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1、向量组的线性关系,1,第二节,二、线性相关与线性无关的概念,向量间的 线性关系,三、向量组线性相关性的判别,一、线性组合与线性表示,第三章,向量组的线性关系,2,一、线性组合与线性表示,设有n维向量组,如果存在一组数,则称,是向量组,的线性组合;,定义1,线性表示。,称,可由,若向量,可以由向量组,的线性,即存在一组数,使得,组合来表示，,向量组的线性关系,3,设由三维向量,我们称,是,和,的线性组合。,组成的向量组，,也称,可由,和,线性表示。,例1.,向量组的线性关系,4,例.,例.,向量组的线性关系,5,任一n 维向量,都可由n维单位向量组,+,线性表示，,向量组的线性关系,6,而三维基
2、本单位向量,中任何一个向量，,都不能由其他两个向量线性表示。,n维基本单位向量,它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。,中任何一个向量，,也不能由其他向量线性表示。,向量组的线性关系,7,设,即,=,+,+,（1）,向量组的线性关系,8,向量组的线性关系,9,定理1,设,是为 n维列向量组，,可由,线性表示,有解,其中,因为,中每个向量都可由向量组本身,(2)向量组,线性表示，,(1)零向量可由任一组向量线性表示。,向量组的线性关系,10,例2.,已知,线性表示？,如能线性表示,解:,设有数,就写出表达式.,使,向量组的线性关系,11,有唯一解,向量组的线性关系,12,练习.,已知,解:,设有
3、数,就写出表达式.,使,向量组的线性关系,13,同解方程组为,令,得,k 为任一常数.,向量组的线性关系,14,例3. 判断,是否为向量组,的线性组合？,解: 设,对矩阵,向量组的线性关系,15,若,向量组的线性关系,16,设由三维向量,又可以写成,组成的向量组，,引例,向量组的线性关系,17,二、线性相关与线性无关的概念,如果存在一组不全为0的数,设,为m 个n 维向量组，,，,使,成立，,则称向量组,线性相关。,否则称,则对任意不全为0的数,，都有,线性无关，,即当且仅当,时，,而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式,若,定义1,向量组的线性关系,18,根据向量的线性运算，只能得：,例如
4、,则,线性无关。,向量组的线性关系,19,线性相关。,例4. 已知,即,判别,是否线性相关。,解: 因为,当向量组只含一个向量时，,为线性无关向量组.,当,为线性相关向量组;,当,特别,向量组的线性关系,20,当向量组含两个非零向量时，,设,对应分量成正比,与,证明:,线性相关，则存在不全为零的数,或,与,或,例5.,使得,若,向量组的线性关系,21,例如,对应分量不成比例，,线性无关。,对应分量成比例，,线性相关。,几何上说向量,共线。,向量组的线性关系,22,例6.,求证含有零向量的向量组必线性相关,则此向量组必定线性相关。,证明:,设向量组,中，,取数,必有,向量组的线性关系,23,线性
5、相关,线性相关.,即如果部分组线性相关，,则整体组也线性相关。,定理2.,证明:,线性相关,因为,则存在一组不全为0的数,使,成立，因此有,其中,不全为零。,线性相关。,部分相关，整体相关！,向量组的线性关系,24,线性无关,线性无关.,即：如果整体组线性无关，,则部分组也线性无关。,定理3.,利用定理2，用反证法。,定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间,的关系。,整体无关，部分无关！,向量组的线性关系,25,即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！,线性相关。,已知,向量组的线性关系,26,证明：,则存在一组不全为0,的数,使得,则,向量组的线性关系,27,1、用数字表示的
6、向量组的线性相关性的判别,已知,解:,设有数,使得,例7. 判别下列向量组的线性相关性,三、 向量组线性相关性的判别,下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性,和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。,向量组的线性关系,28,即,有,得同解方程组,向量组的线性关系,29,得同解方程组,令,（k 为任意实数）,由,得,此向量组线性相关。,方程组有非零解，,(未知数个数n ),此向量组线性相关。,向量组的线性关系,30,小结,首先设有数,使得,归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。,用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，,第二步将,代入,得齐次线性方程组。,向量组的线性关系,31
7、,方程组有非零解，,有,则称向量组,线性相关。,方程组只有零解，,则称向量组,线性无关。,下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性,的方法。,这是判别向量组线性相关性的主要方法。,第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关：,向量组的线性关系,32,定理4,有非零解,线性相关,秩,（无关）,（只有零解）,此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。,推论2,设n 维向量组中含有m个向量,当mn 时，,此向量组必定线性相关。,推论1,当m=n时，即向量个数=分量个数时,线性相关,（线性无关）,向量组构成行列式的值为零，即,向量组的线性关系,33,判断,，,，,，,，,的线性相关性.,例8.,
8、解:,向量组的线性关系,34,线性相关.,向量组的线性关系,35,例9. 判断下列向量组的线性相关性,解:,线性无关.,向量组的线性关系,36,解:,线性相关.,向量组的线性关系,37,2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别,利用相关性的定义和反证法判别。,判别方法：,向量组的线性关系,38,方程组只有零解，,试证向量组,整理得,即,证明:,例10.,设向量组 线性无关，,也线性无关。,因为向量组 线性无关，所以必有,从而,设存在数,使得,线性无关。,向量组的线性关系,39,例11.,证明:,已知,证明,线性无关，,线性相关。,设存在数,已知,只有,线性无关，,使得,即,故向量组线性相关
9、。,不全为零，,向量组的线性关系,40,定理5,其中至少有一个向量是其余m1个向量的线性组合。,线性相关,证明:,必要性：,线性相关，,不全为0的数,则存在一组,使,则,即,是,的线性组合.,向量组的线性关系,41,组合，即存在不全为0的数,使,线性相关.,不全为0，,由于,则,中至少有一个向量是其余,向量的线性组合，不妨设,是其余向量的线性,充分性：因,向量组的线性关系,42,向量,可由,线性表示，,这说明,线性相关；,而向量组,中任一向量都不能被,其他向量线性表示,其线性无关。,一个向量组中有没有某个向量可由其余向量,线性表示，,这是向量组的一种属性，,称为向量组的,线性相关性。,向量组的线性关系,43,线性无关，,线性相关，则,可由A线性表示且表法唯一。,证明:,因为,线性相关，,则存在一组不全为零的数,使,成立。,定理6,故,向量组的线性关系,44,故表示唯一。,又设,是另一种表示形式。,两式相减,已知,线性无关，,必有,向量组的线性关系,45,线性无关。,证明,不可由,线性表示。,假设,可由,线性表示，,使,即存在,，,线性无关相矛盾。,与,代入上式，,证明:,例12.,