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1、3 双_曲_线31双曲线及其标准方程 双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|MB|MA|34031 020(m)问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？提示：始
2、终满足|MB|MA|1 020.双曲线的定义定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线焦点定点F1，F2叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言PM|2a,02a|F1F2|双曲线的标准方程上述问题中，设|AB|1 6002c, |MA|MB|1 0202a.问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？提示：(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？提示：(c2a2)y2a2x2a2(
3、c2a2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)；F2(c,0)F1(0，c)；F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b21双曲线定义中2a(02ab不一定成立c2a2b2与椭圆中的a2b2c2不同 双曲线的标准方程例1根据下列条件求双曲线的标准方程(1)求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程思路点拨用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义
4、求解精解详析(1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程得1，又a2b29，解得a25，b24.双曲线的标准方程为1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，3)，F2(0,3)且A(4，5)在双曲线上，则2a|AF1|AF2|2，a，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)因为M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以解得若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)同理有解得(不合题意，舍去)所以所求
5、双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0)将点M(1,1)，N(2,5)代入上述方程，得解得所以所求双曲线的标准方程为1.一点通求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程(2)用待定系数法，具体步骤如下：1已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：由题意知椭圆C1的两个焦点为(3,0)，(3,0)设曲线C2的标准方程为1(a0，b0)，则有a2b29，且2a4.a2
6、4，b25，故选A.答案：A2已知双曲线经过点P(3,2)和点Q(6，7)，求该双曲线的标准方程解：设所求双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0，b0)，所以所以所求的双曲线的标准方程为1.曲线类型的判定例2已知曲线C：1(t0，t1)(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点思路点拨方程Ax2By21表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论精解详析(1)当|t|1时，t20，t210，且t2t21，曲线C为椭圆；当|t|0，t211时，曲线C是椭圆，且t2t21，因此c2a2b2t2(t21)1，焦点为F1(
7、1,0)，F2(1,0)当|t|0，B0，且AB；表示双曲线的充要条件为AB0，若A0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的4已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，则当a3和a5时，P点的轨迹是()A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线解析：由题意，|F1F2|10，当a3时，|PF1|PF2|2a610，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a5时，|PF1|PF2|10|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点
8、沿x轴向右的一条射线答案：C5若方程1表示双曲线，则实数m满足()Am1且m3 Bm 1Cm或m D3m1解析：因为方程1表示双曲线，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故选C.答案：C双曲线的定义及应用例3若F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积思路点拨欲求F1PF2的面积，可考虑用|PF1|PF2|sinF1PF2求解，只要求出F1PF2的正弦值即可而F1PF2的三边中，|PF1|PF2|6，|F1F2|10，故可考虑用余弦定理求解精解详析由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此
9、式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.一点通双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用6已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2B4C6D8解析：不妨设点P在双曲线的右
10、支上，所以|PF1|PF2|2a2，|F1F2|2c2，又因为F1PF260，所以在F1PF2中利用余弦定理可知：|F1F2|2(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|4，故选B.答案：B7在ABC中，|BC|2且sin Csin Bsin A，求点A的轨迹方程解：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(1,0)，C(1,0)设A(x，y)，由sin Csin Bsin A及正弦定理可得|AB|AC|BC|10，b0)2a1,2c2，a，c1，b2c2a2，双曲线方程为4x21.|AB|AC|10，x，点A的轨迹方程是4x21.1用定
11、义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置 1双曲线1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A1或21B14或36C2 D21解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|11，根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2a10，所以|PF2|1或|PF2|21，而1ca752，故舍去|PF2|1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.答案：D2与椭圆y21共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是()A.y21 B.y21C.1 Dx21解析：c2413，共同焦点坐标为(，0)，设双曲线方程为1(a0，
12、b0)，则由解得双曲线方程为y21.答案：A3k2是方程1表示双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：k2方程1表示双曲线，而方程1表示双曲线(4k)(k2)0k4/ k0，b0)3双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2a2b2. 双曲线的简单性质例1求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程思路点拨先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质精解详析将双曲线方程4x2y24化为标准方程x21，a1，b2，c.因此顶点为A1(1,0)，A2(1,0)；焦
13、点为F1(，0)，F2(，0)；实半轴长是a1，虚半轴长是b2；离心率e；渐近线方程为yx2x.一点通由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案1(福建高考)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C1 D.解析：双曲线x2y21的渐近线为xy0，顶点坐标为(1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.答案：B2求双曲线16x29y2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解：把方程化为1，a4，b3，c5.实半轴长a
14、4，虚半轴长b3，焦点坐标(0，5)，(0,5)；离心率e，渐近线方程为yx.利用双曲线的性质求双曲线方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)实轴长为16，离心率为；(2)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)思路点拨由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值精解详析(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2a16，c2a2b2，解得c10，a8，b6，所以双曲线的标准方程为1或1.(2)设双曲线方程为：1(a0，b0)由已知得a，c2，b2c2a21.双曲线的标准方程为：y21.一点通根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法首
15、先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程3已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且它的离心率为，则该双曲线的方程为()Ax2y250 Bx2y224Cx2y250 Dx2y224解析：因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，分别为(0，4)和(0,4)，因为双曲线的离心率为，所以，所以a2，b2，所以双曲线的方程为y2x224，即x2y224.答案：D4(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3，2)的
