第一章3简谐运动的图像和公式.docx

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1、学案3简谐运动的图像和公式学习目标定位1.知道所有简谐运动的图像都是正弦（或余弦）曲线2会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期（频率）、相位、初相等相关信息.温敢追本卵油推舔方可钿新知识储备区I知识链接xt图像是描述物体的位移与时间关系的图像,由图像可知任意时刻物体的位移.某时刻物 体的速度等于这一时刻图像的斜率.一、简谐运动的图像1 .坐标系的建立：以横坐标表示时间.纵坐标表示位移.描绘出简谐运动中振动物体离开平 衡位置白位移x随时间t变化的图像,称为简谐运动的图像（或称振动图像）.2 .图像形状：严格的理论和实

2、验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦 （或余弦）曲线.二、简谐运动的表达式及相位 .2 兀一 1 一人 一，r1 .表达式：间谐运动的表达式一般可以与成x= Asin（ 6,其中3=下，f= T，综口可信x=Asin （2p +（b）=Asin（2 ft+ 时.2.各符号的意义：A表示振动的振蝠-T和f分别表示物体振动的周期和频率.“ 2ft+ T 这个量叫做简谐运动的相位，t= 0时的相位叫做初相位,简称初犯三、简谐运动的相位差概念：指两者振动的相位之差.在实际中常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差， 数值上恰好等于它们的初相之差.琴社自学落实重卢与访探究学习*探究区一、简谐运动的

3、图像问题设计1.我们研究直线运动时，经常使用 x-1图像和v-t图像来描述物体的运动，对于简谐运动 也可以用运动图像来描述它的运动情况.甲、乙两同学合作模拟简谐运动的xt图像如图1所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO,将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从。点沿垂直于OO方向振动画线，乙同学沿O。方向水平向右匀速拖动白纸.(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的?答案(1)是一条垂直于 OO的直线.(2)轨迹如图，类似于正弦曲线.如图2所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.

4、若以振子的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是振子的位移 一时间图像.图2(1)为什么这就是振子的位移 一时间图像？(2)位移一时间图像与什么函数图像类似？答案(1)以单摆为例，当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动.所以薄板运动的距离与时间成正比.因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻振子离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.(2)与正弦(或余弦)函数图像类似.要点提炼1 .如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条上弦曲线,这样的振动叫做简谐运动，它是最简单、最基本的振动.弹簧振

5、子的运动就是简谐 运动.2 .图像的应用(1)确定位移及变化从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值,从最大位移处向平衡位置运动过程中位移减小，从平衡位置向最大位移处运动过程中位移增大.(2)确定各时刻速度的大小和方向方法一：切线斜率法.切线斜率的绝对值表示速度大小，切线斜率的正负表示速度方向.方法二：根据实际情况判断.速度的方向结合质点的实际运动方向判断.速度的大小根据位移情况判断：在平衡位置，质点速度最大；在最大位移处,质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的 过程中，速度增大.二、简谐运动的表达式及相位差问题设计1 .将两个相同的单摆

6、向同一方向拉开相同的角度，然后同时释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案 它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相 位相同，相位差为 0.2 .将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们各时刻的位移总是相反，相位差为兀.3 .正弦函数y=Asin （ w H-昉的表达式中，A、（）分别表不什么意义？答案 A代表简谐运动的振幅；3叫做简谐运动的“圆频率”，它与周期T、频率f的关系为2 7t,、一、,、一一，、I、一 一，、w= 、3 = 2 f； （ 3计4）代表间谐运

7、动的相位，（）是初相位.要点提炼对表达式x= Asin（3计（0的理解1. 式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间.2. A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅.3. 3称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期 T及频率f的关系：32.=_ = 2 Tf. T -所以表达式也可写成：一2.x=Asin 1t+ 4 或 x= Asin （2祖+昉.4. 3讣（H弋表了做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以3讣（M弋表简谐运动的相位；其中4是t = o时的相位，称为初相位或初相.相位是一个角度，单位是弧度或度.5. 相位差若两个简谐运动的

8、表达式为Xi = Aisin （3计帕，X2= A2sin （讣 物，则相位差为 A（j）=（计 也） 一（3 H-&）=出一.当A（f）= 0时，两振动质点振动步调一致.当A 4=工时，两振动质点振动步调完全相反.典例精析一、对简谐运动的图像的理解仞1】如图3所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题:(1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前 4秒内的路程是多少？解析 由题图上的信息，结合质点的振动过程可知(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值，为10 cm；(2)

