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1、题目部分， (卷面共有 100题,349.0 分, 各大题标有题量和总 分)一、选择 (10小题,共 22.0 分)(2 分)1n(2 分 )2 函数项级数 x 的收敛域是n 1 n(A) 1,1(B) 1,1(C) 1,1(D) 1,1答( )(2 分)3 设级数 bn x 2 n在 x 2处收敛，则此级数在 n0x 4 处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。答： ( )(3 分)4 设级数 an x 3n在 x 1处是收敛的，则此级数 n0在 x 1 处(A) 发散；(B) 绝对收敛；(C) 条件收敛；(D) 不能确定敛散性。答： ( )(2 分)5 设级数
2、an x 1 n的收敛半径是 1，则级数在 x 3 n0点(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 不能确定敛散性。答： ( )(2 分)6 如果 lnim an1 1,则幂级数 anx3nn an 8 n 0 n(A) 当 x 2时, 收敛；(B) 当 x 8时, 收敛；(C) 当 x 1时, 发散；8(D) 当 x 12时, 发散；答 ( )(2 分)7 若幂级数 anxn 的收敛半径为 R,那么 n0(A) lnim an 1 R,n an(B) lnimR,(C) lim an R, n(D) lim nan 1 不一定存在an(3 分 )8若幂级数 anxn 在x 2
3、处收敛，在 x 3处发n0散，则该级数(A) 在 x 3处发散；(B) 在 x 2 处收敛；(C) 收敛区间为 3, 2 (D)当 x 3时发散。( )(2 分)9 如果 f x 在 x0点的某个邻域内任意阶可导，那 么幂级数 f x0 x x0 n n 0 n!的和函数(A) 必是 f x ，(B)不一定是 f x ，(C) 不是 f x ，(D)可能处处不存在。答( )(2 分 )10 如果 f x 能展开成 x的幂级数，那么该幂级数(A) 是 f x 的麦克劳林级数；(B) 不一定是 f x 的麦克劳林级数；(C) 不是 f x 的麦克劳林级数；(D) 是 f x 在点 x0 处的泰勒级
4、数。答 ( ) 。二、填空 (54 小题,共 166.0 分)(2 分 )1 函 数 项 级 数 arctan 22x 3 的 收 敛 域 n 1 x n(2 分 )4级数n01n(2n)!3n的和(2 分 )2 讨论 x 值的取值范围，使当 时(n n xx) 收敛 n 1 n当时 (n n xx) 发散n 1 n(3 分 )3x2n 1 设级数 un x 的部分和函数 sn x x2n 1 ， n 1 x 1级数的通项 un x(2 分 )5 级数 nxe nx n 1 xe n 1 x 在 0,1 上的和 n1函数是(3 分 )6 设 x 不 是 负 整 数 ， 对 p 的 值 讨 论
5、级 数1n11 p p 0 的收敛性 xn时，绝对收敛，时，条件收敛。（2分 ）7 幂级数1 n 1 1 2x 3 n 0 2n 1的收敛域（3 分 ）8 幂级数n 1 x2n 11 12n x1! 的收敛半径是，和函数是（1 分 ）9如果幂级数an x 1 n的收敛半径是 1，则 n0级数在开区间内收敛。（2 分 ）10如果 limnanan 12 ，则幂级数an x 1 n 在开区间 n0内收敛。（2 分 ）11设幂级数n anx n0的收敛半径是 R 0 R ，则幂级数2nanx0的收敛半径是（2 分 ）12如果幂级数在 x 1 处收敛， 在 x 3 处发散，则它的收敛域是（5 分）13
6、 幂级数 22 x22 2x523x1043 2 x4 的通项17，收敛域是（6 分 ）14级数nn2 32 xn 的 收 敛 域 n 1 n n（4 分）15（4 分 ）16（4 分 ）17幂级数幂级数n4n0n!xn0若幂级数收敛半径分别为 R1、 R2 ，关系（3 分 ）18 设limn的收敛半径是1xn 的收敛区间是的收敛域是an xn 和n 1anx0 n 0则 R1、 R2具有1的anan 13 ，则幂级数2n anx 0（2 分 ）19 幂级数 1 n1nn x 的收敛域是n和函数是（3 分 ）20 幂级数（3 分 ）21 幂级数的收敛域是nnxn!1 1 21 x x2 2 4
