《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版.wps（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 22.12.1 向量加法运算及其几何意义 预习课本 P8083，思考并完成以下问题 (1)向量的加法如何定义？ (2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ (3)向量加法的运算律有哪两条？ (4)|ab|，|a|b|，|a|b|三者之间的大小有何关系？ 新知初探 1向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 前提 已知非零向量 a，b 作法 在平面内任取一点 A，作 AB a， BC b，再作向量 AC 法则 三角 形法 则 结论 向量 AC 叫做 a与 b的和，记作 ab，即 ab AB BC AC 图形 前提 已知不共线的两个向量 a，b 在平面内任取一点
2、 O，以同一点 O为起点的两个已知向量 a，b 平行 作法 为邻边作OACB 四边 法则 结论 对角线OC 就是 a与 b的和 形法 则 图形 规定 零向量与任一向量 a的和都有 a0 0 aa. 1 2向量加法的运算律 运 交换律 a b b a 算 律 结合律 (ab)ca (b c) 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)两个向量相加结果可能是一个数量( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线( ) 答案：(1) (2) (3) 2对任意四边形 ABCD，下列式子中不等于 BC 的是( )
3、 A BA AC B BD DA AC C AB BD DC D DC BA AD 答案：C 3边长为 1 的正方形 ABCD中，|AB BC |( ) A2 B 2 C1 D2 2 答案：B 4 NQ QP MN PM _. 答案：0 向量加法及其几何意义 典例 如图 1，图 2，图 3 所示，求作向量和 解 如图中，所示， 2 首先作OA a，然后作 ABb，则OB ab. 如图所示，作 AB a， BC b，则 AC ab，再作CD c，则 AD AC CD (ab)c，即 AD abc. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到 n 个向量求和，作图时要求
4、“首尾相连”，即 n 个首尾相连的向 量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量 (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合 (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单 活学活用 如图，已知 a，b，c，求作向量 abc. 解：作法：在平面内任取一点 O，如图所示，作OA a， AB b， BC c，则OC a bc. 向量加法运算 例 2 化简或计算： (1)CD BC AB ； (2)AB DF CD BC FA . 解 (1)CD BC AB (AB BC )CD AC CD AD . (2)AB DF CD BC FA
5、(AB BC )(CD DF ) FA AC CF FA AF FA 0. 解决向量加法运算时应关注两点 3 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算 (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序， 特别注意勿将 0 写成 0. 活学活用 如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心 则 AB CD _； AB AF BC _； OC OD EF _. 解析： AB CD AB AF AO . AB AF BC AO BC AO OD AD . OC OD EF OC OD OA OC . 答案： AO AD OC 层级一 学业水平达标 1下
6、列等式错误的是( ) Aa00 aa B AB BC AC 0 C AB BA0 DCA AC OA CO AC 解析：选 B 由向量加法可知 AB BC AC AC AC 2AC . 2(AB MB )(BO BC )OM 等于( ) A BC B AB C AC D AM 解析：选 C 原式 AB MB BO BC OM (AB BC )(MB BO OM ) AC 0 AC . 3下列各式不一定成立的是( ) Aabba B0aa C AC CB AB D|ab|a|b| 解析：选 D A 成立，为向量加法交换律；B 成立，这是规定；C 成立，即三角形法则；D 不一定成立，只有 a，b
7、同向或有一者为零向量时，才有|ab|a|b|. 4在矩形 ABCD 中，|AB |4，|BC |2，则向量 AB AD AC 的长度等于( ) 4 A2 5 B4 5 C12 D6 解析：选 B 因为 AB AD AC ，所以 AB AD AC 的长度为 AC 的模的 2 倍， 故答案是 4 5. 5已知平行四边形 ABCD，设 AB CD BC DA a，且 b 是一非零向量，则下列 结论：ab；aba；abb；|ab|a|b|.其中正确的是( ) A B C D 解 析： 选 A 在平行四边形 ABCD 中， AB CD 0， BC DA 0，a 为零向量， 零向量和任意向量都平行，零向量
