数字信号处理第三版第二章.ppt

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1、数字信号处理第三版第二章,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,数字信号处理第三版第二章,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义,(2.2.1),为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)表示。 FT成立的充分必要条件是序列x(n)绝对可和，即满足下式：,(2.2.2),数字信号处理第三版第二章,

2、FT反变换定义为：,(2.2.4),(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。一些绝对不可和的序列（如周期序列），其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,数字信号处理第三版第二章,【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解,当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。,数字信号处理第三版第二章,图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线,数字信号处理第三版第二章,2.2.2 序列傅里叶变换的性质1. FT的周期性 在定义式(2.2.1)中，n取整数，下式成立：,M为整数 (2.2.6), 序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。 这样X(

3、ej)可以展成傅里叶级数，(2.2.1)式就是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。,由于FT的周期性，一般只分析或02之间的FT,数字信号处理第三版第二章,2. 线性,则,设,式中a, b为常数。 3. 时移与频移 设X(e j) = FTx(n)，则：,(2.2.7),数字信号处理第三版第二章,4. 对称性 先了解共轭对称与共轭反对称以及它们的性质： 定义：设序列xe(n)满足 xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。共轭对称序列的性质： 将xe(n)用其实部与虚部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n) 两边 n 用 n 代替，并取共轭，得： x*e(-n)=

4、xer(-n)-jxei(-n),xer(n) = xer(-n) (2.2.11) xei(n) = -xei(-n) (2.2.12) 共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。,数字信号处理第三版第二章,共轭反对称序列的性质： 将x0(n) 用实部与虚部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n) 得： xor(n) = -xor(-n) (2.2.14) xoi(n) = xoi(-n) (2.2.15) 共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。,定义：满足下式的序列称共轭反对称序列： xo(n) = -x*o(-n) (2.2.13),数字信号处理第三版第二章,一般

5、序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.16) xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出 将(2.2.16)式中的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n) = xe(n)-xo(n) (2.2.17) 比较两式， 得 ：,数字信号处理第三版第二章,在频域，函数X(ej)也有类似的概念和结论： X(ej) = Xe(ej)+Xo(ej) (2.2.20) 共轭对称部分Xe(ej)和共轭反对称部分Xo(ej) 满足： Xe(ej) =X*e(e-j) (2.2.21) Xo(ej) = -X*o(e-j) (2.2.22)

6、同样有下面公式：,数字信号处理第三版第二章,FT的对称性 (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 进行FT，得： X(e j) = Xe(e j) + Xo(e j),式中,xr(n)和xi(n)都是实数序列。Xe(ej) 具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。 Xo(ej) 具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。,结论： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(e j) = Xe(e j) + Xo(e j),数字信号处理第三版第二章,(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，

7、即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.25) 由(2.2.18)式和(2.2.19)式：,将上面两式分别进行FT，得： FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)= ReX(ej)= XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej) -X*(ej)= jImX(ej)= jXI(ej) 因此对(2.2.25)式进行FT得到： X(ej) = XR(ej)+jXI(ej) (2.2.26),结论： x(n) = xe(n) + xo(n) X(ej) = XR(ej) + jXI(ej),数字信号处理第三版第二章,利用FT的对称性，可得以下四个结论：（1） x(n)为实序列（x

8、i(n)=0），得X(ej) = Xe(ej)为共轭对称函数，即 X(ej) = X*(e-j)（2） x(n)为实偶序列（ xi(n)=0且x(n)= x(-n)，x0(n)=0），得X(ej)为实偶函数，即 X(ej) = X(e-j)（3） x(n)为实奇序列（xi(n)=0且x(n)= -x(-n)，xe(n)=0），得X(ej)为纯虚奇对称函数，即 X(ej) = X*(e-j)=-X(e-j)（4） x(n)为实因果序列：x(n)= xe(n) +xo(n) ，,或：,x e(n)=1/2x(n)+ x(-n) x o(n)=1/2x(n) - x(-n),数字信号处理第三版第二章

9、,对实因果序列，只要知道XR(ej) ，就可求得x(n)，过程如下：已知：XR(ej)=FTxe(n) xe(n) x(n) X(ej) 已知XI(ej)和 x(0) ：jXI(ej) xo(n) x(n) X(ej),对实因果序列：其傅里叶变换X(ej)的实部包含了X(ej)或x(n)的全部信息，即X(ej) 中有冗余信息。,数字信号处理第三版第二章,例 2.2.3 x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。 解： x(n) = xe(n)+xo(n),数字信号处理第三版第二章,5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(

