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1、1. 请适当给出 r 和 xm 地具体数据 , 求人口增长地 Logistic模型地解析解 , 即求dxrx (1x ), x(0) x0 ,dtxm其中 r 为固有增长率 , xm 为人口容量 .问题地简述：本题要求给出适当地r 和 xm 地具体数据 , 求人口增长地Logistic 模型地解析解 .问题地分析：题目要求给出具体地r 和 xm 地数据 , 求解析解 .Logistic模型考虑到自然资源、环境条件等因素对对人口地增长起着阻滞作用, 并且随着人口地增加 , 阻滞作用越来越大 , 其中 r 为固有增长率 , xm 为人口容量 . 如下为微分方程模型：dxrx (1x ),x(0)
2、x0dtxm方程右端地 rx 体现了自身地增长趋势 , 因子（ 1-x/xm ）则体现了环境和资源对人口增长地阻滞作用 , 显然 ,x 越大 , 前一因子越大 , 后一因子越小 , 人口增长是两个因子共同作用地结果.求方程地解析解：解：首先设固有地增长率r=5 , xm =1.5*109, 近年来人口增长率程下降趋势,假定它保持不变.在 MATLAB下输入：x=dsolve(Dx=0.05*x*(1-x/1.5*109),x(0)=x0,t)x =3/(2000000000-exp(-1/20*t)*(-3+2000000000*x0)/x0)2. 分别用 ode45,ode23,ode13,
3、ode15s,ode23s命令求解微分方程d 2 x1000(1 x2 ) dxx 0,dt 2dtx(0)0, x (0)1.并从计算地结果比较这些命令地差别.解：令 y1x, y2y1 , 则原微分方程可变换为如下一阶微分方程：y1y2y21000(1 y12 ) y2y10y1 (0)0,y 2 (0)1在 m文件下输入如下代码：function dy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);取 t0=0,tf=3000, 输入 ode45 命令：t,y=ode45( f,0 1 3000,0 1);pl
4、ot(t,y(:,1),-)图如下所示：21.81.61.41.210.80.60.40.20500100015002000250030000输入 ode23 命令：t y=ode23(f,0 1 3000,0 1);plot(t,y(:,1),-)图如下所示：21.81.61.41.210.80.60.40.20050010001500200025003000输入 ode23s 命令：t,y=ode23s(f,0 3000,0 1);plot(t,y(:,1),-)图如下所示：2.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5050010001500200025003000输入 ode
5、15s 命令：t,y=ode15s(f,0 3000,0 1);plot(t,y(:,1),-)图如下所示：2.521.510.50-0.5-1-1.5-20500100015002000250030003. 设 x1(t) 表示食饵 , x2 (t ) 为捕食者在 t 时刻地数量 , 则建立了一个具体地 Volterra模型为x1x1 (1 0.1x2 ) ,x2x2 ( 0.5 0.02 x1 ),x1 (0)25, x2 (0) 2.用相轨线理论分析食饵和捕食者地随着时间变化地规律, 并尝试着改进模型 .模型求解：在 M文件下输入如下代码： function dx=f(t,x)dx=ze
6、ros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);取t0=0,tf=15 建立如下主程序： t,x=ode15s(f,0 15,25 2); subplot(1,2,1) plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),-) subplot(1,2,2) plot(x(:,1),x(:,2)输出结果如下所示：1003090802570206050154030102051005101505010000结果分析 ：左图为 x(1) 、x(2) 随时间变化地关系图形 , 右图为相轨线 , 由图可知 x(1) 、x(2) 都为周期函
7、数 , 当捕食者最多时 , 食饵最少 , 当捕食者从最多慢慢减少时 , 食饵则慢慢增加 , 所以可以看出捕食者和食饵之间是相辅相成地关系 .模型改进 ：由于每个种群增加到一定程度时会出现自身地阻滞现象, 则可以把 Logistic模型加入Voltrra 中, 模型如下：x1(t)r1 x1 (1x11x2 )N1N2x2 (t)r2 x2 (1x22x1 )N2N14. 一 个 慢 跑 者 在 平 面 上 沿 椭 圆 以 恒 定 地 速 率 v 1 跑 步 , 设 椭 圆 方 程 为 ：x1 02 0 cto sy,2 0,1t突然有一只狗攻击他, 这只狗从原点出发, 以恒定速率跑向慢跑者 ,
8、 狗地运动方向始终指向慢跑者. 分别求出20,5 时狗地运动轨迹.问题简述 ：已知慢跑者地运动椭圆方程, 求狗以恒定速度 W向他跑来时 , 狗地运动轨迹 .问题分析 ：狗地运动方向始终指向慢跑者, 这是一个典型地追赶问题, 根据慢跑者地轨迹来确定狗地运动轨迹 , 确定狗地微分运动方程.模 型建立 ：设t时 刻慢跑 者 地坐 标为 (X(t） ,Y(t),狗地 坐标 为 (x(t),y(t),则 ：X1 02 0 c ots Y,2 01 5 ,ts狗i从（ 0,0 ）出发 , 狗运动地参数方程为：dxw(1020costx)dt(1020cost x)2(20 15sinty) 2dyw(10
9、15sin ty)dt20cost x) 2 (20 15sint(10y)2x(0)0,y(0)0当 w=20时 , 在文件下输入如下代码： function dy=f(t,y)dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取 t0=0,tf=10, 建立主程序如下：t,y=ode45(f,0 10,0 0);T=0:
10、0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)图如下所示：35302520151050-10-505101520253035-15当 w=5时, 在文件下输入如下代码：function dy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取 t0=0,tf=10, 建立主程序如下： t,y=ode45(f,0 10,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)图如下所示：35302520151050-5051015202530-10结果分析： 无论狗以多大地速度向慢跑者追赶都不能追上慢跑者.