8、和任意向量的和等于这个向量本身，正确，错误 6 PQ OM QO MQ _. 解析：原式 PQ QO OM MQ PQ QM MQ PQ . 答案： PQ 7已知正方形 ABCD 的边长为 1， AB a， AC c， BC b，则|abc|_. 解析：|abc|AB BC AC |AC AC |2|AC |2 2. 答案：2 2 8.如图，在平行四边形 ABCD 中， (1)AB AD _； (2)AC CD DO _； (3)AB AD CD _； (4)AC BA DA _. 解析：(1)由平行四边形法则可知为 AC . (2)AC CD DO AD DO AO . (3)AB AD C
9、D AC CD AD . (4)AC BA DA BA AC DA BC DA 0. 答案：(1)AC (2)AO (3)AD (4)0 9.如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式： DG EACB ； EG CG DA EB . 解： DG EA CB GC BE CB GC CB 5 BE GB BE GE . EG CG DA EB EG GD DA AE ED DA AE EA AE 0. 10如图所示，中心为 O 的正八边形 A1A2A7A8中，ai Ai Ai1 (i 1,2，7)，bjOAj (j1,2，8)，试化简 a 2
10、a5b2b5b7. 解：因为 OA OA 0， 3 7 所以a2a5b2b5b7 A A 2 3 A A OA OA OA 5 6 2 5 7 ( OA 2 A A )(OA 2 3 5 A A )OA 5 6 7 OA b6. 6 层级二 应试能力达标 1.已知 D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等 式中不正确的是( ) A FD DA FA B FD DE EF 0 C DE , DA EC D DA DE FD 解析：选 D 由向量加法的平行四边形法则可知， DA DE DF FD . 2下列命题错误的是( ) A两个向量的和仍是一个向量 B当向量 a 与向
11、量 b 不共线时，ab 的方向与 a，b 都不同向，且|ab|a|b| C当向量 a 与向量 b 同向时，ab，a，b 都同向，且|ab|a|b| D如果向量 ab，那么 a，b 有相同的起点和终点 解析：选 D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断 A、B、C 都正确；D 错误，如平行 四边形 ABCD 中，有 AB DC ，起点和终点都不相同 3已知ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P 满足 PA PB PC ，则下列结论中 正确的是( ) AP 在ABC 的内部 BP 在ABC 的边 AB 上 CP 在 AB 边所在的直线上 DP 在ABC 的外部 6 解析：选 D PA P
12、B PC ，根据平行四边形法则，如图，则 点 P 在ABC 外部 4下列命题正确的是( ) A如果非零向量 a，b 的方向相反或相同，那么 ab 的方向必与 a，b 之一的方向相同 B若 AB BC CA0，则 A，B，C 为三角形的三个顶点 C设 a0，若 a(ab)，则 ab D若|a|b|ab|，则 b0 解析：选 C 当 ab0 时，A 选项不正确；若 AB BC CA0，则 A，B，C 三点共 线或 A，B，C 为三角形的三个顶点，故 B 选项不正确；若 a 与 b 不共线，则 ab 与 a 不共线， 故 C 选项正确；若|a|b|ab|，则 b0 或 b0(a 与 b 反向共线，且
13、|a|b|)，故 D 选项不正确 5如果|AB |8，|AC |5，那么|BC |的取值范围为_ 解析：根据公式|a|b|ab|a|b|直接来计算 答案：3,13 6若 a 等于“向东走 8 km”，b 等于“向北走 8 km”，则|ab|_，ab 的方向 是_ 解析：如图所示，设 AB a， BC b，则 AC ab，且ABC 为等腰直角三角形，则 |AC |8 2，BAC45. 答案：8 2 km 北偏东 45 7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BPQC.求证： AB AC AP AQ . 证明： AB AP PB ， AC AQ QC ， AB AC AP PB AQ
14、QC . PB 与QC 大小相等，方向相反， PB QC 0， 故 AB AC AP AQ 0 AP AQ. 7 8.如图，已知向量 a，b，c，d. (1)求作 abcd. (2)设|a|2，e 为单位向量，求|ae|的最大值 解：(1)在平面内任取一点 O，作 OA a， AB b， BC c， CD d，则OD abcd. (2)在平面内任取一点 O，作OA a， AB e， 则 aeOA AB OB ， 因为 e 为单位向量， 所以点 B 在以 A 为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点 B 在点 B1时，O，A，B1三点共线， 所以|OB |即|ae|最大，最大值是 3. 8