《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1201.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1201.wps（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、22 导数的概念及其几何意义 对应学生用书P36 导数的概念 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在关系 h(t)4.9t2 6.5t10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度 v，通过平均速度 v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般 不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度 问题 1：怎么求运动员在 t0时刻的瞬时速度？ 提示：先求运动员在(t0，t0t)间平均速度 v，当 t趋于 0 时，平均速度就趋于运 动员在 t0时刻的瞬时速度 问题 2：当 x趋于 0 时，函数 f(x)在(x0，x0x)上的平均变化率即为函数
2、f(x)在 x0 处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？ 提 示：当 x趋于 0 时，x0x就无限接近于点 x0，这样(x0，x0x)上的平均变化率 就可以看作点 x0处的瞬时变化率 问题 3：函数 f(x)在 x0点的瞬时变化率叫什么？ 提示：函数 f(x)在 x0点的导数 导数的定义 函数 yf(x)在 x0点的瞬时变化率是函数 yf(x)在 x0点的导数用符号 f ( x0)表示， 记作： fx1fx0 fx0xfx0 f(x0)lix m li m . 1x0 x1x0 x x0 导数的几何意义 在函数 yf(x)的图像上任取两点 A(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x) 1 f
3、x1xfx1 问题 1： 是函数 f(x)在(x1，x1x)上的平均变化率，有什么几 x 何意义？ 提示：函数 yf(x)图像上 A，B两点连线的斜率 问题 2：x趋于 0 时，函数 yf(x)在(x1，x1x)上的平均变化率即为函数 yf(x) 在 x1点的瞬时变化率，能否看成函数 yf(x)在(x1，f(x1)处的切线斜率？ 提示：能 问题 3：函数 yf(x)在 x0处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数 yf(x)图像上点(x0，f(x0)处的切线斜率 导数的几何意义 函数 yf(x)在 x0处的导数，是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 1函数 yf(x)在某点处的
4、瞬时变化率就是函数在该点处的导数 2导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率 对应学生用书P37 导数的概念及应用 x x 例 1 建造一栋面积为 x平方米的房屋需要成本 y万元，y是 x的函数，yf(x) 10 10 0.3，求 f(100)，并解释它的实际意义 思路点拨 函数yfx在x 导数的定义 100处的瞬时变化率 解释f100的意义 精解详析 当 x从 100 变为 100x时，函数值 y关于 x的平均变化率为 f100xf100 x 100x 100x3100 1003 10x 1 1 10 10 100x10 当 x趋于 100 时，即 x趋于 0 时，平均变化率趋于 0.10
5、5，即 f(100)0.105， f(100)0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的速度为 1 050 元/平方米， 2 也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每增加 1 平方米的建筑面积，成本就要增加 1 050 元 一点通 利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 第一步，求函数的增加量 yf(x0x)f(x0)； y fx0xfx0 第二步，求平均变化率： ； x x y 第三步，求 f(x0)lxim0 . x 1.已知函数 yf(x)的图像如图所示，设函数 yf(x)从1 到 1 的平均变化率为 v1，从 1 到 2 的平均变化率为 v2，则 v1与 v2的大小
6、 关系为( ) Av1v2 Bv1v2 Cv1v2 D不能确定 y1 y2 解析：记 v1 tan 1，v2 tan 2，易知 12，所以 v1v2. x1 x2 答案：C 2已知函数 f(x)x21，则 f(1)_. 解析：yf(1x)f(1)(1x)211212x(x)2， y 2xx2 2x， x x y f(1) lim lim (2x)2. x0 x0 x 答案：2 3一个物体的运动方程为 s1tt2，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 s，求物体在 3 s 末的瞬时速度 解：物体在 3 s 末的瞬时速度，即求物体在 t3 时的导数 s f3tf3 t t 13t3t21332 t
7、 t25t t5， t 函数在 t3 处的瞬时速度为 3 s s(3) lim lim (t5)5， t x0 x0 即物体在 3 s 末的瞬时速度为 5 m/s. 求曲线的切线方程 2 例 2 求曲线 f(x) 在点(2，1)处的切线方程 x 2 思路点拨 函数 f(x) 在 x2 时的导数即为点(2，1)处切线的斜率，故可先 x 求 f(2)，再求曲线的切线方程 精解详析 由导数的几何意义，曲线在点(2，1)处的切线的斜率就等于函数 f(x) 2 在点(2，1)处的导数 x 而 f(2) lim x0 f2xf2 x 2 1 2x 1 1 lim lim ，故曲线在点(2，1)处的切线方程
