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1、高二圆锥曲线知识点总结与例题高二圆锥曲线知识点总结与例题分析 一、椭圆 1、椭圆概念 平面ab y2x2 或()(焦点在y轴上)。 ab 注:?以上方程中a,b的大小，其中; x2y2y2x2 ?在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的abab 位置，只要看x2和y2的分母的大小。 x2y2 (m，)当时表示焦点在x轴上的例如椭圆mn 椭圆;当时表示焦点在y轴上的椭圆。 2、椭圆的性质 ?范围: x2y2 由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围ab 成的矩形里; ?对称性: 椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ?四个顶点:，A2(
2、a,0)，B2(0,b) 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在中，且，即; c?离心率:椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。 a 3、点与椭圆的关系 x2y2 点P(x0,y0)和椭圆()的关系: ab 22x0y0(1)点P(x0,y0)在椭圆外; ab 22x0y0(2)点P(x0,y0)在椭圆上,1; ab 1 22x0y0(3)点P(x0,y0)在椭圆 当时，不表示任何图形; ? 两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。 注意: 2要分清焦
3、点的位置，由x,y 2、双曲线的性质 ?范围: 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上 x2y2 从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的ab 外侧。 ?对称性: 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ?两个顶点: 实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。 虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 ? 渐近线:，围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。 x2y2b双曲线渐近线为。 aab ?等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:;
4、2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直(3)。 离心率为223)注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为:， 当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。 2 三、抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 方程 叫做抛物线的标准方程。 p ,0)，它的准线方2 注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(程是 (2)抛物线的性质 p ; 2 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几
5、种形式:，这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 2 2 2 说明: (1)焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对 (称轴，无对称中心，没有渐近线; (3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。 四、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线 3 的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件; 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时
6、，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 (2)相切:直线与椭圆相切; 直线与双曲线相切; 直线与抛物线相切; (3)相离:直线与椭圆相离; 直线与双曲线相离; 直线与抛物线相离。 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。 五、弦长公式 直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则它的弦长 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则 六、圆锥
7、曲线的中点弦问题: 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 b2x0x2y2 中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,2; abay0 在椭圆b2x0x2y2 在双曲线中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2; abay0 在抛物线中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k= 高二圆锥曲线例题分析 4 2p。 y0 x2 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最例1、F1、F2是椭圆4 大值是 (解: 、 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线交于A、B两点， 例2M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程( 解:由题意，设椭圆方
8、程为，由，得， ，?， ，?， xMa4 x2 为所求( ?4 y2 上两点A、B，AB中点M(1，2)例3 设双曲线，求直线AB方程; 22 解:方法一: 显然AB斜率存在设AB:y-2=k(x-1) 由得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k- 当?>0时，设A(x1,y1)，B(x2,y2) 则 ? 直线AB:? k=1，满足? 法二:设A(x1,y1)，B(x2,y2)则两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)=(y1- ? AB:得: ? x1?x2? ? 代入? 评注:法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验
9、条件?>0是否成立。 5 例4. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=3，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、2 Q两点，|PQ|=20，且OP?OQ，求此椭圆的方程. 9 x2y2 解:设椭圆方程为2+2=1,(a>b>0) ab b2b2 ?PQ?x轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP?OQ，?|OF|=|FP|,即c=?ac=a2-c2,aa ?e2+e-1=0,?与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴. 22 41,?a2=c2,b2=c2, 332?PQ?y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),?e= 所以椭圆方程可化为:3x2+1
10、2y2-4c2=0,将PQ方程代入， 得(3+12k)x+24kcx+12kc-4c=0,? )202由|PQ|=得? ?OP?OQ,?yy1?2= -1即x1x2+y1y2=0,?(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0? x2x1 2把，x1x2代入，解?得k= 代入?解得c=3 1111x2 224422，把2?a=4,b=1，则所求椭圆方程为+y=1. 4 例5. 双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，B两点的坐标;若不存在，说明理由. 试求出A、解:设AB:m,代入双曲线方程得 这里?,=16(2m2+11),0恒成立， 12m12
11、m4m，? 若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上， 112m4m?得m=1，由双曲线的对称性知，直线与双曲线的交点的A、B必关21111设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则 6 于直线y=2x对称. ?存在A、B且求得A(2 ， )，1 ) x2 上的点到直线的距离的最小值( 例6、求椭圆3 解:方法一: 方法二: 设椭圆上的点为， 则距离为( 当时，d最小值( 例7、设x，求的最大值和最小值( 分析:本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致( 设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值( 7 x2y2
12、 ( 、1714714 综上所述，P点与P1重合时，重合时，取最小值，P点与P2取最大值例9、设椭圆ax2，by2,1与直线x，y,1,0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|,22，OC的斜率为2 2 ，by2,1，解:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组 的解( ，y,1, 222由ax21，by1,1，ax2，by2,1，两式相减，得 a(x1，x2)(x1,x2)，b(y1，y2)(y1,y2),0， y1,y2,1， x1,x2 8 y1，y2a,， x1，x2b 即2yaya2,，所以b2a.? 2xCbxCb2 再由方程组消去y得(a，b)x2,
13、2bx，b,1,0， 由|AB|,(x1,x2)，(y1,y2),2(x1,x2) ,2(x1，x2),4x1x2,2， b,12b2得(x1，x2)2,4x1x2,4，即(),4.? a，ba，b 12由?解得a,b， 33 x22y2 故所求的椭圆的方程为,1. 33 例10、给定抛物线C:y2,4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点( 的值; (1)求OA? 设AF,FB，当?OAB的面积S?2，5 时，求的取值范围( 解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)， 设直线l的方程为x,my，1， 将其与C的方程联立，消去x可得y2,4my,4,0. 设
14、A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y1>0>y2)， 则y1y2,4. 2因为y21,4x1，y2,4x2， 12所以x1x2y2y,1， 1612 ,x1x2，y1y2,3. 故OA? 因为AF,FB， 所以(1,x1，,y1),(x2,1，y2)， ,x1,x2,， ?即,y1,y2， ? 又y21,4x1， ? y22,4x2， ? 1由?消去y1，y2后，得到x1,2x2，将其代入?，注意到>0，解得x2,.从而可 得y22，y1,2， 9 11故?OAB的面积S,|OF|?|y1,y2|,， 2 11?2，?5即可， 因，3,53，522 例11、
15、已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|，动点P满足AP ,8,PB，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q. 5 (1)求曲线C的方程; (2)求?OPQ面积的最大值( 解:(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)， 则,(x,a，y)，,(,x，b,y)， x,a,3?,， ，?a, ，b,8 y,33. 5(b,y). 88，?x2y2 (二)空间与图形又|AB|,a，b,25，9,1. x2y2 点在圆上 d=r;?曲线C的方程为25，9,1. x2 (1)可知，M(4,0)为椭圆y2 tanA没有单位，它表示一个比值，即直角
16、三角形中A的对边与邻边的比；(2)由2591的右焦点， 设直线PM方程为x,my，4， 定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;由，9,1， 消去x得 ,my，4， (1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)(9m2，25)y2，72my,81,0， ?|y,y(72m)，4(9m，25)81PQ|,9m，25,m，1 8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。9m，2590m?S1，1?OPQ,2|OM|yP,yQ|,29m，25m，1m,，120 m22521616 增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。9m，1，9m，1，9m，1 10 156.46.10总复习4 P84-9082 2015?,3 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。当m，116 m，1 715即m,时，?OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x7y,12,0. 32 23.53.11加与减（一）4 P4-1211