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1、平行线与相交线全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1 .熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2 .区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3 . 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4 . 了解平移的概念及性质.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105知识结构】I【知识网络】【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表:图形顶点边的关系大小关系对顶角/ 1 与/ 2有公共顶点/1的两边与/2的两边互为 反向延长线对顶角相等即/ 1=7 2邻补角有公
2、共顶点/ 3与Z 4有一 条边公共，另一 边互为反向延长线.邻补角互补即/ 3+7 4=180要点诠释：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征：有公共顶点，角的两边互为反向延长线.如果/ a与/ 3是对顶角，那么一定有=/3；反之如果/a =/ 3 ,那么/a与/ 3不一定是对顶角.如果/ a与/ 3互为邻补角，则一定有/a +/ 3 =180。；反之如果/a +/ 3 =180。，则与/ 3不一定是邻补角 .邻补角的特征：有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延 长线.两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个2.垂线及性质、点到直线的距
3、离(1)垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 就说这两条直线互相垂直， 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角， 两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直(2)垂线的性质：垂线性质1:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2: POLAB,点P 到直线
4、AB的距离是垂线段 PO的长.1 P要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条知识点二、平行线2 .平行线的判定判定方法1:同位角相等，两直线平行.判定方法2:内错角相等，两直线平行.判定方法3:同旁内角互补，两直线平行.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：(1)平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点(不相交) ，那么两直线平行.(2)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行(平行线的传递性)(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行(4)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3 .平行线的性质性质1:两直
5、线平行，同位角相等；性质2:两直线平行，内错角相等；性质3:两直线平行，同旁内角互补 .要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：(1)若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点.(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直.4 .两条平行线间的距离如图3,直线AB/CQEFL AB于E,EF CD于F,则称线段 EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：(1)两条平行线之间的距离处处相等(2)初中阶级学习了三种距离 ，分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离这三种距离的共同点在于都是线段的长度，它们的区别是两点间的距
6、离是连接这两点的线段的长度，点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度，平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.(3)如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同 .知识点三、命题及平移1 .命题：判断一件事情的语句，叫做命题.每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项2 .平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移.要点诠释：平移的性质：(1)平移后，对应线段平行(或共线)且相等；(2)平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共
7、线）且相等;（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线.（2015春？乌兰察布校级期中）a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A . 1个或2个或3个B . 0个或1个或2个或3个C. 1个或2个D.都不对【思路点拨】根据三条直线两两平行， 三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交, 三条直线两两相交不交于同一点，可得答案.【答案】B【解析】解：三条直线两两平行，没有交点；三条直线交于一点，有一个交点；两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点，故选B.【总结升华】 本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：三条直线
8、两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交，三条直线两两相交不交于同一点，注意不要漏掉任何一种情况.举一反三：【变式】 如图所示，已知/ AOD=BOC请在图中找出/ BOC的补角，邻补角及对顶角解： 因为/ BOG /AOC=1800平角定义）所以ZA OC是/ BOC的补角.因为/ AOD- / BOD=1800平角定义） /AOD= BOC（已知）所以/ BOG- / BOD=180o.所以/ BOD是/ BOC的补角.所以/ BOC的补角有两个：/ BOD和/AOC而/ BOC的邻补角只有一个/ AOC且/ BOC没有对顶角.2.已知：如图，直线 a、b、c两两相交，且
9、ab, / 1 = 2/3,求/ 4的度数.【答案与解析】解：ab, / 2=Z 1 = 90 .又. / 1 = 2/3,90 =2/3,3=45又/3与/4互为邻补角，所以/ 3+74= 180 即 45 +7 4=180 .所以/ 4=135 .【总结升华】 涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶 角等）是解题的关键.类型二、平行线的性质与判定歌 3.如图，已知/ADE = /B, Z 1 =/2,那么 CD/ FG吗？并说明理由.【答案与解析】解：平行，理由如下：因为/ADEM B,所以DE/ BC （同位角相等，两直线平行），所以/ 1=/BCD（两直线
10、平行，内错角相等）又因为/ 1=72 （已知），所以/ BCDW 2 .所以CD/ FG （同位角相等，两直线平行） .【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题3】举一反三：【变式】如图，已知/ 1 + 72=180 , Z 3=Z B,试判断/ AED与/ ACB的大小关系，并说 明理由.【答案】Z AEDh ACB理由如下：. / 1+Z 2=180 ,又/ 1 + / 4= 180 , / 2=7 4. AB/ EF （内错角相等，两直线平行）. / 5
11、=7 3.又/ 3=Z B, ./ 5=Z B. . DE/ BC （同位角相等，两直线平行） . AED ACB（两直线平行，同位角相等）.【思路点拨】 欲证AD/BC,结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件.【答案】/ FAD = / FBC,或/ ADB =/CBD ,或/ ABC+ / BAD = 180 .【解析】解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件/ FAD = Z FBC ; 利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件/ ADB = Z CBD ;利用“同旁内角互补，两 直线平行”，可添加条件/ ABC+ Z BAD
12、 = 180 .【总结升华】 这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD / BC,题设可根据平行 线的判定方法，逐一寻找即可 .举一反三：【变式】（2015春？和县期末）下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内， a、b、c是直线，all b, b/c,则a/c（2）在同一平面内,（3）在同一平面内,（4）在同一平面内,A. 1【答案】Ca、b、c是直线, a、b、c是直线, a、b、c是直线,ab,bc,贝Uacallb,ac,贝Ubcab,bc,贝UaIIc.B. 2C. 3D. 45.如图（1）,线段AB经过平移有一端点到达点C,画出线段 AB平移后的线段 CD.C【思路点拨
13、】 连接AC或BC便得平移的方向和距离.【答案与解析】解：如图（2）,线段CD有两种情况：（1）当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；（2）当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段 CD即为所求.【总结升华】 平移是由平移的方向和距离决定的.本题中未指明哪一端点（A还是B）移动到点C,故应有两种情况：即点 A平移到点C或点B平移到点C.举一反三：【变式】下列说法错误的是（）A.平移不改变图形的形状和大小B.平移中图形上每个点移动的距离可以不同C.经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D.经过平移，图形对应点的连线段相等【答案】B类型四、实际应用歌 6.如图，107国道a上有一个出口 M,想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最 短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点 M作MNL b ,垂足为N,欲使通道最短，应沿线路 MN1工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键