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1、课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理 层级一 学业水平达标 1已知ABCD 中DAB30，则 AD 与CD 的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 解析：选 D 如图， AD 与CD 的夹角为ABC150. 2设点 O 是ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上 表示其他所有向量的基底的是( ) AD 与 AB ； DA 与 BC ；CA与 DC ；OD 与OB . A B C D 解 析：选 B 寻找不共线的向量组即可，在ABCD 中， AD 与 AB 不共线，CA与 DC 不 共线；而 DA BC ，OD OB ，故可作为基底 3若 AD 是AB
2、C 的中线，已知 AB a， AC b，则以 a，b 为基底表示 AD ( ) 1 1 A (ab) B (ab) 2 2 1 1 C (ba) D ba 2 2 解 析： 选 B 如图，AD 是ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，从而 BD 1 1 DC ，即 AD AB AC AD ，从而 AD (AB AC ) (a 2 2 b) 4在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 BC e1， DC e2，则OC ( ) 1 1 A (e1e2) B (e1e2) 2 2 1 1 C (2e2e1) D (e2e1) 2 2 1 解 析：选 A 因为 O 是矩形 ABCD 对角线
3、的交点， BC e1， DC e2，所以OC (BC 2 1 DC ) (e1e2)，故选 A. 2 5(全国 卷)设 D 为ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则( ) 1 1 4 A AD AB AC 3 3 1 4 B AD AB AC 3 3 4 1 C AD AB AC 3 3 4 1 D AD AB AC 3 3 1 1 1 1 解 析： 选 A 由题意得 AD AC CD AC BC AC AC AB AB 3 3 3 3 4 AC . 3 6已知向量 a，b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则 xy 的值为_ 解析：a，b 是一组基底，
4、a 与 b 不共线， (3x4y)a(2x3y)b6a3b， Error!解得Error!xy3. 答案：3 5k 7已知e1，e2是两个不共线向量，ak 2e 1(1 2)e2与b2e13e2共线，则实数k_. 5k 1 k2 2 解析：由题设，知 ，3k25k20， 2 3 1 解得 k2 或 . 3 1 答案：2 或 3 8如下图，在正方形 ABCD 中，设 AB a， AD b， BD c，则在以 a，b 为基底时， AC 可表示为_，在以 a，c 为基底时， AC 可表示为_ 解析：以 a，c 为基底时，将 BD 平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行四边形法 则即得 答案
5、：ab 2ac 1 9.如图所示，设MNP， 是 ABC三边上的点，且 BM BC ，CN 3 1 3 2 1 CA， AP AB ，若AB a， AC b，试用a，b将 MN ，NP ，PM 表示出来 3 解： NP AP AN 1 2 1 2 AB AC a b， 3 3 3 3 1 2 1 2 2 1 MN CN CM AC CB b (ab) a b， 3 3 3 3 3 3 1 PM MP (MN NP ) (ab) 3 10证明：三角形的三条中线共点 证明： 如图 所示 ，设 AD，BE，CF 分别为ABC 的三条中线，令 AB a， AC b.则有 BC ba. AG 2 1 设
6、 G 在 AD 上，且 ，则有 AD AB BD a (ba) AD 3 2 (ab) 1 2 1 BE AE AB ba. 2 2 BG AG AB AD AB 3 1 1 2 (ab)a b a 3 3 3 2 1 2 ba) BE . 3( 2 3 2 G 在 BE 上，同理可证CG CF ，即 G 在 CF 上 3 故 AD，BE，CF 三线交于同一点 层级二 应试能力达标 1在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 BD 2DC ，设 AB a， AC b，则 AD 可用基 底 a，b 表示为( ) 1 2 1 A (ab) B a b 2 3 3 1 2 1 C a b D (ab
7、) 3 3 3 2 解析：选 C BD 2DC ， BD BC . 3 2 2 1 2 1 2 AD AB BD AB BC AB (AC AB ) AB AC a b. 3 3 3 3 3 3 2AD 与 BE 分别为ABC 的边 BC，AC 上的中线，且 AD a， BE b，则 BC ( ) 4 2 2 4 A a b B a b 3 3 3 3 3 2 2 2 2 C a b D a b 3 3 3 3 1 2 2 1 解 析： 选 B 设 AD 与 BE 交点为 F，则 FD a， BF b.所以 BD BF FD b 3 3 3 3 2 4 a，所以 BC 2BD a b. 3 3
8、 3如果 e1，e2是平面 内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A若存在实数 1，2，使得 1e12e10，则 120 B平面 内任一向量 a 都可以表示为 a1e12e2，其中 1，2R C1e12e2不一定在平面 内，1，2R D对于平面 内任一向量 a，使 a1e12e2的实数 1，2有无数对 解析：选 B A 中，(12)e10，120，即 12；B 符合平面向量基 本定理；C 中，1e12e2一定在平面 内；D 中，1，2有且只有一对 4已知非零向量OA ，OB 不共线，且 2OP xOA yOB ，若 PA AB (R)， 则 x，y 满足的关系是( ) Axy2
9、0 B2xy10 Cx2y20 D2xy20 解析：选 A 由 PA AB ，得OA OP (OB OA )， 即OP (1)OA OB .又 2OP xOA yOB ， Error!消去 得 xy2. 5设 e1，e2是平面内的一组基底，且 ae12e2，be1e2，则 e1e2_a _b. 解析：由Error!解得Error! 1 2 1 1 故 e1e2( b)( a a b) 3 3 3 3 2 1 a b. 3 (3 ) 2 1 答案： 3 3 6已知非零向量 a，b，c 满足 abc0，向量 a，b 的夹角为 120，且|b|2|a|， 则向量 a 与 c 的夹角为_ 解析：由题意
10、可画出图形， 在OAB 中， 因为OAB60，|b|2|a|， 所以ABO30，OAOB， 即向量 a 与 c 的夹角为 90. 4 答案：90 7设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2. (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c3e1e2的分解式； (3)若 4e13e2ab，求 ， 的值 解：(1)证明：若 a，b 共线，则存在 R，使 ab， 则 e12e2(e13e2) 由 e1，e2不共线，得Error!Error! 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底 (2)设 cmanb(m，nR)，则 3e1e2m(e1
11、2e2)n(e13e2) (mn)e1(2m3n)e2. Error!Error!c2ab. (3)由 4e13e2ab，得 4e13e2(e12e2)(e13e2) ()e1(23)e2. Error!Error! 故所求 ， 的值分别为 3 和 1. 3 1 8若点 M 是ABC 所在平面内一点，且满足： AM AB AC . 4 4 (1)求ABM 与ABC 的面积之比 (2)若 N 为 AB 中点，AM 与 CN 交于点 O，设 BO x BM y BN ，求 x，y 的值 3 1 解：(1)如图，由 AM AB AC 可知 M，B，C 三点共线， 4 4 令 BM BC AM AB BM AB BC AB 1 S ABM 1 (AC AB )(1)AB AC ，所以 ，即面积 4 S ABC 4 之比为 14. y x (2)由 BO x BM y BN BO x BM BA， BO BC y BN ，由 O，M，A 三 2 4 点共线及 O，N，C 三点共线Error!Error! 5