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1、中点四边形的探究及应用一、中点四边形的定义EGABDCF H 图1我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。如图1:点E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。二、中点四边形的分类及探究GABDCEFH图2由于四分形分为平行平行四边形和梯形两类，而平行四边形又有矩形、菱形和正方形之分，梯形又有等腰梯形和直角梯形之分，所以，中点四边形的形状必定是由以上各种四边形的形状决定的1、任意四边形的中点四边形的形状如图2:点E、F、G、H是任意四边形ABCD各边的中点，那么四边形EFGH是什么四边形呢？不难发现，我们连接AC（或BD），不
2、妨连接AC吧，使用三角形的中位线定理，很容易证得四边形EFGH是平行四边形。图3ABCDEFGH2、平行四边形的中点四边形的形状如图3:由上面的方法可知 ABCD 的中点四边形EFGH肯定是平行四边形由于平行四边形的对角线不互相垂直，F图4ADCBEGH所以它的中点四边形只能是平形四边形，不可能是矩形或菱形。我们连接AC（或BD），不妨连接AC吧，使用三角形的中位线定理，很容易证得四边形EFGH是平行四边形。 3、矩形的中点四边形的形状 如图4:连结AC和BD，由于矩形的对角线 ACBD ，所以由三角形的中位线定理可知，很容易证得平行四边形EFGH的一组邻边相等，所以矩形的中点四边形是菱形。A
3、BCDEFGH 4、菱形的中点四边形的形状 如图5:连结任意一条对角线，M不妨连结BD。四边形ABCD是菱形 Q图5土AB=BC又F、G是AB、BC的中点BFBGBFG是等腰三角形 又BD平分ABCBMFG 又EFBD BMFEFM90图6ABCDEFGH四边形EFGH是矩形。5、正方形的中点四边形的形状如图6:由于四边形ABCD是正方形，E、F、G、H是各边的中点，很容易证得FGFEEHHG和GFEFEHEHGHGF90所以正方形ABCD的中点四边形也是正方形。 6、任意梯形和直角梯形的中点四边形的形状图77FADBCEGH 如图7、8:连结对角线AC，由三角形的中们线定理可知四边形EFGH
4、是平等的四边形，不再嗷述。图8ACDBEGHF78ABCDEFHG图999910109 7、等腰梯形的中点四边形的形状 如图9:连结对角线AC和BD，由于梯形ABCD是等腰梯形，所以对角线ACBD，由三角形中位线定理可知EFEH，所以四边形EFGH是菱形，所以等腰梯形的中点四边形是菱形。以上图形的中点四边形利用信息技术工具，能够更方便地看到它们的动态变化，还有助于学生发现结论，节约了探究时间，达到有效教学的目的。三、中点四边形的应用1、如图10:E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，连结EF、FG、GH、HE。求证:四边形EFGH是平行四边形GABDCFEH图10如果对角线AC5，BD9，
5、求中点四边形EFGH的周长。证明:E、F是ABD中AB、AD边的中点EF是ABD的中位线EFBD 同理HGBDEFGH解:由三角形的中位线定理知EFBD ，EHAC得EFFHBDAC2（EFEH）2（BDAC）C EFGHBDAC5914即中点四边形EFGH的周长是14。由此发现:中点四边形的周长等于原四边形两条对角线长的和。2、四边形的面积与它的中点四边形的面积的关系。如图11:四边形ABCD的面积为S，则它的中点四边形的面积是多少？不妨连结对角线BD，分别过A作AMBD交EF于R，CNBD交HG于Q，则:SABDBDAM由中位线定理可知:BD2EFBDCEHGR图11QMNA由平行线等分线
6、段定理可知:FAM2RMSABDBDAM 2EF2RM 2EFRM同理:SCBD2HGQN得SABDSCBD2EFRM2HGQN又EFHGS四边形ABCD2EF（RMQN） RMQN即为四边形EFGH的高S四边形ABCD2 S四边形EFGH由此可知：四边形的面积是它的中点四边形的面积的2倍。不难发现，当四边形的面积是S，它的第一个中点四边形的面积是S，第二个中点四边形的面积即为S，第n个中点四边形的面积为SnS（n的整数）。QPRTEGABDCFH图12例：如图12，四边形ABCD是校园内一块四边形空地，把它设计划分成多块，种上各种花，、分别是各边的中点，四边形RQPT种红花，它的四角上的三角
7、形种黄花，外围四边形的四个角的三角形种紫花。已知红、黄、此三种花的单价分别为元m2，10元m2，1元m2，而种红花已用去120元，计算种满四边形ABCD这块空地需要多少元？解：由红花的单价元m2和种红花用去的120元可求得四边形RQPT120815（m2）由上面中点四边形的面积知识可知四边形EFGH2四边形RQPT21530（m2）四边形EFGH四个角的面积是301515（m2）外围四边形的四个角的面积是2四边形EFGH四边形EFGH即2303030（m2）种满这块空地需要的钱30121015158630（元）由此可见，只要我们认真重视课题的学习，不但达到了对知识的全面复习，而且还培养了学生思考、探究、分析、归纳能力，同时对我们解题也会收到很好的效果，这样才能真正体现有效教学。参考文献：1八年级数学下册，人民教育出版社，左怀玲2011.112. 倍速课时学练，北京光明出版社，刘增丽2013.13. 有效教学，东北师范大学出版社，彭小虎2007.8