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1、十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1 .熟练掌握首项系数为 1的形如x2 （p q）x pq型的二次三项式的因式分解 .2 .基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3 .对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因 式分解.（但应控制好难度）4 .掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【高清课堂400150十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法,一 .一 ，2pq c 一, 2对于一次二项式 x bx c,若存在b，则x bx c x p x
2、q要点诠释：（1）在对x2 bx c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c 0,则p、q同号（若c 0,则p、q异号），然后依据一次项系数 b的正负 再确定p、q的符号（2）若x2 bx c中的B c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为 1的十字相乘法在二次三项式ax2 bx c （ a w 0）中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a aa2,常数项c可以分解成两个因数之积，即 c c2,把a，a2,c?排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1G2 a2c1,若它正好等于二次三项式
3、 ax2 bx c的一次项系数 b ,即a2 azG b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式&x c与2a2x c2 之积，即 ax bx c a1x c, a2x c2 .要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解一一分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常
4、用的思路有:方法分类分组方法特点分组 分解 法四项二项、二项按字母分组按系数分组符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间用公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1 1 分解因式：x2 (a 1)x (6a2 1
5、3a 6)【答案与解析】2斛：原式=xa 1 x 2a 3 3a 2x 2a 3 x 3a 2x 2a 3 x 3a 2【总结升华】 将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：3xy y2 3x 4 y 5【答案】解：原式 y2 (3x 4)y 3x 5 (y 3x 5)(y 1)It L 3M - 51 .一j ”2、分解因式：2产 14(/一口)+ 242【思路点拨】该题可以先将 a a看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】.(1 3 - A ) Z - 2解：因为 口 X -仆8 ) 一 2_2-2.22 a a 12 a a
6、14 a a所以：原式=(一42 1-a) -12=(a2 a 2)(a2 a 12)= a1a 2a 3a 4【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：(x2 3x)2 2(x2 3x) 8 ；【答案】解：原式x2 3x 4 x2 3x 2x 4 x 1 x 1 x 23 3、分解下列因式(1) (x2 x 1)(x2 x 2) 12(2)(x2 3x 3)(x2 3x 4) 8【答案与解析】2解：(1)令 x x 1 t ,则原式 t(t 1) 12 t2 t 12 (t 4)(t 3) (x2 x 5)( x2 x 2) _2
7、(x 2)(x 1)(x x 5)(2)令 x2 3x m ,原式(m 3)(m 4) 8 m2 m 20 (m 5)(m 4)(x2 3x 5)( x2 3x 4) (x 4)( x 1)(x2 3x 5)【总结升华】 此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式一整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事类型二、分组分解法4、分解因式：x2 2xy y2 3x 3y 2【思路点拨】 对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成(x y)2，第 4、5 项- 3(x
8、y).【答案与解析】解：原式(x y)2 3(x y) 2 (x y 1)(x y 2)【总结升华】 熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；我们前面练习中无论公式、 配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法举一反三：【高清课堂400150十字相乘法及分组分解法例4】【变式1 分解因式：(1) a2 b2 ac bc22(2) 5a2 5b2 3a 3b2 一一(3) 3xy y 3x 4y 5【答案】解：(1)原式 a b a b cab ababc；(2)原式5 a2b23a b 5 a b
9、 a b3 a b ab 5a 5b 3；(3)原式3xy3xy24y5 3x(y 1) (y1)(y 5)(y 1)(3x y 5).【变式2】(2014春?苏州期末)因式分解：a2- b2-2a+1. 【答案】解：a2- b2 - 2a+1 =a 2a+1 b =(a1) b =(a - 1+b) (a - 1-b).类型三、拆项或添项分解因式C5、(2015春?吉州区期末)阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a) 2的形式，但对于二次三项式 x2+2ax- 8a2,就不能直接用公式法了.我们可以 在二次三项式x2+2ax - 8a2中先加上一项a：使其成
10、为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是又：x2+2ax - 8a2 =x2+2ax - 8a2+a2 - a2 =(x2+2ax+a2) - 8a2- a2 =(x+a) 2- 9a2=(x+a) +3a (x+a) - 3=(x+4a) (x- 2a)像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.(1)请认真阅读以上的添(拆)项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax-3a2分解因式.(2)直接填空：请用上述的添项法将方程的x2- 4xy+3y2=0化为(x-)?(x-)=0并直接写出y与x的关系式.(满足xyw0,且xwy)2 , 3(3)先化简W-2-再利用(2)中
11、y与x的关系式求值.|y 工 sy【答案与解析】解：(1) x2+2ax - 3a2=x2+2ax+a2- 4a2=(x+a) 2 - 4a2=(x+a+2a) (x+a-2a)=(x+3a) (x a);(2) x2- 4xy+3y 2=x2 - 4xy+4y 2- y2=(x - 2y) 2 - y2=(x - 2y+y) (x - 2y - y)=(x- y) (x- 3y);x=y 或 x=3y;故答案为：y; 3y2 _ 2 _ 2(3)原式苴工-L-一 - ,若x=y,原式=-2;若x=3y,原式=.3【总结升华】 此题考查了因式分解-添(拆)项法，正确地添(拆)项是解本题的关键.