7、23n0（2 分）22 级数 1 x 是 ，和函数是（2 分 ）23 若幂级数的和函数是1 3 3 1 3 5 4xx2 4 6 2 4 6 8，和函数35x x 2 x2 x2的收敛域anxn 的收敛半径是 R，则其和函数在开区间 上是连续的。（2 分）24 如果幂级数 anxn 与 bnxn 的收敛半径 n 0 n 0分别是 R1、 R2 ，则级数 an bn xn的收敛 n0半径是 。（3 分）25 若幂级数 an xn的收敛半径是 R, 则 n0其和函数 s x 在开区间 内是可微的，且有逐项求导公式 。（3 分）26 设幂级数 anxn的收敛半径是 R, 则其和函数 n0s x 在开
8、 区间 上可 积， 且 有 逐项 求积公式。（4 分 ）27 函数 sin x 的麦克劳林展开成4为 ，其收敛域是 。（3 分 ）28 函数 1 x R 的麦克劳林展开 式 为， 收 敛 区 间（3 分）29 函数 y ax a 0, a 1 在 x0 0 点的 泰勒展开 式为 ，收敛区 间（3 分）30函数 1 的 麦克劳林展开 式1_x为 ，收敛域是 。（3 分 ）31 函数 1 的麦克劳林级数展开式1x为 ，收敛域是 。（5 分）32 函数 y ln 1 x 的麦克劳林展开式1x为 ，收敛域是 。（6 分）33 函数 y ln1 x 2x2 关于 x的幂级数 为 ， 收 敛 域（4 分
9、）34 函数 y ln 2 x 的麦克劳林展开 式为 ，收敛域是 。（4 分 ）35 函数 cos x 的麦克劳林展开式为 ，其收敛域是 。（3 分 ）36 如果 f x 的麦克劳林展开式为an x2n，则 an。n0（2 分）37 函数 ex在点 x0 0的泰勒级数为 ，收敛区间为 。（2 分 ）38 函数 sinx 的麦克劳林级数为 收敛区间为 。（2 分）39 函数 ln1 x 的麦克劳林级数为 收敛域为 。（4 分 ）40 函 数 ln 1 x 的 麦 克 劳 林 展 开 式x0， dn ln 1 x n dx（3 分 ）41 函 数 cosx 的麦克劳林n， cos 0（5 分 ）4
10、2 函 数 ytdt 关 于（4 分 ）43 函 数 sinhx麦克sinhx nxo（4 分 ）44 函 数 coshx麦克coshx nxo（2 分 ）45 函数 f x122axa 0 关于 x 的幂级数， dn f x， dxnxo（6 分）46 函数 sin2 x的麦克劳林级数为sin2 xxo（3 分 ）47将函数 f x 3 14x 展开成形如an x 1n0的幂级数时，收敛域是（3 分 ）48 若函数 f x 在点 x0的某一邻域内任意阶可微，f x n 1 k 0 k!k x0 x x0 k Rn x ，那么 f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是（3 分 ）49 函
11、 数 y 1 在 点 x0 3 的 泰 勒 展 开 式x其收敛域是（3 分）50 函数 y x2cos x2 的麦克劳林级数是，其收敛域是（3 分）51 函数 y x2sin x2的麦克劳林级数是，其收敛域是1（3 分）52 根据 1 x 的幂级数展开式将 8 250 21 1235表示成一个数项级数，该数项级数的前三项 （ 用分数表示 ）kn1n（2 分 ）53 级 数 1k 发 散 时 ， k 的 取 值 范 围三、计算（36小题,共 161.0 分）（3 分 ）1求级数 3 x 5 x 3 x 7 x5x的和函（2 分）54 利用 ex的幂级数展开式将 1 表示成一个数项 级数，该数项级
12、数的第六项 （ 用分数表示 ）是数。试求级数nun x 的和函数。1（3 分 ）3求函数项级数 x2e nxn0, x 0 的和函数 s（x） 。（4 分 ）4求级数 nxn 1 在（-1 ，n11） 内的和函数。（4 分 ）5设 f x 为 ,上的连续函数，级数un x f n xf n 1 x ，n2 n 21 n 1k其中 fn x 1 f x k n 1,2,nk 0n试确定 un x 的收敛域及和函数 n2（4 分 ）6试求幂级数2n 1 1 xn的和函数。n0（5 分 ）75 2n试求幂级数 n 1 x 的收敛域。 n 0 2n 1（4 分 ）82试求级数 nn 的收敛域。n1x（
