《上海市育才中学2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市育才中学2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析).docx（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品文档，欢迎下载!如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市育才中学2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析)一.填空题1.不等式-1的解为。x【答案】x 0或x 1【解析】 _ . 11 x【详解】由1,可得 01.所以不等式1的解为x 0或x 1x2 .已知直线l垂直于平面直角坐标系中的 y轴，则l的倾斜角为 【答案】0.【解析】【分析】根据直线I垂直于y轴，可得出直线I的倾斜角.【详解】由于直线I垂直于平面直角坐标系中的 y轴，所以，直线I的倾斜角为0,故答案为:0 .【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与y轴垂直的直线的倾斜角为0,与x轴垂直
2、的直线的倾斜角为 一，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题23 .函数f(x) Iog2(x 1) 1 反函数是 【答案】y 2x1 1 (x R).【解析】分析】由y log2 x 1 1解出x ,可得出所求函数的反函数 .【详解】由 y log2 x 11 ,得 log2 x 1 y 1 ,则有 x 1 2y 1, x 2y1 1 ,x 1因此，函数f x log2 x 11的反函数为y 21 x R ,故答案为：y 2x 1 1 x R .【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于 基础题.4 .若角 的终边经过点P( 2,2),则arcta
3、n(tan )的值为【答案】.4【解析】【分析】根据三角函数的定义求出 tan 的值，然后利用反三角函数的定义得出arctan tan的值.2，【详解】由二角函数的te乂可得tan 1, arctan tanarctan 1 一,24故答案为：一.4【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出tan 的值，考查计算能力，属于基础题.1115 .方程1900的解为.1 9x3x【答案】2【解析】【分析】.,一 .， 2,一,-根据求行列式的方法化简得 3x 8 3x 9 0,这是一个关于3x的二次方程，将3x看成整体进行求解即可.111【详解】方程1
4、900,19x3x等价于 93x9x 9 3x0,2即 3x8 3x 9 0,化为 3x1 3x903x 9或3x1 （舍去），x 2,故答案为2.【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解 答问题的能力，属于基础题x 2csc6 .由参数方程（为参数，n ,n Z）所表示的曲线的右焦点坐标为 y 3cot【答案】.13,0 .【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标x cscox 2csc2【详解】Q csc21 cot2 ，由 ，得2，所以y 3coty xcot32cscx2cot 1 ,-3 - 13,
5、022即曲线的普通方程为 1,该曲线为双曲线，其右焦点坐标为49故答案为：13,0 .【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程 问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力, 属于基础题.7 .平面直角坐标系xOy内有点A(2,1), B(2,2) , C(0,2) , D(0,1),将四边形ABCD绕直线y 1旋转一周，所得到几何体的体积为 【答案】2 .【解析】【分析】利用图形判断出四边形 ABCD是矩形，且边AD位于直线y 1上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积【详解】如下图所示，四边形
6、ABCD是矩形，且边AD位于直线y 1上，且AB 1 , AD 2 ,将四边形ABCD绕着直线y 1旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为1,高为2 ,因此，该几何体的体积为12 2 2 ，故答案为：2 .【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题8 .某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为 4【答案】4 .5【解析】【分析】 先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对
7、立事件的概率公式得出所求事件的概率精品文档，欢迎下载!【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”， C11由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为-4 -,C； 5144由对立事件的概率知， 事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为1 -故答案为：-.【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等 题.9.已知a 0且a 1,设函数f(x)x 2,x 3的最大值为1,则实数a的取值范围2 logaX,x 3是一 1【答案
