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1、第一讲 换元法第一讲换元法第一讲换元法与主元法一些复杂的因式分解问题常用到换元法和主元法所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替 (即换元 ) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问 题的结构【例1】分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10思路点拨视 x 4+x 2 为一个整体用一个新字母代替，从而能简化式子的结构【例2】多项式 x
2、 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz因式分解后的结果是( ) A (y z)(x+y)(x z) B (y z)(x y)(x z) C (y+z)(x 一 y)(x+z) D (y十 z)(x+y)(x 一 z) 思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x 2)(x+3)(x+6)+ x2 ； (2)1999x2 一 (19992 一 1)x 一1999；(3)(x+y 2xy)(x+y 2) (xy 1) 2 ；
3、 (4)(2x 3y) 3 十 (3x 2y) 3 125(x y) 3思路点拔(1) 是形如 abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4 个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2) 式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3) 式中 x+y； xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4) 式前两项与后一项有密切联系【例 4】把下列各式分解因式：(1)a2(b 一 c)+b2(c a)+c2 (a 一 b) ； (2)x2+xy 2y 2 x+7y 6思路点拨(1) 式字母多次数高，可尝试用主元法；(2) 式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的二元二
4、次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解5】证明：对任何整数x 和 y ，下式的值都不会等于33x 5+3x4y 5x 3y 2 一 15x 2y 3+4xy4+12y5 思路点拨33 不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1)按字母分组：(2) 按次数分组； (3) 按系数分组为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：( 1) a 3 b 3=(a b )(a
5、2 ab +b 2)；(2)a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a2+b 2+c 2-ab -bc -ac )1 .分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x) 8 =2 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2) 3 分解因式：x 2 xy 2y 2 x y=4 已知二次三项式x 2-mx -8 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积, 则整数 m的可能取值为5 将多项式x 4-2x 2-3 分解因式，结果正确的是()A (x 2+3)(x 2-1) B (x 2+1)(x 2-3) C (x 2+3)(x -1)(x +1) D (x 2+1)(x -3)(x +3)
6、6 下列 5 个多项式：a 2b 2 -a 2-b 2-1;x 3 -9ax 2+27xa 2-27a 3;* (b +c -d ) -y (d -b -c )-2c +2d -2b；3m (m -n ) +6n (n -m );(x -2) 2+4x其中在有理数范围内可以进行因式分解的有()A.、B .、C .、D .、7 下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) A x 3-9x 2+27x -27 B x 3-x 2+27x -27 C x 4-x 3+27x -27D x 3-3x 2+9x -27138 若 a +b =- ， a +3b =1 ，则 3a 2+12ab +
7、9b 2+ 的值为 ( ) 55A 224 B C D 0 9359 分解因式:( 1) (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 ；(2)(2x2 3x+1)2 一 22x 2+33x 1；(3)x4+2001x2+2000x+2001 ；(4)(6x 1)(2 x 1)(3 x 1)( x 1)+x2 ；(5)a 2+2b 2+3c 2+3ab +4ac +5bc ；(6)x 2+xy -6y 2+x +13y -610 分解因式：(x 2-1)(x +3)(x +5) +12 11分解因式：x 2+5xy +x +3y +6y 212 分解因式：(x -2) 3-(y -2)
8、 3-(x -y ) 313 在 1100 之间若存在整数n ，使 x 2+x -n 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的 n 有 个 14 2x 3+x 2-13x +6 的因式是( )A 2x -1 B x +2 C x -3 D x 2+1 E 2x +115 已知 a b c ， M=a 2b +b 2c +c 2a ， N=ab 2+bc 2+ca 2 ，则 M 与 N 的大小关系是 ( )A . M N C.M = N D .不能确定16 把下列各式分解因式：1 (1)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2； (2)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -
9、91； (3)xy(xy +1) +(xy +3) -2(x +y +) -(x +y -1) 2 2(4)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4；(5)2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y2z 17 已知乘法公式：a 5+b 5=(a +b )(a 4-a 3b +a 2b 2-ab 3+b 4)； a 5-b 5=(a -b )(a 4+a 3b +a2b 2+ab 3+b 4) 利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+118 .已知在 AABC中，a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a、b、c是三角形三边的长)求证： a +c =2b