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1、初中数学函数知识点整理资料初中数学函数知识点整理21.定义:一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.xa,0)y,ax，bx，c(a,b,cy22.二次函数的性质 y,ax2(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴. y,axy2(2)函数的图像与的符号关系. ay,axa,0 ?当时抛物线开口向上顶点为其最低点; ,a,0?当时抛物线开口向下顶点为其最高点. ,2(a,0)(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y,axy23.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.y,ax，bx，cy224.二次函数用配方法可化成:的形式，其中y,ax，bx，c，y,ax,h
2、，k2b4acb,hk,，,. 2a4a225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?;?;?y,axy,ax，k222;?;?. y,ax，bx，c，y,ax,hy,ax,h，k6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a,0a,0a ?的符号决定抛物线的开口方向:当时，开口向上;当时，开口向下;a相等，抛物线的开口大小、形状相同. x,hx,0 ?平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.yya7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 22b4acb,28.求抛物线的顶点、对称轴的方法(
3、1)公式法:，yaxbxcax,，,，,2a4a,2,b4acbb?顶点是，对称轴是直线. (,，)x,2a2a4a2 (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点，y,ax,h，khkx,h为(,)，对称轴是直线. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.29.抛物线中，的作用 a,b,cy,ax，bx，c2 (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. aay,ax2b (2)和共同决定抛物线对称轴的
4、位置.由于抛物线的对称轴是直线ay,ax，bx，cbbbb,0,0x,，故:?时，对称轴为轴;?(即、同号)时，对称轴在aya2abb,0轴左侧;?(即、异号)时，对称轴在轴右侧. ayya2 (3)c的大小决定抛物线与轴交点的位置. y,ax，bx，cy2x,0 当时，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，c):y,ax，bx，cy,cyc,0c,0c,0 ?，抛物线经过原点; ?,与轴交于正半轴;?,与轴交于负半轴.yyb,0 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .ya10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 (0,
5、0) x,0(轴) y y,ax2 k) (0, x,0(轴) yy,ax，k2hx,h (,0) ，y,ax,ha,0当时 2hkx,h (,) ，y,ax,h，k开口向上 ba,0当时 22 x, y,ax，bx，cb4acb,() 2a,，2a4a开口向下 11.用待定系数法求二次函数的解析式 2 (1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.xy,ax，bx，cy2 (2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.，y,ax,h，k(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式:.x，xy,ax,xx,xx112212.直线与抛物线的交点 2 (1)轴与抛
6、物线得交点为(0, ). cy,ax，bx，cy2x,h (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点y,ax，bx，cy2hah，bh，c(,). (3)抛物线与轴的交点 x2 二次函数x的图像与x轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次y,ax，bx，cx122ax，bx，c,0方程的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ,0x ?有两个交点抛物线与轴相交; ,0xx ?有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;,0x ?没有交点抛物线与轴相离. ,x (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两
7、交点的纵坐标相2k等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. ax，bx，c,k2Gl (5)一次函数的图像与二次函数的图像的，y,kx，nk,0，y,ax，bx，ca,0y,kx，n交点，由方程组 的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时2y,ax，bx，cGGll与有两个交点; ?方程组只有一组解时与只有一个交点;?方程组无解,Gl时与没有交点. ,2 (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为xxy,ax，bx，c2，由于、是方程的两个根，故ax，bx，c,0，xAx，0，Bx，0x1122bcx，x,x,x,1212aa22b4cb,4ac,22AB,x,x,x,x,x，x
8、,4xx,，,12121212aaaa,一次函数与反比例函数 考点一、平面直角坐标系 (3分) 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标
9、在后，中间有“，”分开，横、纵a,b坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 (3分) 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 ,x,0,y,0点P(x,y)在第二象限 ,x,0,y,0点P(x,y)在第三象限 ,x,0,y,0点P(x,y)在第四象限 ,x,0,y,02、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 ,y,0,x,0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0),3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标
10、的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 ,点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 ,4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 ,点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 ,点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 ,6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: y(1)点P(x,y)到x轴的距离等于 x(2)点P(x,y)到y轴的距离等于 22
11、x，y(3)点P(x,y)到原点的距离等于 考点三、函数及其相关概念 (38分) 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的
12、一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数 (310分) 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。y,kx，b,中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做特别地，当一次函数y,kx，by,kx,x的正比例函数。 2、一
13、次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数的图像是经过点(0，b)y,kx，b的直线;正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。 y,kxk的符号 b的符号 函数图像 图像特征 y 图像经过一、二、三象限，y随x的b0 0 x 增大而增大。 k0 y 图像经过一、三、四象限，y随x的b0 增大而减小 0 x K0 y 图像经过二、三、四象限，y随x的b0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大; (2)当k0时，y随x的增大而增大 (2)当k0 k0时，函数图像的两个分支分别 ?当k0 a0 y y 图像 0 x 0 x (1)抛物线开
14、口向下，并向下无限延伸; (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸; bb,，顶点坐标是(,，(2)对称轴是x=bb,，顶点坐标是(,，(2)对称轴是x=2a2a2a2a24acb,2); 4acb,); 4a4ab,b(3)在对称轴的左侧，即当x时，y随x,(3)在对称轴的左侧，即当x,x时，y随x的增大而减小，简记左增2a2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增; 右减; b,(4)抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，b,(4)抛物线有最高点，当x=时，y有最大2a2a24acb,24acby, 最小值y,值， 4a最大值4a2a、b、ca2、二次函数中，的含义:表示开口y,ax，bx，c(
15、a,b,c是常数，a,0)aa方向:0时，抛物线开口向上， 0时，图像与x轴有两个交点; ,当=0时，图像与x轴有一个交点; ,第一章 直角三角形边的关系当0时，图像与x轴没有交点。 ,补充: 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.y如图:点A坐标为(x，y)点B坐标为(x，y) 112222，x,x，y,y则AB间的距离，即线段AB的长度为 A12120 x (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距
16、是正多边形的边到圆心的距离.B如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.2、函数平移规律(中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间) 1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。3、直线斜率: b为直线在y轴上的截距 y,y21k,tan,x,x21扩展 2.正弦：1
17、.一般 一般 直线方程 ax+by+c=0 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。2.两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: y,y21y,y,(x,x) 11sinx,x21y,y,k(x,x) 3.点斜 知道一点与斜率 114.斜截 斜截式方程，简称斜截式: y,kx，b(k?0) xyyx，,1 5 .截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式:ab记牢可大幅提高运算速度 llykxb,，ykxb,，6.设两条直线分别为，: : 121122ll/bb,llkk/, 若，则有且。 12121212llkk,1 若 1212kx,y
18、，bkx,y，b0000d,7.点P(x0，y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离: 222k，(,1)k，1对于点P(x0，y0)到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有 ax，by，c00d, 常用记牢 22a，b中考点击 考点分析: 内容 要求 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 ? 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 ? 3、一次函数的概念和图像 ? 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 ? 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 ? 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会
19、利用二次函数? 刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题预测:函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右(一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右(反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36分;二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中(要求:能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题(会求一元二次方程的近似值( 1、20以内退位减法。分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2007年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解(同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用(