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1、初中数学二次函数难题 21077676的初中数学二次函数组卷 一(选择题(共2小题) 1(如图，已知动点P在函数y=(x,0)的图象上运动，PM?x轴于点M，PN?y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB:y=,x+1交于点E，F，则AFBE的值为( ) A( B( C( D( 4 2 1 22(如图，抛物线y=x,x,与直线y=x,2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B(若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为( ) A( B( C( D( 二(解答题(共28小题) 23(已知:关于x的方程mx,
2、3(m,1)x+2m,3=0( 2(1)当m取何整数值时，关于x的方程mx,3(m,1)x+2m,3=0的根都是整数; 2(2)若抛物线y=mx,3(m,1)x+2m,3向左平移一个单位后，过反比例函数y=(k?0)上的一点(,1，3)， 2?求抛物线y=mx,3(m,1)x+2m,3的解析式; ?利用函数图象求不等式,kx,0的解集( 24(已知:关于x的一元二次方程mx,(2m+n)x+m+n=0?( (1)求证:方程?有两个实数根; (2)求证:方程?有一个实数根为1; (3)设方程?的另一个根为x，若m+n=2，m为正整数且方程?有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函12数y=mx
3、,(2m+n)x+m+n的解析式; (4)在(3)的条件下，把Rt?ABC放在坐标系内，其中?CAB=90?，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，BC=5，将?ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求?ABC平移的距离( 5(某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出(如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大(总利润=总收入,总成本), 6(2004长沙)如图，等腰梯形ABCD，AD?BC，AD=3cm，BC=7cm，?B=60?，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连接AP，过P作?APE=?B，交DC于E( (
4、1)求证:?ABP?PCE; (2)求等腰梯形的腰AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3,如果存在，求BP的长;如果不存在，请说明理由( 7(如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点(与A、D不重合)，过点P作PE?CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y， 1)写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围; (2)如果?PCD的面积是?AEP面积的4倍，求CE的长; (3)是否存在点P，使?APE沿PE翻折后，点A落在BC上,证明你的结论( 28(2007义乌市)如图，抛物线y=x,2x,3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)
5、，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2( (1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式; ?2010-2012 菁优网 (2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值; 3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形,(如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由( 29(如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧，B在原点右侧)，C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m(m?0)，?CAB=45?，tan?
6、COB=2( (1)求A、C的坐标; (2)求直线AC和抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形,若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由( 210(2006达州)如图，抛物线y=,x+bx+2交x轴于A、B两点(点B在点A的左侧)，交y轴于点C，其对称轴为x=，O为坐标原点( (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求证:?ACB是直角; (3)抛物线上是否存在点P，使得?APB为锐角,若存在，求出点P的横坐标的取值范围;若不存在，请说明理由( 211(A)抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x=0和x=2时
7、，y的值相等(直线y=3x,7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M( (1)求这条抛物线的解析式; (2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q(若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S(求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围( ?2010-2012 菁优网 2,10x+36，小明同学作出如下结论:无论x取什么实数，它的值都不可能等于11(你是否(3)对于二次三项式x同意他的说法,说明你的理由( 212(2012赤峰)如图，抛物线y=x,bx,5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交
8、于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|:|OA|=5:1( (1)求抛物线的解析式; (2)求直线AF的解析式; (3)在直线AF上是否存在点P，使?CFP是直角三角形,若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由( 213(如图1，抛物线y=nx,11nx+24n (n,0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线上另有一点A在第一象限内，且?BAC=90?( (1)填空:点B的坐标为( _ )，点C的坐标为( _ ); (2)连接OA，若?OAC为等腰三角形( ?求此时抛物线的解析式; ?如图2，将?OAC沿x轴翻折后得?ODC，点M为?中所求的抛物线
9、上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究:当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值( 214(2008濮阳)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等(直线y=4x,16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M( (1)求这条抛物线的解析式; ?2010-2012 菁优网 (2)P为线段OM上一点，过点P作PQ?x轴于点Q(若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合，但可以与点M重合)，设OQ的长为t，四边形P
10、QCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗,如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状;如果S没有最大值，请简要说明理由; (4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC,如果存在，请求出t的值( 215(2002哈尔滨)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等(直线y=3x,7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M( (1)求这条抛物线的解析式; (2)P
11、为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q(若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S(求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)在线段BM上是否存在点N，使?NMC为等腰三角形,若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由( 216(如图，已知抛物线C:y=a(x+2),5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点B的1横坐标是1; (1)求a的值; (2)如图，抛物线C与抛物线C关于x轴对称，将抛物线C向右平移，平移后的抛物线记为C，抛物线C的21233顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C的解析