8、】1,1). 3【解析】【分析】由函数y f x在,3上单调递增，且 f 31结合题中条件得出函数y f x在3,上单调递减，且2 log a 3 1 ,于此列出不等式组求出实数a的取值范围-7 -【详解】由题意知，函数 y f x在 ，3上单调递增，且 f 31,由于函数f xx 2,x 3的最大值为1,2 loga x,x 3则函数f x 2 loga x在3,上单调递减且2 loga3 1,0则有2a 1loga 30 a 1 loga 3因此，实数a的取值范围是 1,1 ，故答案为：-,133【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出
9、函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题10.对于给定的复数 z0,若满足|z 2i| |z Z0 | 4的复数z对应的点的轨迹是椭圆， 则z0 的取值范围是【答案】0,6 .【解析】【分析】利用椭圆的定义，判断出zo在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出Zo的取值范围.【详解】由于满足条件z 2i z Zo| 4的复数z对应的点的轨迹是椭圆，则|zo 2i| 4,即复数z在复平面内对应的点到点0,2的距离小于4,所以，复数zo在复平面内对应的点的轨迹是以点0,2为圆心，半径长为 4的圆的内部，Q z的取值范围是 0,6 ,故答案为：0,6【点睛】本题考查复数的几
10、何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题 .11.等差数列an中,a111,am - , an （ m n ）,则数列an的公差为2019 n m-1【答案】2019精品文档，欢迎下载!【分析】设等差数列an的公差为d ,由dam anm nam alm 1,可计算出mn的值，由此可得出数-11 -列an的公差.1 1【详解】设等差数列 an的公差为d ,则d am an n m m n m n11又 d am - n 2019 ,m 1 m 11，1n 20191，则一nm 1 mn1mn11，即数列 an的公差为 ，故答案为: 2019201
11、91201912019m n mn 1 , m n mnm 111mn n mn【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公 差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.一，_1 -12 .已知平面直角坐标系中两点A(a1,a2)、B(b1,t2), O为原点，有S aob -|a1b2 a2。.设M(x1,y1)、N(X2,y2)、P(x3, y3)是平面曲线 x【详解】将圆的方程化为标准方程得x y2 2x 4y 上任意三点，则T xy2 x?y1 x?y3*3丫2 的最大值为 【答案】20.【解析】【分析】 将圆 方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长
12、，由题意得 T x1y2 x2yl x2y3 %y2Xiy2 X2Yi x2y3 &y2 2S omn2S OPN2Szg边形OMNP，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出 T的最大值.225,圆心坐标为1, 2 ,半径长为所以，当四边形OMNP为正方形时，T取最大值，此时正方形的边长为 J5 J2 J10, 2所以，T 2 4020,故答案为：20.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积 最大这一结论的应用.选择题13 .已知非空集合 AB满足八给出以下四个命题
13、:A B若任取x A,则x B是必然事件若x A,则x B是不可能事件若任取x B,则x A是随机事件若x B,则x A是必然事件其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由集合的包含关系可得A中的任何一个元素都是 B中的元素，B中至少有一个元素不在 A中,结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数【详解】非空集合 A、B满足A? B,可得A中的任何一个元素都是 B中的元素，B中至少有一个元素不在 A中，若任取x A,则x B是必然事件，故正确；若x A,则x B 是可能事件，故不正确；若任取 x B,则x A是随机事件，故正确；若 x B, 则x
14、 A是必然事件，故正确.其中正确的个数为 3,故选C.【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题 .14 .已知数列 斗为等差数列，数列 0满足h a, b2a2a3, b3a,a3 a6,.lim bT 2,则数列 4的公差d为（）.n nA. 1B. 1C. 2D. 42【答案】D【解析】【详解】注意到，bnan n 1 12an n 1 22an n 1an n 1 12an n 1 n2n n n 1n n 1a1 da1 n 1 d222n 2al d n2d 2bn.1 2a1 d ,则 lim 3lim - 2- dn
15、n3n 2n2d _.一 2.从而，d=4.选 D.215.正方体 ABCD AB1clD1 中E为棱AA1的中点（如图）用过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）5ct-Xflj4 1r*E 7rzC【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可.【详解】由题意可知：过点 B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几 何体的左视图为D,故选D.精品文档，欢迎下载!【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查.16.如图所示，向量能的模是向量AB的模的t倍，AB与器的夹角为，那么