13、3 分 ）9试求级数 lg x lg x 2 lg x 3 的收敛域。（4 分 ）10 试求幂级数 x 5 的收敛半径及收敛域。n 1 n3n（4 分 ）11 试求幂级数n4 x 的收敛域。n 1 n 16nn（5 分 ）12 求幂级数1 x 1n 的收敛域。n 1 3n 12n（4 分）13 已知幂级数anxn 的收敛半径 R0 0，试求nanxb 0nb 0n 0 b的收敛半径。（5 分 ）14试求幂级数（5 分 ）15试求幂级数（5 分 ）16试求幂级数（5 分 ）17试求幂级数（5 分 ）18试求幂级数（6 分 ）19试求幂级数（5 分 ）20试求幂级数（6 分 ）21试求幂级数（5
14、分 ）22试求幂级数（4 分 ）23试求幂级数（5 分 ）24试求幂级数（2 分 ）25试求级数 e的收敛域。（3 分 ）26试求幂级数nnnxn 1 2n 12x0 4n 32 的收敛半径及收敛域。2n n 1x3n的收敛域。 n18n3n2 xn2 的收敛域。0n1x2 n 3n ln n的收敛域。nx 12的收敛域。1 n 1 ln n 11n n 2 x 2 n的收敛域。0 n 11 n2!n!x2n 的收敛半径。2nx 3 的收敛域。1 n 1 ln n 1210 2nnx n的收敛半径及收敛域。n 1xn 在其收敛域上的和函数。 n 1 n4n 1n 14xn 1在收敛域上的和函数
15、。e2 xnxe2n2!xn的收敛半径。k 1 n!（2 分 ）27 试求幂级数3n2!xn的收敛半径k 1 n!（6 分 ）28 设 f x1 n nxn 1 ，确定 f x 的连续 n1区间，1并求积分 03 f x dx 的值（6 分 ）29 设 f xn1n x n ，确定 f x 的连续区 n 0 2间1并计算 0f x dx的值nn（6 分 ）30 设 f xn0n!gxnx , x 1 ， n0试用幂级数表示 f x g x（6 分 ）31设fxnxn 0 n!gxnx,x n01，试用幂级数表示 f x g x（6 分 ）32 设 f x1，g x2n xn, x 1n 0 2
16、试用幂级数表示Fxfx（6 分 ）33 设 fn3n xn1，试确定 R, 使得 f xR, R 上可微，并计算 f 1 的值。4n（6 分）34 设 f x x ，确定 R,使得 f x 在 R, R 上可 n 1 n微，并计算 f 1 的值。2（3 分 ）35 设 f x 5x3 4x2 3x 2，求 f x h 关于h 的麦克劳林级数。x2（3 分）36 试求函数 f x 0x e t2dt关于 x 的幂级数 .=答案 =答案部分， （卷面共有 100 题,349.0 分,各大题标有题量 和总分 ）一、选择 （10 小题,共 22.0 分）（2 分）1 答案 C（2 分）2 答案 B（2
17、 分）3 答案 B（3 分）4 答案 D（2 分 ）6答案A（2 分 ）7答案（ D ）（3 分 ）8答案（ D ）（2 分 ）9答案（B）（2 分 ）10答案（A）二、填空（54（2 分 ）1答案A（,）小题,共 166.0 分）（2 分 ）2答案x1x1（3 分 ）3答案2n 2 2 xx2n 2x2nx（2 分）4 答案 cos（2 分）5 答案 0（3 分）6 答案 p10 p 1（2 分）7 答案 1,2（3 分）8 答案 sinx（1 分）9 答案 0, 2（2分）10答案1, 3（2分）11答案R（2分）12答案1, 3（5分）13答案2n2 nnx1（4 分 ）17（3 分 ）
18、18（2 分 ）19答案答案答案答案答案答案答案1, 1 ，ln 1 x 。 （3 分 ）202e3x（3 分 ）211, 11x （2 分 ）220, 111x3, 31, 14, 4（4 分 ）160（2 分）24 答案 min R1 , R2 或为bn an（3 分）25 答案 R, Rn1s x nanxn1（3 分 ）26R, R答案an xnxsx dx0（4 分）27 答案 （ 1） n/ 202 xn2 n!（3 分）28 答案 1n11 n 1 n x n!1, 1ln2a x（3 分）30 答案 nxn01, 1（3 分 ）31答案1,（5 分 ）32答案1nxnn02n
