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1、求数列极限的几种典型方法首先我们要知道数列极限的概念：设an为数列，a为定数，若对任给的正数 ，总存在正整数N，使得当n N时有an a，则称数列 an收敛于a，定数a则称为数列an的极限，并记作lim ana或ann若数列没有极限，则称 an不收敛,或称an为发散数列。F面我们来研究求数列极限的几种方法:方法一：应用数列极限的定义例一：证明ijm0，这里为正数。证明：由于故对任给的0,只要取i，则当n N时就有这就证明了1 lim n n用定义求数列极限有几种模式:(1)0，作差ana，解方程an，解出n，则取N1,ana适当放大，解出n(3)作适当变形，找出所需N的要求。数列cn满足：存在
2、正整数 No,方法二：（迫敛性）设收敛数列 an，bn都以a为极限,当n N 时有:an Cn bn则数列o收敛，且|jm cnn例二：求数列n n的极限。解：记an1hn，这里hn 0n 1），则有nn (1hn)n (n 1)由上式的hn（n1），从而有n 12hn1 an1 hn数列是收敛于1的，因为任给的，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得，则当n N时lim n 1 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。1 11例三：设 an 1，n 1,2,2 3n其中实数2，证明数列 an收敛。证明：显然数列an是递增的，下证 an有上界，事实上,an(n1 1
3、(1 -)(2 211) n1 1()n 1 n于是由单调有界定理知 an收敛。方法四：对于待定型1利用lim （1n 例四：求lim （12n解：因lnm （12n)e,而n1lim (1) .lim (1n2 nn2n1 1 )=lim (1 ) 2n n 2即 lim (1nn2n)故 lnm (12n)方法五：（柯西收敛准则）数列an收敛的充要条件是：对任给的o，存在正整数N，使得当n , m N时，有an am例五：证明任一无限十进小数=0. b b2bn 的n位不足近似（n=1 ，2，）所组成的数列b1 b1 艮b1 _b2_1010 10210 102bnn ,10满足柯西条件（
4、从而收敛），其中bk为0,1,2，,9中的一个数，k 1,2,证明:记an bb22-bn，不妨设n m，则有W 101010bm 1bm 2bnanamm 1m 2n101010m 1 (1101m(1101m1011n m10n m 1)10对任给的丄,则对一切nm N，有an am这就证明了题目满足柯西条件,从而收敛。方法六：Stolz定理：设nN时，Ynyn1 且 lim YnnXn Xn 1 l，若 和 Yn Yn1（l为有限数或无穷大），则limnXnynlimnXn Xn 1Yn Yn1例六:求limn解:limn(0)1=lnmElimnlimn1nn n (1 丄)n1n1n
5、 n 2!211)-2 0(=)nn方法七：形如 Xn 1 f（Xn）数列极限例七：设Xn 1k1 Xn，其中k与x1为正数，则 Xn收敛于的正X X k根。解：因为x-i ,k0，所以对一切k，则Xn是一有界数列，但非单调。事实上，若Xn Xnk(Xn 1 Xn)Xn 1)Xn)(10，考察k(Xn1 Xn)Xn 1 Xn(1 Xn)(1Xn 1)10，则 Xn1由于（1Xn)(1Xn 1)1Xn(1 XnJkXn 1 Xn1 kXn 1 Xn故n1Xn1在等式XnXn 1方法八:收敛，从而收敛，由于k两边取极限，得1 Xn利用积分求数列极限众所周知，如果f X在kn命题1 :设f(0，X
6、dx收敛，则.n1 1 inm k 1 n n命题2 :设fhmfnh(1Xn2X0-)X2 X0，则 lim xn X0nXok，故X0是方程X k的正根。a,b上正常可积,1,2, ,n。对于反常积分,1)x dx在（0，f x dx是单调的,）单调，且X dX limnkn n，其中我们可以证明如下结论:x=0，x=1可以是f x的奇点，如果f X dx收敛，则k例八：设常数a 1,试求极限lim a1n 1 k 1 n (a 1)k解：令ak11)kkann (akn1 aa 1nkkan)k1ak(1n1n kn所以lim akk 1xa dx方法九:阶的估计法Inao(g x)(g
7、 x)f x o (g xo(g x)特别的:O(1) f在用阶的估计来求极限过程中需要初等函数f x的泰勒公式0 kn 1卄f xx o x x 0 时k 0 k!常用估计式有 x 0 :2 In 1 x3ox2ox4 sinx3x3!5ox5 cosx2x2!5ox6 tanx更一般地：以上表达式中 x可换成f X，其中limof x 0，例如:In 1 sin xsinx sinx osin例九：试证明IimnIn n证明：因为nIn nn n en1Inn on2nn n2 1 1n所以2InIn nnn Vn 1In nIn nnn从而参考文献北京：高等教育出版社,【1】数学分析 上册第三版华东师范大学数学系编2001 （ 2006 重印）。【 2】数学分析上册 华东师大第三版 同步辅导及习题全解 中国矿业尔大学出版社【 3】分析中的基本定理和典型方法，宋国柱编北京：科学出版社， 2004