16、我们称向量uuuuuuruuir(4,0),向量AB经过一次(t,)变换得到向量bc .在直角坐标平面内，设起始向量oa,n 1),其中 A、uur1 2uuuuuuOA经过n 1次(,)变换得到的向量为 A1A (n12 3A.B.C.D.* 2 (i N )为逆时针排列，记A坐标为(ai,h)(i N则下列命题中不正确 的是(b2a3k 18(ak,1利用一2*0k 0(k N )a3k1 0 (k N*)4 ak 3) (ak 1 ak)0 (k Nuuu变换的定义，推导出OAnuuuOAuuuuA1A2uuuuiuAn 1Al的向量坐标,求出an、bn-15 -的表达式，然后进行验算即
17、可uuu【详解】QOA14,0 ,经过一次变换后得到uuuOA2222cos , 2sin 一331,3点 A21,/3,a21 ,b273,A 选项正确;uuu由题意知OAnuuu uuuuOA1 A1A2 LuuuuuAniAn“c 2 c . 24,02cos,2sin -33cosLsint L332n 32 n 1 cos2n 32 n 1 sin所以anc 22cos 34 cos-cosn23bn2sin 3sin 412sinb3k1b3k123k 1 3sin2 3k1.23k 2 sin 2k0, B选项正确;2 3k 1 1a3k1a3k 123k 1 3 cos23k
18、32 cos3k 123k 2 cos2k23TTcos2k23k 223k 30,C选项正确;8 ak 4ak 312 k 4 1ak 1 ak8 -rrrcos23-k 1 322 k 1 1 cos31T cos2k2k2k1c cos 2k2k2k3c cos 2k2kD选项错误.故选：D.【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实 质是考查向量的坐标运算，难度较大三.解答题17 .已知圆柱的底面半径为 r,上底面圆心为 O,正六边形 ABCDEF接于下底面圆 O1 , OA与 母线所成角为30 .(1)试用r表小圆柱的表面积(2)若圆柱体积为9
19、,求点S;C到平面OE前距离.【答案】(1) S243 2 r2（2）时5.5(1)利用OA与母线所成的角为 30求出h J3r，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积;(2)由圆柱的体积求出r与h的值，再利用等体积法计算出点C到平面OEF的距离.【详解】(1)由于OA与圆柱的母线成30的角，则tan30o所以，圆柱的表面积为rh2 r22.3 r22 r22.3 2 QV .3 r33,设点C到平面OEF的距离为d ,由题意知，OE OFOA2r2,3EFcos_2_22EOF OE OF EF2OE OFsinEOF.1 cos2 EOF,15所以,c1 _S OEF OE2OF
20、 sin EOFOEF的面积为SCEF由VcOEFVO CEF，11 -d S OEF h3 OEF 3S CEF3 3.33 F 6 53压 5，4即点C到平面CEF的距离为65.5精品文档，欢迎下载！【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边 长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能 力，属于中等题.18 .若f(x) J3cos2 x sin x cos x Y30的图像的最高点都在直线2y mm 0上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为求和m的值：A 一(2)在 ABC中，a,b,c分别是 A, B, C的对
21、边，若点 -,0是函数f (x)图像的一个对称 2中心，且a 1,求 ABC外接圆的面积.【答案】(1)1, m 1.(2) S 一.3【解析】【分析】A八(1)利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和m的值；(2)由 一,02VABC外接是函数f x图象的一个对称中心求得 A值，再由正弦定理求得外接圆半径，则圆的面积可求.【详解】(1) f x73coS2x sin x cos x 遮 sin 2 x -23由题意知，函数f x的周期为，且最大值为m,所以 1,m 1 .(2)A -,0是函数f x图像的一个对称中心2，所以sin A 一 30,又因A为ABC的内-21 -角，
22、所以A3在 ABC中，设外接圆半径为 R,由2RasinA1sin 32.33得R所以ABC的外接圆的面积S R2 3【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题 的关键，是中档题.19.已知函数f(x)axk bx ,其中 k R , a 0且 a 1 , b 0 且 b 1(1)若 abf (x)的奇偶性;(2)若 a2, bk 16,证明f x的图像是轴对称图形，并求出对称轴【答案】(1)见解析(2)函数f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是直线x 2.(1)由 ab1得出ax k a x,利用偶函数的定义得出k 1 ,利用奇函数的定义得出1 ,于是得
23、出当1时，函数y f x为非奇非偶函数;(2)先得出f X2x 16 2 x,并设函数f x图象的对称轴为直线 x m ,利,列等式求出 m的值，即可而出函数 y图象的对称轴方程.(1)由已知,xx是f x a k a ,则是偶函数，则f x f x，即 ax k a所以0对任意实数x恒成立，所以是奇函数，则f x f x ,即 a x k所以0对任意实数x恒成立，所以综上，当k 1时，f(x)是偶函数;1时，f x奇函数，当k1 , f x既不是奇函数也不是偶函数;(2) f x2x16 2 xf x的图像是轴对称图形，且对称轴是直线对任意实数x , fx恒成立,2m 1 16 2 m x2
24、m x162 m x，化简得 2x 2 x 2m 16 2 m 0 ,因为上式对任意 x R2m 16 2 m 0, 2m 4，m 2 .所以，函数f x的图像是轴对称图形，其对称轴是直线x 2.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶 性的定义以及对称性定义列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题 20.已知两动圆 F1 ： (x 厨 y2 2 和 f2：(x 73)2 y2 (4 r)2 (0 r 4),把它们的 公共点的轨迹记为曲线 C ,若曲线C与y轴的正半轴的交点为 M ,且曲线C上的相异两点 uur uuurA、B 满足：MA MB 0
