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1、1.求下列极限:limn22n n(1 n)解：原式二lim n-2.2n n 1n2 2n2=lim n1 2n二2lim(1产解：原式=!吗（1 X）2二e2(3)解:原式limX 3x 3(x 3)( d x 2)(4) limX1X(eX1)limX1(e* 1)1=1(5)当X 0时，求X X. lim cos- cos- LX cos了= limnxxx .cos cos-L (2cos sin242nx2sin - 2n=limnx x cos- sin 22 = limon 1 X2 sin了sin xon x2 sin2nlim( nxsinx 2n 、g-)x xsin2n
2、sin x(6)limX2. 1 x sin 一x.2x21limX2 1X g-XlimXlimX212x22.2lim( n1n2 n 112n2 n 22n 1n(n_222 n1)而limn故 lim(nn nn(n 1)-2_2n n n1n2 n 1ynn(n2 n1)n(n 1)2 .2n n 1limnn2 n 2=)211.3函数的极限作业Jm( . n 3l. n , n , n )= lim( n_I (nI) lim( =4 _ n n 3 n n .n n 13I J13 lxl即 |x| 31.根据函数极限的定义 验证下列极限11lim 0 解：0,要使|0|x x
3、x只要取X 31,则当|x| X时，恒有所以lim二0.(2) lim、x 2x 4解:0,要使14 21知|X4|2还要使x0 ,即 x 44 ,或 |x4| 4,只要取min2,4,则当0 |x4|时，恒有|VX 2|所以 lim x2.求下列数列极限：(1) lim(解：令yn 一一 n n 1n(n 1)因二 n n nn(n 1)而 lim 2 2n n n n一1故 lim(n n2 n 12n2 n 2ynn(nlimn n_ 21 n2 nn2 n n n2 n1)4n2 n nn(n 1)2.n)2n 1n2= lim(n n n )lim( - n 3；n nn 3 , n
4、 (n n),n 3 . n . n . n3.求下列函数极限:limL解：原式二-9(2)limL解：原式=im(x 2) =4(3)lim 3 x解：原 式x 1 x 13 x (1 x) .22=lim 2 lim =x 1 ( .3 x 、,1 x)(x 1) 1 (,3 x 1 x)(x 1) 1 ( ；3 x 1 x)(x 1)4(4) lim( 4x_1 &_1)解：原式=lim -2 0xx ,xlim 1x = limx 1x2 1 x 1 lim _2 1 .x2 1lim (2x 1)(3x2 2) x (2x 1)2解:原式=lim x6x2 7x 24x2 4x 1(
5、6) lim(2解： 原式 =lim(1x-1) lim1x 1 x2 1 x 1x 1 x2 1 x 1 x 123x 24.设 f (x)x2 11x 1x 00 x 1 ，分别讨论f (x)在x 0 , x 1和x1x2时的极限是否存在.解：lim f (x) 2, lim f (x) 1 ,故 lim f(x)不存在. x 0x 0x 0lim f(x) 2, lim f (x)趋向无穷大，故limf(x)不存在.x 1x 1x 1lim f (x) 1 , lim f (x) 1 ,故 lim f (x) 1.x 2x 2x 21.43.求下列函数极限:x2 5lim x- =-9(
6、3)x 2 x 3xim2x2 4=lim(x 2) =4x 2 x 2x (1 x)J x)(x2 1)(9) lim(x2 1, x2 1) = lim/ VV(11) xim(2x 1)(3x 2)_2(2x 1)=limx6x2 7x 24x24x 1(13) lim4x4 241limxx224 x 22 x422X x 01 22 x x(15) xm(胃2.设 f(x)x0x1)=lim1解:limx 0(x 1)limx 0f (x)在 x0,x 1时的左右并说明这两点的极限是否存在,1f (x) lim x 0 x 11，mf(x) linmx0,limf(x)lim f (
7、x) 故x 0f (x)不存在.lim f (x) x 1lim x1,limx 1f(x)lim1x 1lim f (x) lim f (x) x 1x 1lxm1f(x)1.51.求下列极限:limsin 3xsin 3xlim 3x 0 3xtan3x 3x lim lim x 0 sin4x x 0 4x1 cosx21如彳Txm0_2、2 sin -2_2sin2- 2xm02.一 xsin 一_2_2x22 . 2 xsin 一922x222x4U(0,).X21 cosxsin 0. (5) lim2 x 0 1 cosx2、2sln llm-02 X2sin - 22X1 2一