8、为 y x0 x0 x 2x 2 1 1 (x2)，整理得 x2y40. 2 一点通 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0) 4曲线 yx2x1 在点(1,1)处切线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 4 3 6 2 解析：f(1) lim x0 f1xf1 x lim x0 1x21x11211 x lim x0 xx2 x lim (1x)1，设切线的倾斜角为 ，则 tan 1， x0 . 4 答案：A 4 1 5求曲线 y x2在点 Q(2,1)处
9、的切线方程 4 1 1 2x2 4 4 4 1 解：f(2) lim x1)1， lxim0 ( x0 x 4 过点(2,1)的切线方程为：y11(x2)，即 xy10. 求切点坐标 例 3 直线 l：yxa(a0)和曲线 C：yf(x)x3x21 相切，求 a的值及切点的 坐标 思路点拨 由导数的几何意义，切点处的切线为 l：yxa，可建立切线斜率的一个 方程，从而求解切点坐标及 a. 精解详析 设直线 l与曲线 C相切于 P(x0，y0)点 f(x0)lxim0 fx0xfx0 x lim x0 x0x3x0x21x30x201 x 3x202x0. 1 由题意知，3x202x01，解得
10、x0 或 x01. 3 1 23 于是切点的坐标为( 27)或(1,1) ， 3 1 23 23 1 32 当切点为( 时， a，a ； 27) ， 3 27 3 27 当切点为(1,1)时，11a，a0(舍去) 32 1 23 a的值为27，切点坐标为( ，27). 3 一点通 求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知 斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标 6抛物线 yx2上某点处的切线平行于直线 y4x1，则切点坐标为_ 解析：设切点为(x0，x20)， x0x2x20 则 f(x0)lxim0 (2x0x
11、)2x0， lim x0 x 2x04，x02，切点为(2,4) 答案：(2,4) 5 7若曲线 yx2x3 的一条切线与直线 yx1 垂直，求切点坐标 解：设切点为(x0，y0)，则 f(x0)即为切线的斜率 f(x0)lxim0 x0x2x0x3x20x03 x lim x0 2x01xx2 x lxim0 (2x01)x2x01. 即切线斜率 k2x01，又切线与直线 yx1 垂直， 2x011，x00，y03. 故切点为(0,3) 8求过点(0，1)且与 yx2相切的直线方程 解：(0，1)不在曲线 yx2上，故(0，1)不是切点 设切点为(x0，x20)，则 f(x0)lxim0 f
12、x0xfx0 x lxim0 (x2x0)2x0，故切线的斜率 k2x0. x201 又切线过点(0，1)k ， x0 x201 则 2x0 ，解得 x01， x0 当 x01 时，k2，切线方程为 y2x1， 即 2xy10. 当 x01 时，k2，切线方程为 y2x1， 即 2xy10. 函数 yf(x)在 x0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注 意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点， 点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点 十二对应课时跟踪训练十二 f1xf1 1若函数
13、yf(x)在 x1 处的导数为 1，则 lim 等于( ) x0 x A2 B1 1 1 C. D. 2 4 6 f1xf1 解析： lim f(1)1. x0 x 答案：B 2设函数 f(x)axb，若 f(1)f(1)2，则 f(2)等于( ) A1 B2 C4 D6 解析：可得 f(1) lim x0 f1xf1 x a1xbab ax lim lim a， x0 x0 x x 又 f(1)2，得 a2，而 f(1)2，故 ab2，即 b0， 所以 f(x)2x，有 f(2)4. 答案：C 3.已知函数 yf(x)的图像如图所示，则 f(xA)与 f(xB)的大小 关系是( ) Af(x
14、A)f(xB) Bf(xA)f(xB) Cf(xA)f(xB) D不能确定 解析：f(xA)与 f(xB)分别为 A，B 处切线的斜率，设 A，B 处切线的倾斜角分别为 ， ，则 . 2 tan tan 即 f(xA)f(xB) 答案：B 2 4已知曲线 f(x) 和点 M(1，2)，则曲线在点 M 处的切线方程为( ) x Ay2x4 By2x4 Cy2x4 Dy2x4 2 2 y 1x 1 2 解析： ， x x 1x 当 x0 时，f(1)2，即 k2. 直线方程为 y22(x1)，即 y2x4. 答案：C 5若函数 yf(x)在点(4,3)处的切线与直线 x2y10 平行，则 f(4)
15、_. 1 1 解析：因为直线 x2y10 的斜率 k ，所以 f(4) . 2 2 7 1 答案： 2 6一运动物体的运动方程为 s(t)3tt2(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体的初 速度是_ 解析：物体的初速度即为 t0 时的瞬时速度， s0ts0 s(0) lim lim (3t)3. t t0 t0 答案：3 7已知函数 f(x)Error!求 f(1)f(1)的值 y f1xf1 解：当 x1 时， x x 1x1 x 1 . 1 x1 1 1 由导数的定义，得 f(1) lim . x0 1x1 2 y f1xf1 当 x1 时， x x 1 1x21 12 x2. x 由导数的定义，得 f(1) lim (x2)2. x0 1 所以 f(1)f(1) (2)1. 2 8求曲线 yx3在点(1,1)处的切线方程 解：设点(1,1)处的切线斜率为 k，则 kf(1) lim x0 f1xf1 x lim x0 3x3x2x3 x lim 33x(x)23， x0 点(1,1)处的切线方程为 y13(x1)， 即 3xy20. 8