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1、Ayr- 弟二早不等式103.1 不等关系与不等式学习目标核心素养1.了解/、等式的性质（重点）.2,能用/、等式（组）表示实际问 题中的不等关系（难点）.通过学习用不等式表示不等关系、 比较 两数（式）的大小及不等式的性质，培养 学生的逻辑推理素养.自主预习01新加zizf 11 jvi -Xi r-AixirZF 11|_新知初探1 .不等符号与不等关系的表示（1）不等符号有,4学；（2）不等关系用不等式来表示.2 .不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于思考：不等式ab和a& b有怎样的含义？提示不等式ab应读作：“a大于或等于b”，其含义是ab或
2、a=b,等价于“a不小于b，即若ab或a= b中有一个正确，则a b正确.不等式a&b应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b，即若a0,所以 x2+12x.4.不等式的性质名称式子表达性质1（对称性）ab? bb, bc? ac性质3（可加性）ab? a+ cb+c推论a+bc? acb性质4（可乘性）ab, c0? acbcab, c0? acb, cd? a+cb+d性质6 （不等式同向正数口乘性）ab0, cd0? acbd性质7（乘力性）ab0? anbn(n N , n 1)性质8（开方性）ab0? nanb(n N, n2)思考：关于不等式的性质，下列
3、结论中正确的有哪些?(1)ab 且 cd,贝 a cb d.（2）ab,贝U acbc.a bab0,且 cd0 贝外（4）ab0,则 anbn.a b（5）ab,则;2耳 c c提示对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质(1)中例如53且41时，则5 431是错的,故错.(2)中当c00时，不成立.(3)中例如53且41,则53是错的，故(3)错.(4)中对n00均不成立，例如a= 3, b=2, n=1,则3-12-1显然错，故 (4)错.(5)因为&0,所以a C2吗， 故(5)正确.因此正确的结论有(5).初试身基I1 .大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通
4、过该桥，应 使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A. T40C. T40C 限重就是不超过,可以直接建立不等式Tb, cd,且 cdw0,贝()A. adbcB. acbcC. a-cbdD. a+cb+dD a, b, c, d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未 必是同向不等式，排除C项，故选D项.3.设 m= 2a2 + 2a+1, n = (a+1)2,则 m, n 的大小关系是.m n mn = 2a2 + 2a+1 (a+1)2= a20.4,若110,则下列不等式：a+b|b|;ab中，正确的不等 a b式有个.1 由10,得 a0, b0,故 a+b0
5、,所以 a+bab,即正确； a u由11 b，两边同乘|ab|,得|b|a|,故错误；由知|b|a|，a0, a b a bbb,故错误.合作探究提素养%类型1用不等式表示不等关系【例1】 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m, 要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不 等关系.解由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0110,一 x _即 x 15-2 110,0x110.知律方法1 .此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系.2 .当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它
6、们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可.3 .用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少 于等.4 2)适当的设未知数表示变量.5 3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.II。跟踪训埴,1 .某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则x+ y 9,x+y360,5x+4y30,0x
7、4, xC N,0x4, x N,0y7, y N ,0 y0, Vab0, (VaVb)20,（衽）2（F+Vb）0,当且仅当a=b时等号成立.,东+ ajg+Vb（当且仅当a=b时取等号）.法二：（作商法(.b) 3+ ( .a) 3、ab ( . a+ . b)(g+延)(a+bVab)a+b VabA/ab (g+缶)(3市 2 + Vab,；ab(Ja-Jb) 2二 ?1,当且仅当a=b时取等号.ab打0,能+加0*+ abb Va+Vb(当且仅当a=b时取等号).a b 22 b2法三：(平方后作差): 赤+ja = +2Vab, (Va+Vb)2 = a+ b+2Vab,谒+卷-
8、(g+W=(a+ b) ( ab) 2ab,.a0, b0,(a+b) (ab)ab2-0,又是十/6 0+衽，故充+金方Ma+Jb(当且仅当a=b时取等号).1 .作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差一变形一定号一结论.(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；对数与指数的运算性质;分母或分子有理化；分类讨论.2 .如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1, 等于1,还是小于1.颔跟踪训练,3 .已知x1,比较x31与2x2 2x的大小.解(x3-1)-(2x2-2x)二(x 1)(x2+x+1)-2x(x-1)二 (x 1)(x2-x+1)2
9、 x 1+3.因为x1,所以x- 10，所以(x1) x1 +30.2十4所以 x3-12x2-2x.、类M3不等式性质的应用探究问题1 .小明同学做题时进行如下变形：.2b3,.111,3b25又 6a8,a 一2 4. b你认为正确吗？为什么？提示不正确.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数,不等号方向改变,在本题中只知道一6a8.不明确a值的正111,负.故不能将111与一6a8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式 3 b 2才能分别相乘.2 .由6a8, -4b2,两边分别相减得2ab6,你认为正确吗？提示不正确.因为同向不等式具有可加性与可乘性. 但
10、不能相减或相除，而不可随意“创造”解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形 性质.3 .你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？.2a-b4,4ba 2.又 = -2a+b2,. 0a3, -3b0, .3a+b3.这怎么与一2a+b2矛盾了呢？提示利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式 两边可以相加（相乘），这种转化不是等价变形.本题中将2ab4与2a+b2 两边相加得0a3,又将4ba 2与2a+b2两边相加得出3Vb0, 又将该式与0a3两边相加得出3a+bab0,求证： ab-. ca cb思路探究：如何证明CC?由CC怎样得到专ab0, . c a0, c b
11、0.ab0? 11 c c由ab? a0c a c b? a 0? a bc- b0c a cba0b0姆题探究1 .（变条件，变结论）将例题中的条件Cab0”变为“ab0, cb.、一，1证明因为ab0,所以ab0, ab0.于是ax套bxab，即器由2得同2 .(变条件，变结论)将例题中的条件cab0”变为“已知6a8,2b3 a.如何求出2a+b, ab及b的取值沱围.解 因为6a8, 2b3,所以122a16,一,一一 1 1 1所以102a+ b19.又因为3 b 2,所以9a b6.又3b2，a当 00a8 时，0b4;一一. a当6a0 时，3a0.由(1)(2)得一3bb及cd
12、,推不出acbd；由ab, 推不出a2b2等.准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.I课堂小结.口1 .比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了.ab0? ab； a b=0? a=b； a b0? a 2的含义是指x不小于2.()若ab,贝U acbc一定成立.()(4)若 a+cb+d,贝 ab, cd.()答案，x x提示(1)正确.不等式x2表示x2或x=2,即x不小于2.(2)正确.不等式a&b表示ab或a=b.故若ab,则acbc不一定成立.(4)错误.取 a=4, c=5, b=6, d= 2.满足 a+cb+d,但不满足 ab.2 .某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x不低于95分，文化课总 分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为 .x 95y380 “不低于”即匕”，“高于”即 ，“超过”即 ，所以 z45x95, y380, z45.x.3 .若8x10, 2y4,贝Ux的取值范围是.(2, 5) .2y4, .4y2.x . r. 8x10, . 2y0, bd0.求证：5 证明因为bc ad0,所以ad&bc,a c a ca+b c+d因为bd0,所以bwd，所以b+1wd+1，所以飞一&一1.ii