12、式( 3?2010-2012 菁优网 17(如图，已知?ABC内接于半径为4的?0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交?0于P、Q两点(OD、OE的22长分别是抛物线y=x+2mx+m,9与x轴的两个交点的横坐标( (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2,如果存在，请求出直线l的解析式;如果不存在，请说明理由( 218(2011永州)如图，已知二次函数y=,x+bx+c的图象经过A(,2，,1)，B(0，7)两点( (1)求该抛物线的解析式及对称轴; (2)当x为何值时，y,0, (3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C
13、，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E(当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标( 219(2009江西)如图，抛物线y=,x+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D( (1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF?DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m; ?用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形, ?设?BCF的面积为S，求S与m的函数关系式( ?2010-2012 菁优网 220(如图，抛
14、物线y=x,2x,3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点D( (1)求点A、B、D的坐标; (2)若点C在该抛物线上，使?ABD?BAC(求点C的坐标，及直线AC的函数表达式; (3)P是(2)中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值( 2221(2004哈尔滨)已知:抛物线y=,x,(m+3)x+m,12与x轴交于A(x，0)、B(x，0)两点，且x,0，121x,0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA( 2(1)求抛物线的解析式; (2)在x轴上，点A的左侧，求一点E，使?ECO与?CAO相似，并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D
15、; (3)过(2)中的点E的直线y=x+b与(1)中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M、N，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q(是否存在t值，使S:S=35:12,若存在，求出满足条件的t值;若不存在，请说明理由( 梯形MMNN?QMN222(2008莆田)如图，抛物线c:y=x,2x,3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(点1P为线段BC上一点，过点P作直线l?x轴于点F，交抛物线c点E( 1(1)求A、B、C三点的坐标; (2)当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值; (3)当P
16、E为最大值时，把抛物线c向右平移得到抛物线c，抛物线c与线段BE交于点M，若直线CM把?BCE122的面积分为1:2两部分，则抛物线c应向右平移几个单位长度可得到抛物线c, 12?2010-2012 菁优网 223(在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=,x+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，3)( (1)求抛物线及直线AC的解析式; (2)E、F是线段AC上的两点，且?AEO=?ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N(当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四
17、边形是梯形,若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由; (3)若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角?QCO与?BCO的大小(直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围)( 224(2011沈阳)如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0，,3)，对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D( (1)求抛物线的函数表达式; 2)求直线BC的函数表达式; (3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限( ?当线段PQ=AB时，求tan?CED的值
18、; ?当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标( 温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意，在图中补出图形，以便作答( 225(已知，如图，抛物线y=x+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4( (1)直接写出点B，C的坐标及b的值; (2)过射线CB上一点N，作MN?OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t( ?当0,t,4时，求线段MN的最大值; ?以点N为圆心，NM为半径作?N，当点B恰好在?N上时，求此时点M的坐标( ?2010-2012 菁优网 226(如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交
19、于A、B两点的横坐标分别是,1，3 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x,7上( (1)求抛物线的解析式; (2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q(若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S(求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)在线段BM上是否存在点N，使?NMC为等腰三角形,若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由( 227(如图，抛物线y=x,4x,1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C( (1)求这条抛物线的顶点D的坐标; 2(2)经过点(0，4)且与x轴平行的
20、直线与抛物线y=x,4x,1相交于M、N两点(M在N的左侧)，以MN为直径作?P，过点D作?P的切线，切点为E，求点DE的长; (3)上下平移(2)中的直线MN，以MN为直径的?P能否与x轴相切,如果能够，求出?P的半径;如果不能，请说明理由( 228(2011攀枝花)如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为(,1，0)( (1)求二次函数的关系式; ?2010-2012 菁优网 (2)在抛物线上有一点A，其横坐标为,2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B,x,，当?AOB的面积最大时，求出此时直线l的
21、关系式; 的横坐标满足,2B(3)抛物线上是否存在点C使?AOC的面积与(2)中?AOB的最大面积相等,若存在，求出点C的横坐标;若不存在说明理由( 229(如图1，抛物线C:y=,x+4x,2与x轴交于A、B，直线l:y=,x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛1物线C的顶点E在直线l上( 1(1)求直线l的解析式; (2)如图2，将抛物线C沿射线ES的方向平移得到抛物线C，抛物线C的顶点F在直线l上，并交x轴于M、122N两点，且tan?EAB=tan?FNM，求抛物线C平移的距离; 1(3)将抛物线C沿水平方向平移得到抛物线C，抛物线C与x轴交于P、G两点(点P在点G的左侧)，使得?PE
22、F233为直角三角形，求抛物线C的解析式( 3230(2009湘西州)在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是(3，0)(将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C( (1)求k的值; (2)求直线BC和抛物线的解析式; (3)求?ABC的面积; (4)设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且?APD=?ACB，求点P的坐标( ?2010-2012 菁优网 ?2010-2012 菁优网 1077676的初中数学二次函数组卷 参考答案与试题解析 一(选择题(共2小题) 1(如图，已知动点P在函数y=(x,0
23、)的图象上运动，PM?x轴于点M，PN?y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB:y=,x+1交于点E，F，则AFBE的值为( ) A( B( C( D( 4 2 1 考点: 反比例函数综合题。 专题: 动点型。 分析: 由于P的坐标为(a，)，且PN?OB，PM?OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AFBE( 解答: 解:?P的坐标为(a，)，且PN?OB，PM?OA， ?N的坐标为(0，)，M点的坐标为(a，0)， ?BN=1,， 在直角三角形BNF中，?