19、11,2xn 1 2n 1（6 分 ）33答案1, 12, 22, 21 n cos x2n n 0 1 2n! xsin 2x2n 1!（3 分 ）36答案1n12n 1 nn1!f（2 分）38 答案 2n 11 n xn 0 m 1!（2 分 ）39答案1n1nn1xn1,1（4 分 ）40答案1, 1n 1!（3 分 ）41答案n 2n1xn 0 2n!cos n 0 012k 12kk 0,1,2（5 分）42 答案 nnxn 0 n! n 12n 1xn 0 2n 1!sinhx nxo2k 12k0,1, 2,（4 分 ）44答案2nxn 0 2n!coshx nxo2k2k0,
20、1,（2 分 ）45答案2nx22nn0aa,n0n 2k2k !2k 2 a2k0,1,（6 分 ）46答案n11n 122n2n!1 2nx2kx01k 122k2k1,2,3, 114, 4（3 分）48 答案 对于该邻域内的任意 x ，有 lim Rn x 0 n（3 分）49 答案 n03n 1答案0, 6（3 分 ）502n 21n x2n 2 n 0 2n !（3 分）51 答案 4 n 11 n xn 0 2n 1!（3 分）52 答案 350081100000022103816 也得 10分）（2 分）53 答案 答案k 1 ；（2 分 ）5413840(注：答案形式为 5!
21、125也给分 )三、计算 (36小题,共 161.0 分)(3 分)1 答案 sn x3x2n 1 x5x3x2n 1 x2n 1 xs x lim sn lim 2n 1 xnn1,x00 , x 0(3 分)2 答案 sn x x (x2 x) (x3 x2)(xn1x)于是，n 0 , 0 x 1 s x lim sn x lim xn n n 1 , x 1(3 分)3 答案 所给级数是以 e x 为公比的等比级数因此，当 x0,0 e x 1, 级数 x2e nx 收敛n0综上所述1es(x)=x0(4 分)4 答案 解法s(x)nxn1n12 n 1x nxn12n xxn12xx
22、1xx21 x 2解法二s(x)nxnn11234nx2x33x4nx(x234nx)xx(x34 x5x)nn1n2xxx23nxxx1 x 1x21x1x1x12xx1x（4 分）5 答案 设 sn x 为 un x 的部分和，则 n2sn x1n1kxfn k 0xnfxs x lim sn xn1fx0t dt f x函数 所求为（4 分）6 答案 幂级数的收敛域是 1,1 ，22所以当 x 1,1 时，有22sx2n1xn01xn0n x n0211 2x 1 x（5 分 ）7答案5 2nx设 un x因为 lim un1 x x2n un x所以当 x 1时，级数收敛；又当 x 1
23、 ，级数发散，故收敛域为 1, 1 。（4 分）8 答案 令 1 t ,原级数化为 n2tn ,x n 1当且仅当 t 1时，级数 n2tn 收敛， n1所以原级数的收敛域是 , 1 1,（3 分）9 答案 令 lg x t, 级数化为 tn ,n1当且仅当 t 1时, tn 收敛，n1所以当 1 x 10时, 原级数收敛，10收敛域为 1 , 10 .10（4 分）10 答案 n令 x 5 t, 级数 t 的收敛半径是 1,n 1 n收敛域是 1, 1 ,故原级数收敛半径是 1,收敛域是 4, 6 .（4 分）11 答案 由于 lnim an 1 1 ，所以 R 1，n an当 x 1 时，
24、级数发散；当 x 1 时，级数收敛； 故收敛域为 1, 1 .（5 分）12 答案 令 t x 1, 原级数化为1 ntn ,1 3n 1 2n ,此级数的收敛半径是2, 收敛域是 2, 2故原级数的收敛域是 1, 3 .（4 分）13 答案 利用两级数之间的关系，可得当x bRo, 即 x bRo时, 级数ann0nbx 收敛，当xbRo时, 级数an0nx 发散 , b所以收敛半径是 bRo.（5 分）14 答案 n 1 2n 1 设un x 24nx32limnun 1 xun x2x2所以收敛半径 R12，而且 x 1 时, 级数收敛故收敛域为1 , 12, 2（5 分）15 答案 设