8、lim 22x 0 k 2 x2T. 1 xsin x cosx 在刀(7) lim 解:x 0.2 xsin 一2原式= limx 021 xsin x cos xsin21( .1 xsin x 2cosx)一 一二2xsin x sin x1=limglim=x 0- 2 x x 0 -.1 xsin x cosxsin2= 1lim2x0一一 一 2xsin x sin x。)2一一 一一 2sin x sin x、 /2lim ()=4x 0 x x注意：代数和中的一部分不能用无穷小替换错原式=limx (21 xsin x cos x0 . 2x - sin 一(、12xsin x
9、 cosx)lim1x2(1 xsin x cosx) 4/o1 sin x cosx(8) lim x 01 sin x cos x解:x x 2 x2sin cos 2sin 一原式二lim222-x 2sin cos 2sin2 -xx xsin cossin=lim2-gim22x 0 . x=x ox. xsin一cos- sin一222=limx_x 一. x、 sin (cos sin )2220x,x x、sin (cos sin )222x2=limx 0 xg1=-注意：代数和的一部分不能用无穷小替换1 sin x limx 01 sin xcosxcosXm 01(9)
10、xim(1-)x xHm(13 3 33x 2 x；)3e(11)xim(xi)xim(1/ x 2甘4(13啊(1一Z- 333x)x lim(1 3x)3xe4.0时，下列函数中哪些是X的高阶无穷小,哪些是X的同阶无x3 1000x2解：因为3.x lim x 01000 x2xlimx 0(x2 1000x)所以2sin 3 xx3 1000x2o(x)2sin3 x 解：因为lim剪 x 0 x所以sin3 xln(1 x)解:lim 2sino(x)因为lim ln(1x 01x)71所以ln(1x) x1 cosx 解:1因为lim -x 0cosxx2sin2-lim20 x所以
11、 1 cosx o(x)x sinx解：因为x sin x limx 0 x=lim(1无穷小.(6) 3/tan x 解:因为 limQ tan x = lim(一 x sinlim(sin qg2) 0sinx、)=2,故乂 x.1sin xxo 11、)3ggr) =cos3 x x3故标是x的低阶无lim -= lim x 0 3 tan xgx2 cosx =0 , sin x思考题:1. lim (3xx1 lim 9(1 3x)3xg-3 gx = lim x9(1sinx是x的同阶故加菽是x的低阶无穷小.I)1=9e=9arccotx2. limx 0 x,因为当x 0时,ar
12、ccot x2习题2.2 1.求下列函数的导数:(1) y cosx x2解：y sin x 2x(注：(cose) 0)(3) y sin x x cose 解： y cosx 1cos2 x 解 y 2cos xg(cos)x_ x、 =2cos-g( sin-)x_ 一= 2cos 5a sinx x cos-gsin-=1-一 sin x2(7) y sin3x 解：y 3cos3 x (9) y sin(x2 x 1)解：y (2x 1)cos(x2 x 1)-31139(11)yIn 7xInx解：y(-ln x)(3ln x)一一一22xx2x(6) y (2x 1)6 解：y
13、6(2x 1)5g2=12(2x 1)511 11(10) yln(lnx)解：y(ln x) =g-=ln xlnx x x ln x(11) y ln Vx ln(sin x)解y(sin x) = 1 g 1gsosx= 1 cot xsin x, x 2.x sin x 2x2 .在下列方程中，求隐函数的导数:(1) y cos(x y)解：ysin(x y) (1y)故yr)11 1xxxcosln yy22211- x3y3a3 解：-x 3-y 3y0,故 y出33x3 .求反函数的导数：(1)y x lnx解：曲 3 dy dydx-arcsinx 6力,d dx1e 解：x
14、sin ln y ,故 一 cosln y dyy4 .求下列函数的导数(1) y x2sinx解：y 2xsin x x2cosx(3) yx3ln x 解：y3x2 ln xx313x2 ln xx2(5) y1-1nx解x1 ln x1 In x 1 In xyx ln x)22x(1 ln x)2解：y1 ln xy(12ln x)222 x(1 ln x)1 cos- xy2xcos1 x11c 1 (sin -) ( ) = 2xcos-sin-) ( 2) =2xcos- sin-ln(x解:y=(x4x24)(12x2汗二)41x2 4(10)12 x x ex(a0)1y 2
