)103108IDS11 1= 3 + + 10S54 女小11X (2 + 3
8、+ 6)23313 18X(2十 198 198 198111=4-+99 E6 331tl1X (1 + 3 + Q 136(3) b - 4 18 18X (14-3 + 6)ISO 180 1801 1 1 =+ + 180 60 30答案不只一种。三、把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系1 _1111乂2 一212212_12X3 261 _1工113乂4 一123412由上面的例子可知：由一个分数为-时n G1为自然数），可 n 尺（口 + 1）拆分为:产形4即m_ J_ _1_nX (ii + 1) n n +
9、1（公式。例4填空:4 =6解.二1-1 J = 1.1 6 2X3 2 312 3X4 3 4工=上56 7X8 7 8观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。55 J1LXU - 1781663116-1151 16 - 176 176I18-263i816168119-7279 - &3的2X8 - 16- 8:227X$ 63以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d,都是自然数时, 一-可以转化为两个分数相械的形式。即. n又（口+d）（公式2）当d=1时，公式2那么转化为公式1。利用公式2可以把一些分数拆成两个分数差的形式。例5把下面各分数写成两个分数差的形式。C
10、l) A(2)A(3)A(4)L2428631852X9 2 9由公式02）n (n + d)1一工可推导出: 口 n + d（公式3）=_ x rn X (n + d) d n n + d涉245%“111-=x i- T632、3281X(-1418 7lx31观察下面等式，左右两边有什么关系。1 11X2X3112X3Xd - 24113X4X5 = 60* x f)一2 hx 2 2X3 &1111X (1 )=2 k2X3 3X4， 241 I 1(0 13X4 4X5， 60解：由公式2e 1 I11111原式一而彳正)十(记一刀十喘一方十示111111111=12- 1? + 1
11、6-18 + is - 20 201=12例8计算,1X5 5M9 9乂13 13X17 17乂21解：由公式3lx 411 11 111 11 111=X fl 4s 中 中 + 一 十4 1 5 5 9 9 13 13 17 171 1丁卬五)421 21例9计算:11 1 11 + 4-2 1 + 2+3 2 + 3711个2十3十十50解：由等差数列求和公式口乂（口 + 0停1 + 2 +3+ - 4ft+ ftX(ti4 1)21 t= 2X()口 n +1由此，此题中的各个分数可以拆分为:2X()1422 31 1 1iTKi = 2X(3-4) 1+ 2 + 3 + 4 - 2X
12、f4I.二一5产父舄因此，此题解法如下:原式二1+2乂(；3)+ 2)=1+2乂1 1 1 1“三十十元37)1 1Cj1X2 2X3112X3 3X4,11()SX4 4X54949= 1 + (1-=1 T 1 51511111例1。计算1 + -LJ+W门24 60 40解m根据公式g)(X 6 21 1乂24 21 1, 一 X60 2原式二；(.1(2X31+ - X (3,4， 2 k3X41 14*5 40x r2 hxz1 +2X3 2X3 3X4 3X4 4X540例11计算+-+-1 .=“4X5X6 5X6X7 6乂7又8 7X0X998乂99乂100解：根据公式4原式,
13、=1乂2 。乂5+ 4 + 5乂6 5% 冥7 6X7 ”兔 7XS1 1 18X9+, 98X 99 95 X 100上面三个算式说明，分母是2、3、4的如上面这样的算式，它们的和分别是 2、3、4。由此可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分数的和等于 K。所以， 原式=2+3+4=9 例13计算112111991 19901金 4 4 sL X T.* afe. * J. 2 2 2两1991 1991函fLxL-_)2 %乂5 99X100，40 1980D494 却了例12求121123211234321的和15890 = 3500解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。1211+2+1412222212321 1+2+3+2+193 3 3 3 3331234321 1+243+4一十一十十十一十一十 一士44444444164把下面各分数写成两个分数差的形式5.先观察，找出规律。1 _ _ 4 _ 1 3 _ 1 13 3X4 = 12 12+12 12+ 411X551411_ = _|_ = _|_= 4 _44X52020 2020 511X66151155X63030 3030 6然后在填上适当的整数要求分母都不同，且尽可能小