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1、2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理学案 苏教版选修2-13.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理 学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用. 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 梳理 (1)在空间，把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_
2、. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，向量a的起点是A，终点?是B，则向量a也可记作AB，其模记为_. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做_，记为0 单位向量 _的向量称为单位向量 与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，相反向量 记为,a 方向_且模_的向量称为相等向量，_且相等向量 _的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二 空间向量及其线性运算 1.空间向量的线性运算 ?已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作OA,a，OB,b，AB,c，与平面向量的运算一样，1 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: ?OB,OA，
3、AB,_; ?BA,OA,OB,_,_. ?若在直线上，则,_(?R). POAOP2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律: ?a，b,_; ?(a，b)，c,_; ?(a，b),_(?R). 知识点三 共线向量(或平行向量) 1.定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量a与b平行，记作_，规定_与任意向量共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个向量a，b(a?0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使_. 知识点四 共面向量及共面向量定理 当思考1a，b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗, 思考2 向量a，b，c共面，表示三个向量的
4、有向线段所在的直线都共面吗, 梳理 共面向量及共面向量定理 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充共面向量定理 要条件是存在有序实数组(x，y)，使得_ 2 类型一 空间向量的概念及应用 例1 如图所示，以长方体ABCD,ABCD的八个顶点的两点为始点和终点的向量中: 1111?(1)试写出与AB相等的所有向量; ?(2)试写出AA的相反向量; 1?(3)若AB,AD,2，AA,1，求向量AC的模. 11引申探究 如图，在长方体ABCD,ABCD中，AB,3，AD,2，AA,1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中: ?单位
5、向量共有多少个, ?试写出模为5的所有向量; ?试写出与向量AB相等的所有向量; ?试写出向量AA的所有相反向量. 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. 跟踪训练1 给出以下结论: ?两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同;?若空间向量a，b满足|a|,|b|，3 ?则a,b;?在正方体ABCD,ABCD中，必有AC,AC;?若空间向量m，n，p满足m,n，n111111,p，则m,p.其中不正确的命题的序号为_. 类型二 空间向量的线性运算
6、 例2 如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. ?(1)AA,CB; ?(2)AA，AB，BC. 引申探究 ?利用例2题图，化简AA，AB，BC，CA. 反思与感悟 化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止. 首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量;若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0. ?跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证:AC，AB，AD,2AC. 4 类型三 向量共线定理的理解与应用 ?例3 如图所示
7、，在正方体ABCD,ABCD中，E在AD上，且AE,2ED，F在对角线AC1111111112?上，且AF,FC. 13求证:E，F，B三点共线. 反思与感悟 (1)判定共线:判定两向量a，b(b?0)是否共线，即判断是否存在实数，使a,b. (2)求解参数:已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a?b，则a,b(?R). (3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线: ?是否存在实数，使PA,PB; ?对空间任意一点O，是否有OP,OA，tAB; ?对空间任意一点O，是否有OP,xOA，yOB(x，y,1). ?跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，
8、用AB，CD表示向量?. EF类型四 共面向量定理及应用 例4 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，5 F，G，H分别为?PAB，?PBC，?PCD，?PDA的重心，应用向量共面定理证明:E，F，G，H四点共面. 引申探究 ?本例中增加以下条件:若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证:OM，PD，BC共面. 反思与感悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. 111?跟踪训练4 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足