15、xex12x ge gx 1(a ln a) xax(1.)2x. x11=y 2xex exxx2xa ln a a(11) yarccosx , 1. 1 x2 ln解:arccosxln(1 . 12、, x ) ln xy1 x arccosx1 x22x2x1 .1 x2.1x2x(13) yarccosx(1 .1xx2),1Inx解:ln x ln x e(ln x)2 eyln x x(14) y, .、cosx(sin x)解：Q lncosxlnsin x ,yysin xln sin xarccosx2x2lnlnx 1ln x对该式两边求导数得1cosxcosxsin
16、xy (sin x)cosx( sinxlnsinx cos xtan x)(15) y xg/-x 解：Q In y In x -ln(1 x) - ln(1 x),对该式两边求导 . 1 x22数得沙x心七arcsin x , 1. 1 x2在R(16) y ln 解xxx 一一一. arcsin xy 1 x 2 ECx_ x x 1 x2 arcsinx_ x2 TV_ x 1 x2 arcsinx x2 1 x2_ x 1 x2 arcsinxx2 . 1 x2_ x 1 x2 arcsinxx2 1 x24.求反函数的导数：/ x2) (lnx)=g(1)1x2)-1.1 x ,
17、1 x2x2 . 1 x2111g g( 2 x)1;1 x2 2,1x2xx1(1 x2)x2x1_ 2x .1 x2 arcsinxx lnx 解:dx 11dy dy 1 1dx xarcsinxe解：x sinlny,故 dx cosln y - dyycOsI5.求下列参数方程的导数y: y1x t 1解:ty FV2(t 1)2 t 2(t 1)dy y(t) (t 1)4 t 1dx x(t)1t 1(t 1)23at1 t33at2 解:rvdy dx3226at(1 t3) 3at2 3t2(1 t3)23at(2t3)t(2 t3)3a(1x3) 3at 3t23a(12t
18、3)12t3(1 t3)2x ln(1 t2)y t arctan t解:dy dx11 t2 2tt2t2t21 t22 .若F(x)在点a连续，且F(x) 0 0问：(1) f(x) x a F(x)f (x) (x a) F(x)在点x a是否可导?解：由已知limF(x)x aF(a) 0f (x) f (a) (x a) F (x) 0(1) f (a) lim lim lim F(x) F(a)x a x a x a x a x azf(x) f(a) (x a)F(x)f (a) lim - lim - F (a)x a x a x a x af (a) f (a) 所以 f (
19、x) x a 5(乂)在* a不可导(2) limf-(x)一f(a) lim F(x) F(a)所以 f(x) (x a)F(x)在 x a可导x a x a x a例题：设f(x)可导，求下列函数y的导数电(1) y f(x2) dx(2) y f(sin2x)f(cos2x)解：(1) y (f(x2) f(x2) (x2) 2x f (x2)(2)乎(f(sin2x) (f (cos2 x)dx-22-22sin 2x f (sin2 x) f (cos2 x)f (sin x)(sin x) f (cos x)(cos x)2sin xcosx f (sin2 x) 2cos xsi
20、n x f (cos2 x)x 2例题：设f (x)ax b，函数f(x)在x 2处可导，应如何选取常数a和4因为“*)在乂 2处可x 2b解：lim f(x) lim (ax b) 2a b lim f(x) lim x2 x 2x 2x 2x 2导，所以连续，从而有 2ab 4(1)f ximlimx 2ax b 4x 2ax b (2a b)lim x 2 x 2limx 2a(x 2) ax2 4 lim 一 x 2 x 2/f(x) f(2)f (2) limx 2 x 2因为 f(x)在 x 2处可导，则 f (2) f (2)即：a 4(2)由(1)(2)可得:4例题：设f (x).1 sin 一x1cosx求 f(x) f(0)解：x0时,f(x)(x4 sin1f(0)limx 0所以f (0) limx 0314x sin- x314x sin - xf(x) f(0)limx 0x cos-x21x cos-x4.1 x sin-xxx4) xsin xcosxcosx)sin x31州 xsin -2sin2-2 x1-)f(x)f(x)4x3 sin1 x21x cos-xsin xf(0)limx 04x3 sin - x21x cos- sin xxx 0