10、e j)H(e j) (2.2.32),定理说明， 两序列卷积的FT，服从相乘的关系。 对LTI系统，其输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT。 因此求系统的输出信号， (1)可以在时域用卷积公式(1.3.7)； (2)可以在频域按照 (2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。,数字信号处理第三版第二章,6. 频域卷积定理 设y(n) = x(n)h(n)，则：,(2.2.33),定理说明，在时域两序列相乘，对应频域为卷积关系。,7. 帕斯维尔(Parseval)定理,定理说明，信号时域的总能量等于频域的总能量。这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个周期中的积

11、分再乘以1/(2)。,(2.2.34),数字信号处理第三版第二章,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列， 由于周期性， 可以展成傅里叶级数：,(2.3.1),式中ak是傅里叶级数的系数。,-k (2.3.3),令：,ak也是周期序列，周期为N。,(2.3.4),数字信号处理第三版第二章,上式中 是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数，用DFS表示。,(2.3.4),两式构成一对DFS。,将周期序列分解成N次谐波： 基波分量的频率是2/N， 幅度是 。第k次谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1,

12、 2 N-1， 幅度为 。 所以：一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,数字信号处理第三版第二章,例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解,其幅度特性如图2.3.1(b)所示。,数字信号处理第三版第二章,图2.3.1例2.3.1图,数字信号处理第三版第二章,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式,设周期序列 以N为周期 ，其FT为：,(2.3.10),上式中的()为单位冲激函数 (n )表示单位脉冲序列。,由于 不满足绝对可和条件，因此对周期序列求FT时，要先计算 ，再计算X(e j)

13、。,数字信号处理第三版第二章,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,数字信号处理第三版第二章,例 2.3.3 令 ，2/0为有理数，求其FT。 解： 将 用欧拉公式展开：,由(2.3.9)式，得其FT：, cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数， 强度为， 且以2为周期进行延拓， 如图所示。,(2.3.9),数字信号处理第三版第二章,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式定义如下：,t与(-,+),对连续信号和采样信号，它们的关系用下式(1.5.2) 描述：,和xa(t)的傅里叶变换之间的关系为：,数字信号处理第三版第二章,时

14、域离散信号x(n) 的一对傅里叶变换式为：,序列x(n)的FT-X(e j)与模拟信号xa(t)的FT-Xa(j)之间的关系为：,(2.4.7),结论：序列的FT和模拟信号的FT之间的关系，与采样信号和模拟信号的FT之间关系是一样的，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系为=T。,数字信号处理第三版第二章,图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系,数字信号处理第三版第二章,2.5 序列的Z变换,2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为,(2.5.2),模拟信号和系统中：,傅里叶变换进行频域分析,拉普拉氏变换是其推广，对信号进行复频域分析,时域离散信号

15、和系统中：,序列的傅里叶变换进行频域分析,Z变换是其推广，对序列进行复频域分析,单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。,如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变换。,数字信号处理第三版第二章,Z变换存在的条件是|X(z)|有界，即等号右边级数收敛：,X(z)存在的条件比X(ej)存在的条件宽得多，只要|x(n)|的增长速度小于z -n ，则ZTx(n)就存在。 X(z)=ZTx(n)收敛域定义为使上式存在的|z|的取值域，一般收敛域用环状域表示：,图 2.5.1 Z变换的收敛域,Rx+ 和 Rx- 称为收敛半径 Rx- 可以小到零，

16、Rx+可以大到无穷大。显然X(z)的收敛域与x(n)有关。,数字信号处理第三版第二章,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：,零点-分子多项式P(z)的根，极点-分母多项式Q(z)的根。 在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，-收敛域由极点限定其边界。,要点： x(n) X(z)，收敛域 即对一个确定的x(n)，其Z变换X(z)的表达式和收敛域是一个整体，二者共同、唯一确定x(n)。,数字信号处理第三版第二章,(2.5.4),与序列的傅里叶变换定义式比较，得到FT和ZT之间的关系：,(2.2.1),(2.5.1),式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5

17、.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。傅里叶变换是Z变换的特例。如果已知序列的Z变换，可用上式方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。,数字信号处理第三版第二章,例 2.5.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解：,|z|1,X(z)存在的条件是|z-1|1，,由X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。,该例说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。,数字信号处理第