16、双曲线方程解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)依题意可得故所求双曲线方程为y2x21.(2)设所求双曲线方程为1(a0，b0)e，e21，.1，解得所求的双曲线方程为1.求双曲线的离心率例3已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，求双曲线C的离心率思路点拨确定四边形中为60的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率精解详析设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，由于在双曲线中cb，故在RtOF1B2中，只能是OF1B230，所以tan 30，cb，所以ab，离心率e.一点通双曲线1(a0，b0)中有三类特殊点：焦点(c,0)、顶点(a,0)
17、、虚轴的两个端点(0，b)求双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a，c的关系在用几何图形给出的问题中，要善于利用几何图形的性质分析解决5若双曲线x2ky21的离心率是2，则实数k的值是()A3 B.C3 D解析：双曲线x2ky21可化为1，故离心率e2，解得k.答案：D6双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)解析：由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a.又|PF1|2|PF2|，|PF2|2a，|PF1|4a.|PF1|PF2|F1F2|(当P为双曲线右顶点时取等号)，6
18、a2c.3.又e1，10，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为_解析：如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解|F1N|c，|NF2|c.又|NF1|NF2|2a，即cc2a.e1.答案：11由已知双曲线的方程求双曲线的性质时，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错2注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手3椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2By21的形式，当A0，B0且AB时表
19、示椭圆，当AB0时表示双曲线 1设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy2xCyx Dyx解析：由题意知，2b2,2c2，则b1，c，a；双曲线的渐近线方程为yx.答案：C2双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()AB4C4D.解析：双曲线标准方程为：y21，a21，b2.由题意b24a2，4，m.答案：A3双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由方程组得a2，b2.双曲线的焦点在y轴上，双曲线的标准方程为1.答案：B4双曲线1(a0，b0)的左
20、，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意，得|F1F2|2c，|MF2|c，|MF1|c.由双曲线定义得|MF1|MF2|c2a，所以e.答案：B5双曲线1的离心率为e，e(1,2)，则k的取值范围是_解析：由题意知k0，且a2，c，12，解得12k0，b0)e，2即a2b2.又过点P(3，)有：1，由得：a2b24，双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)同理有：a2b2，1，由得a2b24(不合题意，舍去)综上所述，双曲线的标准方程为1.(2)由椭圆方程1
21、，知长半轴a13，短半轴b12，半焦距c1，所以焦点是F1(，0)，F2(，0)因此双曲线的焦点也为(，0)和(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)由题设条件及双曲线的性质，有解得即双曲线方程为y21.8已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1k
22、MF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.对应学生用书P33一、圆锥曲线的定义1椭圆：平面内到两定点F1，F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合2抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合3双曲线：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F1F2|)的点的集合圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源
23、”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略二、圆锥曲线的标准方程与简单性质1圆锥曲线的标准方程：椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式2圆锥曲线的简单几何性质：(1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴(3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点(4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同(5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化是解题的重要依据三、轨迹方程的问题
24、求轨迹方程的几种常用方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式(3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义，则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可
25、得动点轨迹的普通方程四、直线与圆锥曲线位置关系1直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题2这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法”，解决问题的过程中，要注意“整体代换”思想的应用(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C
26、(4,0) D(4,0)解析：抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(2,0)答案：B2若椭圆1的焦点在y轴上，则m的取值范围是()A(，1) B(0,1)C(0，) D(，)解析：由题意得3m0,2m10且2m13m，解得0m1.答案：B3设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|PF1|()A. B2C. D2解析：设点P(x，y)，由0，得点P满足在以F1F2为直径的圆上，即x2y210.又2PO(2x，2y)，|2.答案：B4直线l：x2y20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：直线l与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0
27、,1)由题意知c2，b1，a，e.答案：D5以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()Ay216x By216xCy28x Dy28x解析：因为双曲线1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y216x.答案：A6一动圆P与圆O：x2y21外切，而与圆C：x2y26x80内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()A双曲线的一支 B椭圆C抛物线 D圆解析：圆C的方程即(x3)2y21，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.圆P与圆O外切而与圆C内切，R1，且|PO|R1，|PC|R1，又|OC|3，|PO|PC|2b0)，则a3，c，b2，所以椭圆C的方程为1.答
28、案：112已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a8，那么ABF2的周长是_解析：由双曲线的定义|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，|AF2|BF2|AB|4a，ABF2的周长为4a2|AB|26.答案：2613(江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解：由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线1的交点为A，B，|AB|2 ，由ABF为等边三角形，得|AB|p，解得p6.答案：614以下是关于圆锥曲线的命题：设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|PB|k，则
29、动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP(OAOB)，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：对于，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于，显然成立答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知抛物线y22px(p0)的准线过双曲线1的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点(1)
30、求抛物线的方程；(2)求双曲线的方程解：(1)把M代入方程y22px，得p2，因此抛物线的方程为y24x.(2)抛物线的准线方程为x1，所以F1(1,0)，双曲线的右焦点为F(1,0)，于是2a|MF1|MF|，因此a.又因为c1，所以b2c2a2，于是，双曲线的方程为1.16(本小题满分12分)已知直线yx与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若2，求椭圆的标准方程解：如图，由已知设椭圆的标准方程为1(ab0)，F1(c,0)，F2(c，0)，则M点的横坐标为c.M点的坐标为.，.c2.由已知得c22，c2.又在RtMF1F2中，|F1F2|4，|MF2|，|MF1|3.2a|MF1|MF2|4.a2.b24.所求椭圆的标准方程为1.17(陕西高考)(本小题满分12分)设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入C的方程得1