25、 un x2n8n3nx因为limun 1 xun x所以 R 2,且 x 2 时，级数发散， 故收敛域是 2, 2 （5 分）16 答案 设 un x 3n xn因为un 1 x3x 2n 1un x所以当 x 13 时，级数收敛， 当 x 1 时，级数发散，3故收敛域为设 an1n 3n lnn由于 lnimnanan 1（5 分）17 答案 3 ，故 R 3，且当 x 3时，级数发散 当 x 3 时，级数收敛。所以收敛域是 3, 3（5 分）18 答案 因为 lnimnanan 11，所以 R 1，且当 x 1 1 即 x 0时，级数收敛； 当 x 1 1 即 x 2 时，级数收敛 所以
26、收敛域是 2, 0 。（6 分）19 答案 由于 lnim aann1 1，所以 R 1，且当 x 2 1 时，级数收敛， 当 x 2 1 时，级数发散， 故收敛域是 1, 3 。（5 分）20 答案 2因为 limun1 x x ，n un x 4 所以当 x 2 时，级数收敛， 故收敛半径 R 2 。（6 分）21 答案 因为 lim un 1 x x 3 2，n un x所以当 x 3 1 时，级数收敛， 且当 x 3 1时，级数发散，故收敛域是 2, 4 （5 分）22 答案 12x因为 lnim n un x 所以收敛半径 R=2，且当 |x|=2 时，级数发散。故收敛域为 （-2
27、， 2）（4 分）23 答案 幂级数的收敛域是1, 1 ，所以当 x1, 1 时，s x x n1xln 11x（5 分）24 答案 幂级数的收敛域是1, 1 ，当 x 1, 1时，有（2 分 ）254nx dx111x ln4答案x1x1arctan x2这是以 ex 为公比的等比级数令 ex 1 解得 x 0故所所求收敛域为0。lim an1 lim 22n n31n（6 分）29 答案 n an n n 1级数的收敛半径 R3n 2（2 分）27 答案 lim an 1 lim 33n 1 nann n 1级数的收敛半径（6 分）28 答案 因为幂级数的收敛域是1, 1 ，所以f x 在
28、 1, 1 上的连续，且可逐项积分1301nnx1dx由于幂级数的收敛域是2, 2 ，所以1f x dx0f x 在 2, 2 上连续，且可逐项积分。故1 n n1 n x dx 0n 02n 0 21n2n 0 2（6 分）30 答案 由于 xn的收敛区域是 1, 1 ，当n01, 1 时， g x 可微，而且n g x x n0n 1 xn ， n0所以nn1xn0n!nn 1 x ，n0mxm0kk0mk1m k !（6 分）31 答案 n因为 f x x 的收敛区域是 n 0 n!f x 在任意点可微，且可逐项微分fxn 0 n!n 1 n 1!fx，nxkxn 0 n! k 0m1m
29、0k 0 k!（6 分）32 答案 由于 xn、 2nxn 的收敛半径分别为 1, 1， n 0 n 0 2所以两幂级数乘积的收敛半径是 1 ，2故当 x 1, 1 时，22Fn n n x x 2 x n 0 n 0n2n 0 k 0k xn2n01 1xn（6 分 ）33答案幂级数的收敛域是1，3，所以 f x 在 13上可微，且可逐项微分，3n xn1n3nn114n112（6 分）34 答案 因为幂级数的收敛半径1 ，所以 f x ，在 1,1 内连续，可微，（3 分 ）35答案由于h 3 4x h 224x2 3x 215x 4 h2 5h35x5x33x15x2h28x 3h由级数表示的唯一性， 即知上式就是所求级数(3 分)36 答案 因为fxx2nn0n!所以fx2n 1 xn02n 1 n!级数lnx ln2xln n x 的收敛域是(A)xe(B)xe(C)1xee(D) 1 x ee答( )x n 1 n（4 分）34 答案 n 1 n1x ln 2 n n 1 n 2（4 分）35 答案 1n 1 n 1,2,且和函数 s x又 x=0 时， x2e nx 0 ，级数收敛 且 s(x)=0