24、NBF=45?(OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形)， ?NF=BN=1,， ?F点的坐标为(1,，)， 同理可得出E点的坐标为(a，1,a)， 2222222?AF=(,)+()=，BE=(a)+(,a)=2a， 222?AFBE=2a=1，即AFBE=1( 故选C( 点评: 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值( ?2010-2012 菁优网 22(如图，抛物线y=x,x,与直线y=x,2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B(若使点
25、P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为( ) A( B( C( D( 考点: 二次函数综合题。 分析: 首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，则直线AB与x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得AB即是所求的长度( 解答: 解:如图 2?抛物线y=x,x,与直线y=x,2交于A、B两点， 2?x,x,=x,2， 解得:x=1或x=， 当x=1时，y=x,2=,1， 当x=时，y=x,2=,， ?点A的坐标为(，,)，点B的坐标为(1，,1)， ?抛物线对称轴方程为:x=,= 作点A关于抛物线的
26、对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B， 连接AB， 则直线AB与x=的交点是E，与x轴的交点是F， ?BF=BF，AE=AE， ?点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB， 延长BB，AA相交于C， ?AC=+(1,)=1，BC=1+=， ?AB=( ?2010-2012 菁优网 ?点P运动的总路径的长为( 故选A( 点评: 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用(注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用( 二(解答题(共28小题) 23(已知:关于x的方程mx,3(m,1)x+2m,3=0( 2(1)当m取何整数值时，关于x的
27、方程mx,3(m,1)x+2m,3=0的根都是整数; 2(2)若抛物线y=mx,3(m,1)x+2m,3向左平移一个单位后，过反比例函数y=(k?0)上的一点(,1，3)， 2?求抛物线y=mx,3(m,1)x+2m,3的解析式; ?利用函数图象求不等式,kx,0的解集( 考点: 二次函数综合题。 专题: 计算题;数形结合。 分析: (1)原方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，因此分m=0和m?0两种情况，先求出两种情况下方程的根，再由根是整数确m定的值( (2)?先表示出平移后的抛物线解析式，然后将点(,1，3)代入其中求解即可; ?根据反比例函数过(,1，3)确定k的值，然后分别作
28、出y=和y=kx的函数图象，找出前者的图象在后者上方的部分即可( 解答: 解:(1)当m=0时，x=1; 当m?0，可解得x=1，x=2,; 12?m=?1、?3时，x均有整数根; 综上可得m=0、?1、?3时，x均有整数根( 2(2)?抛物线向左平移一个单位后得到y=m(x+1),3(m,1)(x+1)+2m,3，过点(,1，3)，代入解得:m=3; ?2010-2012 菁优网 2?抛物线解析式为y=3x,6x+3( ?反比例函数y=(k?0)经过点(,1，3)， ?k=,13=,3; 作出y=kx、y=(k?0)的图象(如右图) 由图可知:当x,1或0,x,1时，,kx; 即:不等式,k
29、x,0的解集为:x,1或0,x,1( 点评: 该题涉及到:方程与函数的联系、函数解析式的确定以及利用图象法解不等式的方法等知识(考查的内容较为基础，难度不大( 24(已知:关于x的一元二次方程mx,(2m+n)x+m+n=0?( (1)求证:方程?有两个实数根; (2)求证:方程?有一个实数根为1; (3)设方程?的另一个根为x，若m+n=2，m为正整数且方程?有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函12数y=mx,(2m+n)x+m+n的解析式; (4)在(3)的条件下，把Rt?ABC放在坐标系内，其中?CAB=90?，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，BC=5，将?ABC沿x轴
30、向右平移，当点C落在抛物线上时，求?ABC平移的距离( 考点: 抛物线与x轴的交点。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)首先表示出方程?的根的判别式，若方程有两个实数根，那么判别式应大于等于0，结合非负数的性质进行证明即可( (2)可利用十字相乘法将方程左边进行因式分解，即可得到方程必有一根为1( (3)由(2)可得x的表达式，即x=，若m+n=2，且x为整数，那么m可取1或2，然后结合(1)111(2)的结论将不合题意的m值舍去，即可确定m的值，进而可得抛物线的解析式( (4)首先根据已知条件确定出点C的坐标;然后设出平移后的点C坐标，由于此时C点位于抛物线的图象上，可将其代入抛物线的
31、解析式中，即可确定出平移后的点C坐标，进而可得平移的距离( 解答: 证明:(1)?a=m，b=,(2m+n)，c=m+n 22?=b,4ac=,(2m+n),4m(m+n) 222=4m+4mn+n,4m,4mn 2=n(1分) 2?无论n取何值时，都有n?0 ?0 ?方程?有两个实数根(2分) ?2010-2012 菁优网 (2)?原方程可化为:(mx,m,1)(x,1)=0，(3分) ?; ?方程?有一个实数根为1(4分) (3)由题意可知:方程?的另一个根为， ?m+n=2，m为正整数且方程?有两个不相等的整数根， ?m=1， 2?二次函数的解析式:y=x,3x+2(5分) (4)由题意