9、在1.5 s后质点位移逐渐减小，因此质点是向平衡位置运动，在2.5 s后质点位移逐渐增大,因此质点是背离平衡位置运动；(3)第2秒末质点在平衡位置，因此位移为零.质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为 10 cm X 4 = 40 cm.答案见解析山2】如图4所示为某质点做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()图4A. A、B两点速度方向相同B. B、C两点速度方向相同C .从B至C速度先增大后减小D .从B至C速度先减小后增大解析 A、B在平衡位置同一侧的同一位置，速度大小相等，方向相反，A项错；B、C在平衡位置两侧，且距离平衡位置距离相等，质点先经过B后经过C,故B、C两点速度大小、方

10、向均相等，B项正确；质点在平衡位置速度最大，故质点从 B至C的过程中，速度先增大 后减小，C项正确，D项错误.答案 BC二、对简谐运动的表达式的理解H夕3】一个小球和轻质弹簧组成的系统，按X1=5sin (8疝+；兀)cm的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相.5(2)另一简谐运动表达式为X2=5sin (8疝+471) cm,求它们的相位差.解析 已知 3=8 兀 rad/s,由 w=干导 T = 4 s, f= = 4 Hz.A=5 cm , 5 = j一 5 兀(2)由 A 4= ( w H-物一(3讣 5)=取一6 得 A 4= 4 兀一 4 =兀.答案 1 s 4 Hz

11、5 cm 7 (2)兀44小 一，、， 人，一一，、八 r.，口兀兀针对训练有两个振动，其表达式分力1J是 Xi = 4sin （100疝+3） cm, X2 = 5sin （100疝+6）cm,下列说法正确的是（）A.它们的振幅相同B.它们的周期相同C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致答案 BC解析 它们的振幅分别是 4 cm、5 cm,故不同；者B是100兀rad/s,所以周期（丁=当都是；1 s；50由A（f）= （100）（100大+/）=:得相位差（为5恒定；A（K 0,即振动步调不一致. 3666j=Asin( id 1+钟=Asin(20 H甲)=Asin(2 IT /t

12、+ 勺1筒谐运动的图常公X检删学习效果休离成功快乐自我检测区1.（对简谐运动的图像的理解）关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是（）A.表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线B.由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向C.表示质点的位移随时间变化的规律D.由图像可判断任一时刻质点的速度方向答案 BCD解析 振动图像表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由图像可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确.2 .（对简谐运动的图像的理解）如图5所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（）2A .在第1 s内，质点速度逐渐增大B .在第1 s内，质点加速度逐渐增大C

13、.在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D.在第4 s内质点的动能逐渐增大E.在第4 s内质点的势能逐渐增大F.在第4 s内质点的机械能逐渐增大答案 BCD解析 在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第 4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减 小，动能增大，势能减小，但机械能守恒.兀3 .(简谐运动的表达式)物体A做简谐运动的振动位移 XA=3sin (100t+) m,物体B做简谐运 动的振动位移 xb= 5sin (100t+6)m,比较A、B的运动()A.振幅是矢量， A的振幅是6 m, B的振幅是10 mB.周

14、期是标量，A、B周期相等为100 sC. A振动的频率fA等于B振动的频率fB 兀D. A的相位始终超前 B的相位-3答案 CD解析 振幅是标量，A、B的振动范围分别是 6 m、10 m,但振幅分别为3 m、5 m, A错；A、B 的周期 T= =s= 6.28X 10 2 s, B 错；因为 Ta=Tb,故 fA= fB, C 对；A(j)=j=co 1002 6 3D对.4.(简谐运动的图像与表达式)根据如图6所示的某振子的振动图像，完成下列各题：图6(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移.t = 0.5 s； t2=1.5 s.(2)将位移随时间的变化规律写成x= Asin (3计昉的

15、形式并指出振动的初相位的大小.答案 (1)52 cm 5& cm兀 兀兀(2)x=10sin 2t + 2 cm 2解析 由题图知，x= Acos wt= 10cos 3/)cm = I0cos -2 cm，则 ti = 0.5 s 时，xi = 51f2 cm t2= 1.5 s 时，X2= 542 cm.兀 兀、，、兀(2)x = 10sin(2t + 2) cm ,初相位(f)= 2.40分钟课时作业题组一对简谐运动图像的理解i .如图i所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹B.振动图像反映的是振子位移随时间变化的

16、规律，并不是振子运动的实际轨迹C.振子在B位置的位移就是曲线 BC的长度D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向答案 BB 对,A、D错.解析 振动图像表示振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹, 错.由于图像不是质点的运动轨迹，因此切线的方向并不表示速度的方向，2.一质点做简谐运动，其位移 x与时间t的关系图像如图2所示，由图可知（）Rem图2A.质点振动的频率是 4 HzB .质点振动的振幅是 2 cmC. t = 3 s时，质点的速度最大D.在t=3 s时，质点的振幅为零答案 BC解析由题图可以直接看出振幅为2 cm,周期为4 s,所以频率为0.25 Hz ,所以选项

