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1、LQR控制算法推导以及简单分析1全状态反馈控制系统在介绍LQ竝前.苜先.先回顾一下现在控制理诒中的基本的控制器全状态反愦控制上图假设有一吓线性希统用状态向量表示:I = Ax + Bu y = Cx + Du其中x(i) e Rn. ut) e附,初始条件是工。 在此我们需要设计一个状态反馈控制器u = Kx便上述控制器閣达到期赛的育走性能，将式R)帝入基绽伏感方程中有i = (j4 BK)x Acx设走系统中的各个状态星都可知.式所示的开环亲统.传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。现在变换成了式(2)的闭环形式.通 过配置反馈矩阵K.可以使得闭环系统达到所期望的系统状态。(注意，这种控制器
2、设计与矩阵C、D没什么关系)so,来了一个新的问题，极点在什么样的位置会使得系统的性能较好呢？芥且，当系统变量很多的时候，就算设计极点宙达到了最 优.矩阵K的计韋如何计貝呢？ 因此，LQR提供了如下思路。2LQRLQR的目标就是找到一组控制星5), ub 使得同时有引,叼，足够小俸统达到稳走状态).攻),切，足够小(控制星尽星小的变化)， 选取代价函数为xtQx + utRu dt其中，Q、R就是霎要设计的半正定矩阵和正定矩阵。看上式(4)是不是线代中的二次型(线代頁的是一门重要的学科，工程中大星都是线代的运算).而旦还是另附只有平方项的二次型，这样就 成了最小二乘法的问题。代价函数711要达
3、到最小值，那么在担近于无穷时，状态向Bz(f)肯主趙近于0.即是达到了系统稳态；同理， t趋近于无穷时，控制向量“也会趋近于0,怠味鼠 随着时间的推移.需要对系统施加的控制量会越来越小怠味着使用最”曲控制量 使得票统达到了最终控制目标。下面来聊聊Q、R值的选取.一来说.选取Q、礎阵的时候.为了方便观祭各个屋统状态量而选取对角阵，増加Q的一个值，意味看这 个值作用的系统状态最 将以更快的速度衰减到0.这时候.举个栗子还是很必要的.比如，Qii选取较大的值，会让很快的衰减到 o；另外一方面.力口大砸置 会使得对应的控制星减小，控制器执行更少的动作，意味着粟銃的状态衰减将变風 所以.a r的选 取.
4、要综合看具体谯际应用场景来调节，俗话说，鱼和廉拿不可兼得，这个矛盾就像做的轨迹跟踪MPC中的设置不同的权重一样.期 耍车辆后抽心cte值越小.那么到了转穹处必须耍很大幅度的刹车，以及打方向盘.速度以及yaw会大幅度变化.而如果期望执行器动 作越小.那么就无法保证cte的准确度一样。好了，上面介绍了一些參数的意义问题，下面重点就是公式的推导了，在不同大神那看到了不同的推导方式，下面就把自己比较欣賞的一 种写出来吧.虽说过程也很重要但是工程廝.只要结果对.效果好.选个自己看起来舒服的方式就好了.开始推导过程1 将“ =-Kx代入代价函数后.有J = t j xt(Q + KtRK)x dt(5)2
5、. 假设纯在一个集星矩阵P使得，-(xTPx) = -xt(Q + KtRK)x(6)dt3. 把式(6)代入(5)后.有1 f0017 = / (P)x dt = z(0)Px(0)(7)式的意思就是，t趋近于无穷时，系统状态向星x(t)趋近于0,这样就直接结算出了积分方程。4. 把式左边微分辰开,xTPx + xTPx 亠 xtQx + xTKrRKx = 0状态变星x的微分用式(3)表示,tAPx + xtPAcx + xtQx + xtKtRKx = 0整理后，有+ PAc + Q + KtRK)x = 0这样，就又回到了二次型的问题，如果式(8)要有解.那么括号里面的部分必须等于0A
6、P + PAC + Q + KtRK = 0(9)把乂 = A - EK代入式(A - BK)tP + P(A - BK) + Q + KtRK = 0(10)At + PA + Q + KtRK - KtBtP - PBK = 0(11)5. 式)还是一个关于K的二次型，这样会导致计算量太复杂，so只要这个等式成立就好，那么这里令K = RBtP.然后式(11),可以化为,4r + PA + Q + KtR(RBtP) - K1 BrP 一 PB(RBtP) = 0人卩 + Pd + Q PBRBtP = 0(12)式(12)中七B,Q,R都是已知星.那么通过式(12)可以求解出P 式(12
7、)就是著名的Riceti方程。上面，从理论以及公式推导两个方面，介绍了LQR,现在从头看一下LQR的思路：选择参数矩阵QR求解Riccati方程得到矩阵P恨据P计算K = RBtP计算控制星= -KxM PC与LQR比较M PC和LQR两种控制方式有很多的相似之处f但是也有很多不相同的地方,首先,LQR的硏究对象是现代控制理论中的状态空间方程给出的线性粟统，而MPC的硏究对象可以是线性粟统，也可以是非线性杀 统。不过现在很多的做法都是将非线性系统线性化，然后进行相关计算，具休要抿据自己的工程情况来确走哪种方式比较好，比如之 前做MPC的时候，线控车底层速度控制接口就是加速度，那就没必要根垢IMU再赛嵌个一层PID。其次.既然是优化问题，那就离不开目标函数的设计，LQR的目标函数在上面已经有描述，MPC的目标函数.多数都是多个优化目 标乘以不同权3然后求和的方式.虽然方式不同，不过都是对达到控制目标的弋价累计。最后，工作时域上的不同，LQR的计算针对同一工作时域在一个控制周期内LQR只计算一次.并将此次计算出的最优解下发给控 制器即可；而MPC是滚动优化的.计算未来一段时间内.每个采样同期都会经过计算，得出一组控制序列，但是只将第一个控制值 下发给控制器。