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1、第三节广义最小二乘法丫=邓 + e, =( i, En)=o e的方差协方差矩阵为：? E( 12)E( 1 2)?旧 & n)?#%#? =(T 2Q2? E( e n e 1)E( n 2? n)其中。为nxn的实对称矩阵。若Q=In,则E( e )=境2a古典假定。若Q win则不满足古典假定，我们称为非球型扰动。特别的：?(T 12 0 0? 1 0 0?200 w 0 ? 0 2? 2?为异方差的情形。1)(r2Q? # # % #? # # % #?0 0 ?小0 0 ? n?1?2) (T 2 Q =?#? p T-?一、广义最小二乘法思想：对原模型进行适当的变换(从 Q出发)将
2、扰动项的方差协方差矩阵化成 (7 2inZ满足古典假定。做法：由于Q对称且正定，则存在一个非奇异的nxn矩阵P,使得p #p T-2 p T?1 %#?为一阶自回归形式的自相关情形。1? Q-1=PP,于是Q =(PP)-1对模型进行变换：Y=XB + J用P左乘方程两边得：PY=PXP +Pe令 Y*=PY , X*=PX , *=P 则模型变为：Y*=X* 0 + 广E( * *)=EP (P )=PE( )P= (T 2(P E P) =(T P(PP)P= (T In2-12所以变换后模型的扰动项满足古典线性回归模型的假定。用 OLS估计新方程得：?=(X*X*)-1X*Y*=(PX)
3、(PX)-1(PX)(PY尸X(PP)X-1X(PP)Y0 GLS=X Q-1X-1X Q-1Y 次广义最小二乘估计量。B GLS?)=(t2(X*X*)-1= (t2(X Q-1X)-1 Var( 0 GLS二、异方差、自相关时模型的 GLS估计?=(XX)-1XY= B ? 1)酎=I B GLSOLS? 1 0 ? 1 0 0?000 co 0 2222 E( )= ?Q 2=oQ W? # % #? # # % #? 0 0 0 0 nn?1 0 0 ?0? 1? 1 00 2 0? 0 ? -1 ,变换矩阵为：P=? QW? # #%#%? 0 0 河1? n? 0 0 ? ?=X
4、Q-1X-1X Q-1Y=wXX-1wXY , 0 iii ii其中wi=1j即为WLS估计。若Q已知，可以直接进行 GLS （即为WLS）估计。若Q未知，需要先估计权重 wi=估计。1coi?t,可以做GLS,有了。的估计Q? 1?3） Q = o?#1+p ?0Q-1=- p 1+p 2000#000? 00? 00? ? ?- p ? p T-? p #p T-2 p?T-%#?时，模型存在一阶自相关，止匕时 1?-p ? 1?2- p 21- ? ? ?000?变换矩阵为：?- PP=? 0? ?00? 0? 0?-1PP, 21- p此时，PP=(1- PY=PXg +Pe具体化为：
5、? # ? 000- p2 2) Q-1, Q-1 =?01001000000? 11? Y2- p Y?*?X2- p X?,Y*= ? ,X= ? #? Y- p Y? X- p X? T-1 ? T-1 ? T? T 从前的广义差分变换相当于忽略了第一项。?=X Q-1X-1X Q-1Y GLS 估计：0 GLS若Q已知，我们可以直接对 Y和X进行变换，然后进行OLS估计。若Q未知， 我们则先要对。进行估计，估计的方法即为前面关于自相关修正中的说明。说明：一般地，对于非球型扰动来说，Q都是未知的。若要进行 GLS我?,再将。才弋入GLS估计中去。我们称这种们先得对 Q进行估计得到Q做法为
6、可行的广义最小二乘估计(FGLS估计)：?-1-1?-1 B FGLS=X QXX QY广义最小二乘估计量的有效性配一个 BLUE (best linear unbiased estimator)估计量.0 GLS?=(X*X*)-1X*Y*=(PX)(PX)-1(PX)(PY尸X(PP)X-1X(PP)Y0 GLS=X Q-1X-1X Q-1Y=X Q-1X-1X Q-1(X 0 + e )= 0+X Q-1X-1X Q-1 e ?)= 0+X Q- 1X-1X Q-1E( e )= B E( B GLS?)=(r2(X*X*)-1= (t2(X Q-1X)-1 Var( 0 GLS存在非球形扰动时，B ?OLS=(XX)-1XY, Var( B ?OLS)=(T 2(XX)-1X Q X(XX)-1 以证明 0 ?OL坏如B ?GLST效。证明：Var( B ?GLS户 Var( 0 ?OLS)(T 2(XX)-1X-(X Q-1X)-1X Q-1 Q (XX)-1X-(X Q-1X)-1X Q-1=2(XX)-1X QX(XX)-1-(t2(X Q-1X)-1 =Var( 0 ?OLS)-Var( 0 ?GLS)因为，。对称且正定，所以 Var( B ?OLS)-Var( B ?GLS户0