9、OM,OA，OB，OC，判断MA，333?MB，MC三个向量是否共面. 1.在正方体ABCD-ABCD中，已知下列各式: 1111?(AB，BC)，CC;?(AA，AD)，DC;?(AB，BB)，BC;?(AA，AB)，BC.其中运算11111111111111?的结果为AC的有_个. 16 ?2.化简2AB，2BC，3CD，3DA，AC,_. ?3.设e，e是平面内不共线的向量，已知AB,2e，ke，CB,e，3e，CD,2e,e，若A，B，12121212D三点共线，则k,_. 4.以下命题: ?两个共线向量是指在同一直线上的两个向量; ?共线的两个向量互相平行; ?共面的三个向量是指在同
10、一平面内的三个向量; ?共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是_. 5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面. ?(1)，,;(2),4,. OBOM3OPOAOPOAOBOM1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 2.证明空间向量共面或四点共面的方法
11、(1)利用共面向量证明. ?(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有OP,xOA，yOB，zOC，且x，y，z,1成立，则P，A，B，C四点共面. (3)用平面:寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行. 7 答案精析 问题导学 知识点一 思考 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. 梳理 (1)大小 方向 长度 模 长度 ?|a|或|AB| (2)零向量 模为1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 知识点二 1.a，c a,b ,c a 2.?b，a ?a，(b，c) ?a，b 知识点三 1.平行 重合 a?b 零向量 2.b,a 知识点四 思考1 不成立.当p与a
12、，b都共线时，存在不惟一的实数组(x，y)使p,xa，yb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使p,xa，yb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立. 思考2 不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. 梳理 p,xa，yb 题型探究 ?相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个. 例1 解 (1)与向量ABABDCDC1111?(2)向量AA的相反向量为AA，BB，CC，DD. 11111?222|,| (3)|ACAB，|AD，|AA11222,2，2，1,9,3. 引申探究 ?解 ?由于长方
13、体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA，AA，BB，BB，CC，?CC，DD，DD，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. ?由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD，DA，AD，8 ?DA，BC，CB，BC，CB. ?与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有AB，DC及DC. ?向量AA的相反向量有AA，BB，CC，DD. 跟踪训练1 ? ?例2 (1)AD. ?.(2)AC ?向量AD、AC如图所示. 引申探究 0. 跟踪训练2 证明 ?平行六面体的六个面均为平行四边形， ?AC,AB，AD，AB,AB，AA， ?AD,AD，AA
14、， ?AC，AB，AD ?,(AB，AD)，(AB，AA)， ?(AD，AA) ?,2(AB，AD，AA). ?又?AA,CC，AD,BC， ?AB，AD，AA,AB，BC，CC ?,AC，CC,AC. ?AC，AB，AD,2AC. ?例3 解 设AB,a，AD,b，AA,c， 12?因为AE,2ED，AF,FC， 111322?所以AE,AD，AF,AC， 111113522?所以AE,AD,b， 1339 2?AF,(AC,AA) 1152?,(AB，AD,AA) 15222,a，b,c. 555242?所以EF,AF,AE,a,b,c 11515522,(a,b,c). 5322?又EB
15、,EA，AA，AB,b,c，a,a,b,c， 11332?所以EF,EB， 5?与有公共点又因为EFEBE， 所以E，F，B三点共线. 11?跟踪训练3 EF,AB,CD. 22例4 证明 分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示， 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R为所在边的中点， 22?顺次连结M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有PE,PM，PF,PN， 3322?PG,PQ，PH,PR. 33因为MNQR为平行四边形， ?所以EG,PG,PE 222?,PQ,PM,MQ 3332?,(MN，MR) 310 22?,(PN,PM)，
16、(PR,PM) 33233233?,(PF,PE)，(PH,PE) 322322?,，.EFEH 所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面. 引申探究 证明 取CD的中点N，连结ON，NM， 因为M，N分别是PC，CD的中点， 1所以PD?MN，MN,PD， 2推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。?所以, NM11.弧长及扇形的面积1?,PD， 21?同理可得NO,BC， 27、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。?又因为OM,NM,NO， 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.11?所
17、以OM,PD，BC， 22(一)数与代数?所以OM，PD，BC共面. 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。?跟踪训练4 MA，MB，MC三个向量共面 当堂训练 1.4 2.0 3.,8 4.? 第一章 直角三角形边的关系?5.解 (1)原式可变形为OB,3OP,OA,OM. ?3，(,1)，(,1),1， 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。?点B与点P，A，M共面， 64.24.8生活中的数3 P30-35即点P与点A，B，M共面. ?(2)原式为OP,4OA,OB,OM. ?4，(,1)，(,1),2?1， 11 ?点P与点A，B，M不共面. 函数的增减性：12