25、.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)证明直线 AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；(3)求VABM面积S的最大值.x2c64【答案】(1) y 1 ; (2)见解析；(3). 425【解析】【分析】(1)设两动圆的公共点为 Q,由椭圆定义得出曲线 C是椭圆，并得出a、b、c的值，即可 得出曲线C的方程；(2)求出点M ,设点A %,丫1 , B x2,y2 ,对直线AB的斜率是否存在分两种情况讨论， 在斜率存在时，设直线 AB的方程为y kx m ,并将该直线方程与椭圆 C的方程联立，列出 韦达定理，结合条件Ma MB 0并代入韦达定理求出 m的值，可得出直线 AB所过点的坐标， 在直线AB的斜
26、率不存在时，可得出直线 AB的方程为x 0,结合这两种情况得出直线 AB所 过定点坐标；(3)利用韦达定理求出 ABM面积S关于k的表达式，换元t J25k2 4 2，然后利用基 本不等式求出S的最大值.【详解】(1)设两动圆的公共点为 Q,则有：|QF1| |QF2 4 |F1F2 .2由椭圆的定义可知 Q的轨迹为椭圆，a 2, c J3 ,所以曲线C的方程是： y2 1 ； 4（2）由题意可知：M 0,1 ,设A为，-B X2, y2当AB的斜率存在时，设直线 AB: y联立方程组:kx1,把代入有:m 1 4k222x 8kmx 4m 4 0 ,X28km1 4k2，* x224m4k2
27、因为uuAuurMB 0 ，所以有Xi X2k2% x2 kx1 x20 ,把代入整理:k24m2 41 4k2,8 km121 4k20,（有公因式m 1）继续化简得:5m 33m 一或m51 （舍），当AB的斜率不存在时，易知满足条件uuur umrMA MB0的直线AB为：x 0.3过定点N 0,-，综上，直线 AB恒过定点50,T(3) ABM 面积 S S AMN S BMN1一 MN2x1 x24 1?2 ：一/为 x2) 4x1 x2 ,5由第（2）小题的代入，整理得:Sg25k2 41 4k2因N在椭圆内部，所以k R,可设25k232t324t2 94t 9 4t-(t 2)
28、9、，Q 4tt25264. 八，S（k 0时取到最大值）.25所以 ABM面积S的最大值为64 .25【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程,考查直线过定点问题以及三角形面积问题,对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错21.已知无穷数列an （an Z）的前n项和为Sn ,记S , & ,Sn中奇数的个数为精品文档，欢迎下载!(I )若an = n ,请写出数列 bn的前5项；(n)求证：ai为奇数，ai (i = 2,3,4,)为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件；(出)若ai h, i=l, 2, 3,
29、，求数列 an的通项公式.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) an 0.【解析】试题分析：(I)代入n的值，即可求得 B=1, b2=2 , b3=2 , b4=2 , b5=3 .(n)根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明.(出)分当ak为奇数和当ak为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式.试题解析：(I)解：n=1, b2=2 , b3=2 , b4=2 , b5=3 .(n)证明:(充分性)因为ai为奇数，ai i 2,3,4,L 为偶数，所以，对于任意i N*, Si都为奇数.所以bn n .所以数列bn是单调递增数列.(不必要性)当数列an中只有a2是奇数，其余项都是
30、偶数时，S为偶数，S i 2,3,4,L均为奇数，所以bn n 1,数列bn是单调递增数列.所以“ ai为奇数，ai i 2,3,4,L 为偶数”不是“数列bn是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“ ai为奇数，ai i 2,3,4,L为偶数”是“数列 bn是单调递增数列” 的充分 不必要条件.(出)解：(1)当ak为奇数时， 如果Sk为偶数,若ak i为奇数，则Sk i为奇数，所以bk ibk 1 ak 1为偶数，与ak ibk i矛盾;若ak 1为偶数，则Sk 1为偶数，所以bk 1 bkak为奇数，与ak 1 bk 1矛盾.所以当ak为奇数时，Sk不能为偶数.(2)当ak为偶数时,如果
31、Sk为奇数，若ak 1为奇数，则Sk 1为偶数，所以bk 1bkak为偶数，与ak 1bk 1矛盾;若ak 1为偶数，则Sk 1为奇数，所以bk 1bk 1 ak 1为奇数，与ak 1 bk 1矛盾.所以当ak为偶数时，Sk不能为奇数.综上可得ak与Sk同奇偶.所以Sn烝为偶数.因为Sn Sn 1 an 1为偶数，所以an为偶数.因为a1 1bl S1为偶数，且0 n 1,所以b1 a1 0.因为 a? b2 b1 1 1 ,且 b2 0,所以 b2 a2 0.以此类推，可得an 0.点睛：本题考查学生对新定义理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列 求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能 力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生-23 -