32、可知:AB=3， 由勾股定理得:AC=4 ?C点的坐标为(1，4) 当?ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为(a，4)(6分) ?C在抛物线上， ? ?，舍去负值， ?; ?ABC平移的距离:(7分) 点评: 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数解析式的确定以及函数图象上点的坐标特征，难度适中( 5(某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出(如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大(总利润=总收入,总成本), 考点: 二次函数的应用。 专题: 应用题。 分析: 此题关键是表示出价格变化后，销量与价格的
33、关系式，设定价提高x%，销售量下降0.5x%，即当定价为100(1+x%)元时，销售量为1000(1,0.5x%)件( 解答: 解:设定价提高x%，则销售量下降0.5x%，即当定价为100(1+x%)元时，销售量为1000(1,0.5x%)件( 商场购这1000件西服的总成本为801000=80000元， 故y=100(1+x%)1000(1,0.5x%),80000 2=,5x+500x+20000 2=,5(x,50)+32500( 当x=50时，y有最大值32500( 100(1+50%)=150(元) 即定价为150元/件时获利最大，为32500元( 点评: 此题主要考查了:二次函数的
34、应用中，总利润=总收入,总成本，但与以往题目不同的是表示价格与销售量时，提高与下降都是百分数，题目有一定抽象性，但这是中考中新题型( 6(2004长沙)如图，等腰梯形ABCD，AD?BC，AD=3cm，BC=7cm，?B=60?，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连接AP，过P作?APE=?B，交DC于E( ?2010-2012 菁优网 (1)求证:?ABP?PCE; 2)求等腰梯形的腰AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3,如果存在，求BP的长;如果不存在，请说明理由( 考点: 等腰梯形的性质;解分式方程;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质。 专题:
35、几何综合题。 分析: (1)欲证?ABP?PCE，需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出?B=?C，根据三角形外角的性质可证得?EPC=?BAP;由此得证; (2)可过作AF?BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt?ABF中，根据?B的度数及BF的长即可求得AB的值; (3)在(2)中求得了AB的长，即可求出DE:EC=5:3时，DE、CE的值(设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据(1)的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长(若方程无解，则说明不存在符合条件的P点( 解答:
36、 (1)证明:由?APC为?ABP的外角得?APC=?B+?BAP; ?B=?APE ?EPC=?BAP ?B=?C ?ABP?PCE; (2)解:过A作AF?BC于F; ?等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm， ?BF=， Rt?ABF中，?B=60?，BF=2; ?AB=4cm; (3)解:存在这样的点P( 理由是:? 解之得EC=cm( 设BP=x，则PC=7,x 由?ABP?PCE可得 =， ?AB=4，PC=7,x， ?= 解之得x=1，x=6， 12经检验都符合题意， 即BP=1cm或BP=6cm( ?2010-2012 菁优网 点评: 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及
37、相似三角形的判定和性质( 7(如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点(与A、D不重合)，过点P作PE?CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y， (1)写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围; (2)如果?PCD的面积是?AEP面积的4倍，求CE的长; (3)是否存在点P，使?APE沿PE翻折后，点A落在BC上,证明你的结论( 考点: 二次函数的应用;勾股定理;翻折变换(折叠问题)。 分析: (1)运用三角形相似，对应边比值相等即可解决， (2)运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决， 解答: (1)解:?PE?CP， ?可得:?EAP?P
38、DC， ?， 又?CD=2，AD=3，设PD=x， AE=y， ?， ?y=,， 0,x,3; (2)解:当?PCD的面积是?AEP面积的4倍， 则:相似比为2:1， ?， ?CD=2， ?AP=1，PD=2， ?PE=，PC=2， ?EC=( 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方( ?2010-2012 菁优网 2,2x,3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、8(2007义乌市)如图，抛物线y=xC两点，其中C点的横坐标为2( (1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交
39、抛物线于E点，求线段PE长度的最大值; (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形,如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由( 考点: 二次函数综合题。 专题: 压轴题。 分析: (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标(再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标(再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式; (2)根据P点在AC上可设出P点的坐标(E点坐标可根据已知的抛物线求得(因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为y,y，列出方程后结合二次函数的性质即