18、三版第二章,2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一些关系，有助于Z变换的使用。,其Z变换为：,1. 有限长序列 如序列x(n)满足：,数字信号处理第三版第二章,x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值有关外，整个z平面均收敛。 若：n10，出现z-n项，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。有限长序列的收敛域表示如下：,n10， n20， 0|z|:,n10， 0|z|:,n10， n20， 0|z|:,数字信号处理第三版第二章,例 2.5.2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解：

19、,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。 从X(z)的分母看到z=1似乎是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在。,数字信号处理第三版第二章,2. 右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而在nn1 时，序列值全为零的序列。,第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx- |z|。如果是因果序列， 收敛域定为Rx- |z|。,数字信号处理第三版第二章,如果n20，则收敛域为0|z| Rx+ 。,3. 左序列 左序列是在n

20、n2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。 其Z变换为：,数字信号处理第三版第二章,4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换为：,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+ ，这是一个环状域 如果Rx+ Rx- ，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域， 因此，X(z)不存在。,数字信号处理第三版第二章,例2.5.5x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1, 两部分的公共收敛域为|a|z|a|1, 其Z变换

21、如下式:如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。,数字信号处理第三版第二章,图2.5.2例2.5.5图,数字信号处理第三版第二章,2.5.3 逆Z变换序列的Z变换及逆Z变换表示如下：,(2.5.5),式中c 是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线，如上图所示。,直接计算围线积分比较麻烦，实际中常用三种方法求逆z变换: 1. 用留数定理求逆Z变换 2. 幂级数法(长除法) 3. 部分分式展开法,数字信号处理第三版第二章,x(n)=,1. 用留数定理求逆Z变换 令：,被积函数X(z)zn-1在极点z=z1k的留数,设F(z)

22、在围线c内的极点为z1k，在围线c外的极点为z2k，根据留数定理:,x(n)=,使用(2.5.9)式的条件是F(z)的分母阶次(z的正次幂)比分子阶次必须高二阶以上。 即： N-(M+n1)2 N-M-n1 (2.5.10) 设X(z)=P(z)/Q(z)，则P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式,数字信号处理第三版第二章,(2.5.7),如果zk是N阶极点，则:,(2.5.8),求极点留数的方法：如果zk是单阶极点，则:,如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理(2.5.9)改求c外的所有极点留数之和，使问题简化。,数字信号处理第三版第二章,例 2.5.6 已知X(z)=

23、(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z变换x(n)。解：,用留数定理求解， 要先找出F(z)的极点，极点有：（1）z=a （2）当n0时，z=0也是极点其中极点z=0与n的取值有关：n0时，n=0不是极点。 n0时，z=0是一个n阶极点。 因此要分成n0和n0两种情况求x(n)。,数字信号处理第三版第二章,（1）n0 时，只有一个极点：,（2）n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，由于n0，只要N-M0，(2.5.10)式就满足。 本例满足(2.5.10)式。,N-M-n1 (2.5.10),图 2.5.4 例中n0时F(z)极点分布

24、,所以，n0时，改求圆外极点留数，但本例题中圆外没有极点(见图2.5.4)，故n0，x(n)0。最后得到该例题的原序列为: x(n) = anu(n),数字信号处理第三版第二章,事实上，该例题由于收敛域是|z|a，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果的右序列，这样n0部分一定为零，无需再求。,数字信号处理第三版第二章,例2.5.7已知, 求其逆变换x(n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)， 得到其极点分布如图2.5.5所示。图中有两个极点：z=a和z=a1，这样收敛域有三种选法，它们是 （1） |z|a1|，对应的x(

25、n)是因果序列；（2） |z|a|，对应的x(n)是左序列；（3） |a|z|a1|，对应的x(n)是双边序列。,数字信号处理第三版第二章,图2.5.5例2.5.7中X(z)的极点,数字信号处理第三版第二章,下面分别按照不同的收敛域求其x(n)。（1） 收敛域为|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，因此,数字信号处理第三版第二章,最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。,数字信号处理第三版第二章,（2） 收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，

26、因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时,数字信号处理第三版第二章,最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a, x(n)=ResF(z), a=an,n0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1， 因此x(n)=ResF(z), a1=an最后将x(n)表示为即 x(n)=a|n|,数字信号处理第三版第二章,2.5.4 Z 变换

