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1、椭圆题型归纳、知识总结1 .椭圆的定义：把平面内与两个定点Fi,F2的距离之和等于常数（大于 产产2 ）的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距 （设为2c）.2 .椭圆的标准方程:2 y b21 ( a b 0)22焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,可设方程为mx2 ny2 1（m 0, n 0）不必考虑焦点位置，求出方程。3 .范围.椭圆位于直线x= 2和y= b围成的矩形里.|x|a, |y|b0)的左右焦点分别为Fi, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan2.28.椭圆2- ab21 (ab0)的焦半径公式|M
2、Fi| a e%,|MF2| a e%( Fi( c,0) , F2(c,0) M (%, %).229. AB是椭圆今 41的不平行于对称轴的弦，M(xo, yO)为AB的中点，则 a bb22 a即Kabb2X0-2 a V。考点一 I定义及其应用例1.已知一个动圆与圆C:(x 4)2 y2 100相内切，且过点A(4,0),求这个动圆圆心M的轨迹方程；例2.如果方程X2K (y_mp- y/X(y_m)2 m 1表示椭圆，则m的取值范围是例3.过椭圆9x2 4y2 1的一个焦点Fi的直线与椭圆相交于A, B两点，则A,B两点与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长等于;例4.设圆(x
3、1)2 y2 25的圆心为C, A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M ,则点M的轨迹方 程考点二|椭圆的方程例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3倍，并且过点P(3,0),求椭P(历1)、圆的方程；例2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P2( G后,求椭圆的方程;例3.求经过点(2, 3)且与椭圆9x2 4y236有共同焦点的椭圆方程;2222注：与椭圆与 4 1共焦点的椭圆可设其方程为-2x口 1(kb2);a2 b2a2 k b2 k例1.在 ABC中，A,B,C所对的三边分别为 2,08且改1,0),C(1,
4、0),求满足b a c且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹；y2 1上任一点，求AQ的中点M的x2例2.已知x轴上一定点A(1,0) , Q为椭圆一4轨迹方程;例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A, B两点，点P是直线l上满足|PAgPB| 1的点，求点P的轨迹方程；例4.中心在原点，一焦点为F(0, J5S)的椭圆被直线y 3x 2截得的弦的中点的横坐标为-,求此椭圆的方程； 2考点三焦点三角形问题22例1.已知椭圆1上一点P的纵坐标为5 ,椭圆的上下两个焦点分别为 16 253F2、E ,求 PF1、PF2 及 cos F1PF2 ；考点四椭圆的几何性质2例1.已知P
5、是椭圆二 ay2 1上的点，的纵坐标为5,弓、F2分别为椭圆的两个b23焦点，椭圆的半焦距为c ,则PFi gPF2的最大值与最小值之差为22例2.椭圆今谷1 (a22a bb 0)的四个顶点为A,B,C,D ,若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为22例3.若椭圆上上k 142例4.若P为椭圆与 a2乌1(a b 0)上一点，Fi、F2为其两个焦点，且 b0PF1F215PF2F1750,则椭圆的离心率为考点五求范围2 例1.方程2 m2y(m 1)21表示准线平行于X轴的椭圆，求实数m的取值范围;考点六.椭圆的第二定义的应用 例1.方程2而 M (y M |x y 2所表示的
6、曲线是例2.求经过点M (1,2),以y轴为准线，离心率为-的椭圆的左顶点的轨迹方程;22例3.椭圆工25921上有一点P,它到左准线的距离等于5,那么P到右焦点的2距离为2例4.已知椭圆42匕1,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点 M, 3使它到左准线的距离为它到两焦点 F1,F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的 坐标，若不能找到，请说明理由。22例5.已知椭圆二 L 1内有一点A(1,1), E、F2分别是椭圆的左、右焦点，点 95.3P是椭圆上一点.求PA - PF2的最小值及对应的点P的坐标. 2考点七求离心率22例1.椭圆x2 11 (a b 0)的左焦点为Fi( c,0)
7、 , A( a,0) , B(0, b)是两个顶 a b点，如果Fi到直线AB的距离为b=,则椭圆的离心率,722例2.若P为椭圆与与1(a b 0)上一点，Fi、F2为其两个焦点，且 a bPF1F2,PF2F1 2 ,则椭圆的离心率为 例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1 PQ,且PF1 PQ ,则椭圆的离心率为 考点八椭圆参数方程的应用22例1.椭圆人 匕1上的点P到直线x 2y 7 0的距离最大时，点P的坐标43例2.方程x2 siny2cos1 ( 0)表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围；考点九直线与椭圆的关系(1)直线与椭圆的位置关系例2.