17、A错误,B正确.t=3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项 C正确.振幅等于质点偏离平 衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t=3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm,所以选项D错误.3.如图3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是（）ix/cm图3A.由PfQ,位移在增大B.由P-Q,速度在增大C.由M - N,位移先减小后增大D.由M-N,位移始终减小答案 AC解析 由P-Q,质点远离平衡位置运动，位移增大而速度减小，选项 A正确，B错误；由 M-N,质点先向着平衡位置运动， 经过平衡位置后又远离平衡位置运动， 因而位移先减小后 增大，选项C正确，D错误.

18、4.如图4所示为某质点做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（）图4A .质点在0.7 s时，正在远离平衡位置B.质点在1.5 s时的位移最大C. 1.2 s至IJ 1.4 s,质点的位移在增大D. 1.6 s至IJ 1.8 s,质点的位移在增大答案 BC解析 由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时正在向平衡位置运动，所以 A项错误；质点在1.5 s时的位移到达最大，故 B正确；质点在1.2 s至IJ 1.4 s 时间内，正在远离平衡位置，所以其位移在增大，故 C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正 向平衡位置运动，所以其位移在减小，故 D项错误.A.在00

19、.01 s内，速度与加速度同向B.在0.01 s0.02 s内，速度与回复力同向C.在0.025 s时，速度为正，加速度为正D.在0.04 s时，速度最大，回复力为零答案 AC解析 F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定 a的正负.在xt图像上，图线各点切 线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断 A、C正确.6 . 一个弹簧振子沿 x轴做简谐运动，取平衡位置。为x轴坐标原点.从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度.能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是（）ECD答案 A解析 根据F = kx及牛顿第二定律得 a = m= - mx,当

20、振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，其具有沿x轴负方向的最大位移，故选项 A正确，选项B、C、D错误.7 .图6甲所示为以。点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（）图6A.在t=0.2 s时，弹簧振子可能运动到 B位置8 .在t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同C.从t= 0到t= 0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D.在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 答案 A8 .如图7甲所示是一个弹簧振子的示意图，。是它的平衡位置，振子在 B、C之间做简谐运动，规定向右为正方

21、向. 图乙是它的速度 v随时间t变化的图像.下列说法中正确的是（图7A. t = 2 s时刻，它的位置在 O点左侧4 cm处B. t = 3 s时刻，它的速度方向向左，大小为 2 m/sC. t = 4 s时刻，它的加速度为方向向右的最大值D.振子在一个周期内通过的路程是答案 C16 cm题组二简谐运动表达式的应用9 .有一个弹簧振子，振幅为 0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（）A . x=8X10 3sin 4 疝+2 mB. x= 8X10 3sin 4 疝一2 m1 一3C. x= 8X10 1sin疝+2 兀 mD. x=8X10 1sin

22、 t+J m兀 2答案 A2 Tt. 一一一一 .兀斛析 W= = 4 Ttrad/s,当t=0时，具有负方向的取大加速度，则 x=A,所以初相()=万, 表达式为x=8X10 3sin 4疝+2 m, A正确. 兀一.10.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x= Asin-t,则质点()A.第1 s末与第3s末的位移相同B.第1 s末与第3s末的速度相同C. 3 s末至5 s末的位移方向都相同D. 3 s末至5 s末的速度方向都相同答案 AD.一一 TT万 27r解析 由表达式x=Asin未知，3=烹 简谐运动的周期 T=8 s.表达式对应的振动图像 4，4w如图所示.一， 工一、

23、五质点在1 s末的位移xi= AsinQX 1)=亍A一，. 兀 一 12_一一质点在3 s末的位移x3= Asin* 3) = 2A,故A正确.由刖面的计算可知t= 1 s和t=3 s质点连续通过同一位置， 故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由xt图像可知，3 s4 s内质点的位移为正值，4 s5 s内质点的位移为负值，C错误；同样由xt图像可知,在时间3 s5 s内，质点一直向负方向运动，D正确.11 .做简谐运动的小球按x= 0.05cos (2疝+兀除m的规律振动.(1)求振动的圆频率、周期、频率、振幅和初相位；(2)当t1=0.5 s、t2 = 1 s时小球的位移分别是多