27、的性质和定理1. 线性 设 X(z)=ZTx(n), Rx- |z| Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ 则 ZT a x(n)+b y(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ (2.5.15)其中： Rm+= min Rx+ ,Ry+ Rm-= max Rx- ,Ry-,即Z变换的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收敛域，若无公共收敛域则Z变换不存在。,数字信号处理第三版第二章,2. 序列移位 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则 ZTx(n-n0)= z-n0X(z), R x-|z|R x+ (2.5.16),3

28、. 乘指数序列 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z) |a|R x- |z| |a|R x+ (2.5.17),数字信号处理第三版第二章,5. 复序列的共轭,设,6. 初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),数字信号处理第三版第二章,7. 终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则 ：,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示：,如果单位圆上X(z)无极点，则x()=0。,(2.5.22),数字信号处理第三版第

29、二章,9. 复卷积定理如果 ZTx(n)= X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)= Y(z), R y-|z|R y+ w(n) = x(n)y(n)则,W(z)的收敛域,(2.5.24),(2.5.25),8. 序列卷积 设,数字信号处理第三版第二章,10. 帕斯维尔(Parseval)定理,那么,v 平面上，c 所在的收敛域为：,设,(2.5.27),数字信号处理第三版第二章,2.5.5 利用Z变换解差分方程 用Z变换求解差分方程，将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。 N阶线性常系数差方程为：,利用线性和序列移位性,对于N阶差分方程，求其解必须已知N个初始条件。 设x(n

30、)是因果序列（x(n)=0,n0），初始条件 y(-1), y(-2)y(-N)。,对(2.5.30)式进行Z变换：,(2.5.30),数字信号处理第三版第二章,与系统初始状态无关，称为零状态解:H(z)X(z),与输入信号无关，称为零输入解。,求零状态解时可用双边Z变换求解也可用单边Z变换求解;求零输入解必须考虑初始条件，用单边Z变换求解。,数字信号处理第三版第二章,例2.5.11 已知差分方程：y(n) = b y(n-1) + x(n)，式中x(n) = anu(n)，y(-1)=2，求y(n)。解：对差分方程进行Z变换：,而,于是,收敛域为：|z|max(|a|,|b|),式中第一项为

31、零输入解，第二项为零状态解。,数字信号处理第三版第二章,2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉冲响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。,稳定系统要求 ，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。 如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为： r|z|， 0r1,系统因果且稳定，H(z)的极点集中在单位圆的内部。 具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的极点分布确定。,数字信号处理第三版第二章,例2.6.1 已知 ，分析其因果性

32、和稳定性。,解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图所示。,(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应：h(n)=(an-a-n)u(n)(见例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0|z|a，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(见例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。

33、,数字信号处理第三版第二章,下面分析本例这种系统的可实现性：在H(z)的三种收敛域中，前二种系统不稳定，不能选用；在最后一种收敛域中，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。严格地讲，这种系统是无法具体实现的。但是我们利用数字系统或计算机的存贮性质，可以近似实现第三种情况。,方法：将图2.6.1(a)的h(n)从-N到N截取一段，再向右移，形成如图2.6.1(b)所示的h(n)序列，将h(n)作为具体实现的系统单位脉冲响应。N愈大，h(n)表示的系统愈接近h(n)系统。具体实现时，预先将h(n)存贮起来，备运算时应用。这种非因果但稳定系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方

34、。,数字信号处理第三版第二章,2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(2.6.2)式因式分解，得：,式中：A=b0/a0，影响传输函数的幅度大小； cr是H(z)的零点，dr是其极点。 零点cr和极点d 的分布影响系统的特性。 下面用几何方法来研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。将(2.6.4)式分子分母变为正幂次，得：,(2.6.4),数字信号处理第三版第二章,设系统稳定，将z=e j，得到频率响应函数：,(2.6.5),(2.6.6),若N=M，则：,(2.6.7),数字信号处理第三版第二章,和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表：,将 和 表示式代入(2.6

35、.7)式，得：,在z平面上，ej-cr用一条由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示；同样ej-dr用由极点指向ej点B的向量 表示，如图所示。,数字信号处理第三版第二章,(2.6.8),(2.6.9),式中：,系统的传输特性或信号的频率特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照上述两式，可以分别估算出系统的幅度特性和相位特性。,图2.6.2 频响的几何表示法,下图表示了有一个零点和二个极点的频率特性。,数字信号处理第三版第二章,按照(2.6.8)式，由零极点分布，可以确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。结论： 极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度， 零点位置影响频响的谷点位置及形状。,