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1、课时跟踪检测（五） 正弦定理、余弦定理的应用 层级一 学业水平达标 1一只蚂蚁沿东北方向爬行 x cm后，再向右转 105爬行 20 cm，又向右转 135，这样 继续爬行可回到出发点处，那么 x_. x 20 20 6 解析：由正弦定理得 ，x . sin ACB sin A 3 20 6 答案： 3 2一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则 经过 3 h，则船实际航程为_ km. 解析：如图所示，在ACD 中，AC2 3，CD4 3，ACD60， 1 AD2124822 34 3 36. 2 AD6.即该船实际航程为 6 km. 答案
2、：6 3从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30，看正南方向一只船俯角为 45，则此时两船间的距离为_米 解析：如图所示，BC 3h，ACh，AB 3h2h22h. 答案：2h 4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点， 在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及 甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 米，则电视塔在这次测量中的高度是 _米 解析：由题意画出示意图， 设高 ABh，在 RtABC 中，由已知 BCh，在 RtABD 中，由已 知 BD 3h，在BCD中，由余弦定理BD2
3、BC2CD22BCCDcosBCD得 3h2h25002h500， 解之得 h500(米) 答案：500 5.如图，为测量一棵树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得树尖的仰 1 角为 30，45，且 A，B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为_m. 解析：由正弦定理，得 60 PB ， sin4530 sin 30 1 60 2 30 PB . sin 15 sin 15 30 hPBsin 45 sin 45(3030 3)m. sin 15 答案：(3030 3) 6一船以 22 6 km/h的速度向正北航行，在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45，1 小时
4、 30 分后航行到 B 处，在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15，则灯塔 S 与 B 之间的距离为_km. 3 解析：如图，ASB1801545120，AB22 6 2 6， 33 33 6 SB 由正弦定理，得 ， sin 120 sin 45 SB66(km) 答案：66 7.一角槽的横断面如图所示四，边形ABED是矩形已，知DAC50， CBE70，AC90，BC150，则 DE_. 解由： 析题 意知 ACB120在， ACB 中由 ，余 弦定 理得 ，AB2AC2BC2 1 2ACBCcosACB9021502290150(2 )44 100. AB210，DE210. 答案：2
5、10 8线段 AB 外有一点 C，ABC60，AB200 km，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶， 同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B向 C行驶，则运动开始_ h 后，两车的距离 最 小 解析：如图所示，设 t h 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托车由 B 行 驶 到 E，则 AD80t，BE50t.因为 AB200，所 以 BD20080t，问题就 是 求 DE 最小时 t 的值由 余 弦定D：理E2BD2BE22BDBEcos 60(200 70 80t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t 时，DE最小 43 7
6、0 答案： 43 2 9某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60相距 20( 31)海里的 海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2 海里的速度沿某一方向匀速直 线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 31)小时后开始持续影响基地 2 小时求 台风移动的方向 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C， 基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD20，AC20. 由题意 AB20( 31)，DC20 2， BC( 31)10 210( 6 2) 在ADC 中，因为 DC2AD2AC2， 所以DAC9
7、0，ADC45. 在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB2BC2 3 cosBAC . 2ACAB 2 所以BAC30，又因为 B 位于 A 南偏东 60， 603090180，所以点 D 位于 A 的正北方向， 又因为ADC45， 所以台风移动的方向为北偏西 45. 10.如图，测量人员沿直线 MNP 的方向测量，测得塔顶 A 的仰 角分 别是AMB30，ANB45，APB60，且 MNPN500 m，求 塔高 AB. 解：设 ABx，AB 垂直于地面， ABM，ABN，ABP 均为直角三角形 x x BM 3x，BN x. tan 30 tan 45 x 3 BP x. tan 60 3
8、在MNB 中，由余弦定理 BM2MN2BN22MNBNcosMNB， 在PNB 中，由余弦定理 BP2NP2BN22NPBNcosPNB， 又MNB 与PNB 互补，MNNP500， 3x2250 000x22500xcosMNB， 3 1 x2250 000x22500xcosPNB， 3 10 ，得 x2500 0002x2， 3 x250 6或 x250 6(舍去) 所以塔高为 250 6 m. 层级二 应试能力达标 1一船以 24 km/h的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30方向 上，15 min后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 65方向上，则船在点 B
9、 时与灯塔 S 的距离是 _ km.(精确到 0.1 km) 解析：作出示意图如图 15 6 由题意知，AB24 6，ASB35，由正弦定理 60 sin 35 BS ，可得 BS5.2(km) sin 30 答案：5.2 2已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km，B 船在灯塔 C 北偏 西 40处，A，B 两船间的距离为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为_ km. 解析：如图，由题意可得， ACB120，AC2，AB3.设 BCx，则由余弦定理可得： AB2 BC2 AC2 2BCACcos 120， 即 32 x2 22 22xcos 12
10、0， 整理得 x22x5，解得 x 61. 答案： 61 3.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从 A 点出发沿正北方 向 行进 x m 到达 B 处发现生命迹象然，后向右转 105行， 进 10 m 到达 C 处 发 现另一生命迹象这，时它向右转 135回到出发点，那么 x_. 解析：由题图，知 ABx，ABC18010575，BCA x 180 135 45， BC 10， BAC 180 75 45 60， sin 45 10 10sin 45 10 6 ，x . sin 60 sin 60 3 10 6 答案： 3 4一船向正北航行，看见正西方向有相距 10海里的两个灯塔恰好与它在一
11、条直线上，继 续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西 75方向，则 这只船的速度是_海里/小时 4 解析： 如 图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA 5 15，从而 CDCA10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB5，于是这只船的速度是 10海 0.5 里/小时 答案：10 5.如图所示，在山底 A 处测得山顶 B 的仰角CAB45，沿倾斜角为 30的山坡向山顶走 1 000 m 到达 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则 山 高 BC 为_ m. 解析：SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30， 2 1 000 ASsin
12、135 2 在ABS 中，AB 1 000 2，BCABsin 451 000 2 sin 30 1 2 2 2 1 000(m) 答案：1 000 6.如图，从气球 A 上测得其正前下方的河流两岸 B，C 的俯角 分 别 为 75，30，此时气球的高度 AD 是 60 m，则河流的宽度 BC 是 _ m. 解析：由题意知，在 RtADC 中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC 中，BAC ACsinBAC 753045，ABC18075105， 由正弦定理，得 BC sinABC 2 120 2 120( 31)(m) 6 2 4 答案：120( 31) 7.在一次海上联合作战演习
13、中，红方一艘侦察艇发现在北 偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上有，蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile的速度 沿， 北偏 东 45 方向拦截蓝方的小艇若，要在最短的 时间 内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 解：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇， 则 AC14x，BC10x， 5 ABC120.根据余弦定理得 (14x)2122(10x)2240xcos 120， 解得 x2.故 AC28，BC20. BC AC 根据正弦定理得 ， sin sin 120 20sin 120 5 3 解得 sin . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为 . 14 8.在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD10，AB14，BDA 60， BCD135，求 BC 的长 解：在ABD 中，设 BDx， 由余弦定理，得 BA2BD2AD22BDADcosBDA， 即 142x2102210xcos 60， 整理得：x210x960， 解得 x116，x26(舍去)， 由 ADCD，BDA60，知CDB30， BC BD 由正弦定理，得 ， sinCDB sinBCD 16 BC sin 308 2. sin 135 6