8、曲线2x2例1.当m为何值时，直线l：y x m与椭圆9x2 16y2 144相切、相交、相离?y2 2a2 (a 0)与连结A( 1,1), B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。例3.过点P(J3, 0)作直线l与椭圆3x2 4y2 12相交于A, B两点，。为坐标原点，求 OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线xcos ysin 2和椭圆x2 3y2 6有公共点时，的取值范围(0)。(二)弦长问题例1.已知椭圆x2 2y2 12, A是x轴正方向上的一定点，若过点 A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为43,求点A的坐标。3例2.椭圆ax2 by2 1与直线xy
9、1相交于A,B两点，C是AB的中点,若|AB| 2v2, O为坐标原点,2OC的斜率为三，求a,b的值。222例3.椭圆土 上 1的焦点分别是Fi和F2,过中心O作直线与椭圆交于A,B两点,45 20若ABF?的面积是20,求直线方程。(三)弦所在直线方程22例1.已知椭圆 1 ,过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好164是P ；2 ,一一例2.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上，其离心率e,过点C( 1,0)的直线,3l与椭圆E相交于A,B两点，且C分有向线段 雨的比为2.(1)用直线l的斜率k(k 0)表示 OAB的面积；(2)当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.22例4
10、.已知A(Xi,y)B(1,y0),C(X2,y2)是椭圆上 1上的三点,F为椭圆的左焦 43点，且AF , BF ,CF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题22例1.已知椭圆 上匕1 ,试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关43于直线y 4x m对称；例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6,离心率e 逗,试问是否 3存在直线l ,使l与椭圆交于不同两点A, B ,且线段AB恰被直线x 二平分？若2存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。考点十.最值问题例1.若P(3, f2为椭圆25MPMF2的最大值和最小值。分析
11、:欲求MP MF2的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义MF2 2a MF1,Fl为椭圆的左焦点。匕1的右焦点，点M在椭圆上移动，求 1622例2. P( 2,6)下2为椭圆 1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP MF2 2516的最大值和最小值。22例3.求定点A(a,0)到椭圆二 1 1上的点之间的最短距离 a b3.三角函数法2例4.求椭圆、y2 1上的点M(x, y)到直线l :x 2y 4的距离的最值;44.判别式法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。22例5.已知定点A( 2, 73),点F为椭圆x L 1的右焦点，点M在该椭圆上
12、移动16 12时，求AM 2 MF的最小值，并求此时点M的坐标；(第二定义的应用)22例6.已知、F2分别为椭圆1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为 100 64(2, 6), P为椭圆上的一个动点，试分别求:(1) PM55PF2的最小值;32(2) PMPF2的取值范围.考点十一I轨迹问题例1.到两定点(2,1), ( 2, 2)的距离之和为定值5的点的轨迹是 ()A .椭圆B,双曲线C .直线D .线段例2.已知点A(3,0),点P在圆x2 y2 1的上半圆周上(即y0), / AOP的平分 线交PA于Q,求点Q的轨迹方程。例3.已知圆C:(x 3)2 y2 100及点A( 3,0) , P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。题型十二.椭圆与数形结合例1.关于x的方程6 2x2 kx 2k 0有两个不相等的实数解，求实数k的取值 范围.精选