40、可得出答案; pE(3)存在四个这样的点( ?如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG?x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是(,3，0); ?2010-2012 菁优网 ?如图，AF=CG=2，A点的坐标为(,1，0)，因此F点的坐标为(1，0);?如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+，3)，由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=,x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=,x+7(因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+，0); ?如图，同?可求出F的坐标为(4,，0); 综合四种情况可得
41、出，存在4个符合条件的F点( 解答: 解:(1)令y=0，解得x=,1或x=3 12?A(,1，0)B(3，0) 2将C点的横坐标x=2代入y=x,2x,3得y=,3 ?C(2，,3) ?直线AC的函数解析式是y=,x,1; ?2010-2012 菁优网 (2)设P点的横坐标为x(,1?x?2) 则P、E的坐标分别为:P(x，,x,1) 2E(x，x,2x,3) 222?P点在E点的上方，PE=(,x,1),(x,2x,3)=,x+x+2=,(x,)+， ?当时，PE的最大值=; (3)存在4个这样的点F，分别是F(1，0)，F(,3，0)，F(4+，0)，F(4,，0)( 1234?如图，连
42、接C与抛物线和y轴的交点，那么CG?x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是(,3，0); ?如图，AF=CG=2，A点的坐标为(,1，0)，因此F点的坐标为(1，0); ?如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+，3)，由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=,x+h，将G?2010-2012 菁优网 点代入后可得出直线的解析式为y=,x+4+(因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+，0); ?如图，同?可求出F的坐标为(4,，0)( 综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点( 点评: 本题着重考查
43、了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法( 29(如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧，B在原点右侧)，C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m(m?0)，?CAB=45?，tan?COB=2( (1)求A、C的坐标; (2)求直线AC和抛物线的解析式; 3)在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形,若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由( (考点: 二次函数综合题。 专题: 综合题。 分析: (1)已知了直线AC的解析式，可确定
44、点A的坐标;过C作CM?x轴于M，在Rt?CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标( (2)将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式;同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式( (3)此题应分作两种情况考虑: ?AB?CD，此时CD与x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得; ?AD?BC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD与BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物
45、线的解析式，即可求得交点D的坐标( (由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BD?AC等情况() 解答: 解:(1)直线AC:y=mx+2m(m?0)中， 当y=0时，mx+2m=0，m(x+2)=0， ?m?0， ?x=,2; 故A(,2，0); 过C作CM?x轴于M; ?2010-2012 菁优网 Rt?CAM中，?CAB=45?，则CM=AM; Rt?COM中，tan?COM=2，则CM=2OM， 故CM=2OM=2AM; ?OA=2，则OM=2，CM=4，C(2，4)， ?A(,2，0)，C(2，4)( (2)将点C坐标代入直线AC的解析式中，有: 2m+2m=4，m
46、=1， ?直线AC:y=x+2; 将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有: ， 解得; 2?抛物线:y=x+x,2; 2故直线AC和抛物线的解析式分别为:y=x+2，y=x+x,2( (3)存在满足条件的点D，其坐标为(,3，4)或(5，28); 理由:假设存在符合条件的点D，则有: ?CD?AB，由于AB?CD，此时四边形ABCD是梯形; 易知抛物线的对称性为:x=,; 由于此时CD?x轴， 故C、D关于直线x=,对称， 已知C(2，4)， 故D(,3，4); ?AD?BC，显然BC?AD，此时四边形ABCD是梯形; 易知B(1，0)，用待定系数法可求得: 直线BC:y=4x,4; 由于AD?BC，可设直线AD的解析式为y=4x+h， 则有:4(,2)+h=0， 即h=8; ?直线AD:y=4x+