24、少？答案 (1)振幅A = 0.05 m,初相位 如=”4,圆频率3= 2兀rads,周期T=1 s,频率f=1Hz（2） 0.025 72 m 0.025 求 m解析（1）根据表达式可以直接判断振幅A=0.05 m,初相位 加,圆频率3=2兀rad/s,根据公式T = -= 1 s,频率f= ：= 1 Hz.3T（2）将 ti=0.5 s、t2= 1 s 代入 x=0.05cos （2 疝+ N4） m 得 xi=0.05cos （5 4 %m = 0.025 （2 m, x2= 0.05cos （9 兀 /4m = 0.025 & m.题组三综合应用12.如图8甲所示是演示简谐运动图像的装

25、置，当漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系.板上的直线OO1代表时间轴，图乙中是两个摆中的沙在各自板上形成的曲线，若板 N1和板N2拉动的速度V1和V2的关系为V2=2V1,则板N1、N2上曲线所代表的周期 T1和T2的关系为（）甲 I 乙图8A. T2=T1 B. T2= 2T11C. T2= 4T1 D. T2=T14答案 D解析在木板上由摆动着的漏斗中漏出的沙形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的规律，即沙摆的振动图像.由于拉动木板的速度不同，所以N1、N2上两条曲线的时间轴（横轴）的单位长度代表的时间不等. 如果确定了 N

26、1、N2上两条曲线的时间轴的单位长度与时间的对应关 系后，就可以确定各条曲线代表的沙摆完成一次全振动所需的时间，即振动周期，从而可以确定、T2的关系.由题图可知，薄木板被匀速拉出的距离相同，且V2=2V1,则木板N1上时间轴单位长度代表的时间t1是木板N2上时间轴单位长度代表的时间t2的两倍，即t1 =2t2.由题图乙可知，T1 = t1,1T2=2t2,从而得出T1 = 4T2.正确选项为D.13. （2014浙江17）一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动.可把游 船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm,周期为3.0 s.当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平

27、齐.地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船.在一个周期内，游客能舒服登船的时间是（）A. 0.5 s B. 0.75 sC. 1.0 s D. 1.5 s答案 C-r 一 I一一r 一 ，_ _2 兀-斛析 由振动周期 T= 3.0 s、w= A= 20 cm知，游船做间谐运动的振动方程x= Asin cot2兀，入r ,一，r、八，一=20sin yt(cm).在一个周期内，当 x= 10 cm时，解得ti=0.25 s, t2=1.25 s.游客能舒服登船的时间 At=t2-ti= 1.0 s,选项C正确，选项 A、B、D错误.14.如图9所示为A、B两个简谐运动的位移 一

28、时间图像.试根据图像写出：Jt/em图9(1)A 的振幅是 cm,周期是 s; B的振幅是 cm,周期是 s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式.(3)在时间t= 0.05 s时两质点的位移分别是多少？答案(1)0.5 0.4 0.2 0.8 兀(2)xA=0.5sin (5 疝+ ) cm, xb= 0.2sin (2.5 td 2) cm c25(3)xa=一才 cm, xb= 0.2sin8 u cm解析 (1)由图像知：A的振幅是0.5 cm,周期是0.4 s； B的振幅是0.2 cm,周期是0.8 s. 1一,(2)由图像知：A中振动的质点从平衡位置沿正万向已振动了周期，Q

29、 TT,由T=0.4 s,得32 兀 一.一一 _ 、=-=5 &则间谐运动白表达式为xa= 0.5sin (5疝+力cm. B中振动的质点从平衡位置沿正方,.，一 ，一1 一，一冗，.12 立向已振动了 4周期，4= 2,由T= 0.8 s得3=斤=2.5朋U间谐运动的表达式为xb= 0.2sin (2.5祀+ 2) cm.将t= 0.05 s分别代入两个表达式中得：xa= 0.5sin (5 兀* 0.05 + Ti)cm = 0.5X 乎cm= ；cm, xb= 0.2sin(2.5 米 0.05+；5cm = 0.2sin)兀 2428cm.15. 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为 8

30、cm,频率为0.5 Hz,在t=0时，位移是4 cm,且 向x轴负方向运动.(1)试写出用正弦函数表示的振动方程.(2)10 s内通过的路程是多少？5答案 6x= 0.08sin (大十6 兀)m (2)160 cm解析(1)简谐运动振动方程的一般表达式为x=Asin (3讣昉.根据题给条件，有：A=0.08 m, 3=2#=兀 rad/s.所以 x= 0.08sin （疝+ 昉 m.将 t=0, x=0.04 m 代入得 0.04=0.08sin 4,解得、,一 一 5 一. 5初相位4=4或4=辰兀，因为t=0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取 ()=仄兀.666，一，一，、一5故所求的振动万程为 x= 0.08sin (疝+ 64m.1(2)周期T= f = 2 s,所以t= 5T,因一个周期内通过的路程是4A,则10 s内通过的路程s= 5X 4A= 20X8 cm =160 cm.