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1、1.如图，巳知 ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证:（1） FD/平面 ABC;（2） AF1 平面 EDB.解；取AB的中点M,连FM,MC, / F、M分别是BE、BA的中点 .,FM II EA, FM= EA EA、CD都垂直于平面ABC.CD/EA/- CD II FM 又DC=a,.FM=DC 二.四边形FMCD是平行四边形 FD II MCFD II 平面 ABC（2）因M是AB的中点，aABC是正三角形，所以CM1AB 又 CM1AE,所以 CM,面 EAB, CM1AF, FD1AF,因F是BE的中点，EA=AB
2、所以AF1EB.2、巳知四棱锥P-ABCD（如图所示）的底面为正方形，点A是点P在底面AC上的射影,PA=AB=a S是PC上一个动点.1 ）求证：（4 分）2）当第8。的面积取得曷小值时，求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小.（10分） 1）证明：连接AC.点A是点P在底面AC上的射影,（1分）PA 面AC.（2分）PC在面AC上的射影是AC.正方形ABCD中,BD AC,（3分）ABD PC.（4 分）2）解:连接OS.VBD AC,BD PC,又AC、PC是面PAC上的两相交直线，ABD 面 PAC. （6 分）VOS 面 PAC,ABD OS.（7 分）正方形ABCD的边长为a,
3、BD=j （8分）BSD的面积S=些段=.（9分）OS的两个端点中，。是定点，S是动点.二当臬8初取得累小值时，OS取得晟小值，即OS PC.（10分）PC BD, OS、BD是面BSD中两相交直线,/.PC 面 BSD. (12 分)又 PC 面 PCD, /.BSD 面 PCD. (13 分).二面BSD与面PCD所成二面角的大小为90(14分)4、在三棱锥尸一/夕。中，43_147,乙4。8 = 60,24 =用=尸6；点尸到平面月夕。的距3离为弓AC.1 求二面角尸一月CB的大小；2 若AC = ，求点3到平面Q4c的距离.解：1 由条件知月BC为直角三角形，且NA4C=90 , ,:
4、 PA = PB= PC,点尸在平面/6C上的射影是月ec的外心， 即斜边4C的中点E.取力。中点。，连PD, DE, PE.,阻L 平面DE1AC DEWAB , AC LPD.Z也应为二面角尸一月C一夕的平面角.3J3, n又 PE=、AC, DE= - AC , (v ZACB = 60)3=/3 ,PE :. tan/PDE =DEN PDE = 60 . 故二面角产一/。一3的大小为60 .5.如图，边长为2的等边RSD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC= 2JI, 为6C的中点.(I )证明：AM1PM；(n)求二面角产一 am-。的大小;(m)求点。到平面amp的距离.
5、解：(I) .四边形ABCD是矩形ABC1CD平面PCD 1平面ABCD .BC1 平面 PCD2而PC u平面PCDABC1PC同理AD1PD p在 RtZPCM 中，PM= yiMC? + PC? = J(V5)2 + 22=J5A同理可求PA= 2, AM=而/. AM2 + PM2 = PA15分/ 后 ：.Z PMA=90 0/ D即 PM 1AM6 分/(n)取CD的中点E,连结PE、EM/PCD为正三角形/. PEI CD, PE=PDsin/ PDE=2sin60平面PCD 1平面ABCDAPE1YW ABCD由(I)可知PM1AMA EM 1AM8分/. Z PME是二面角P
6、-AM-D的平面角/. sin Z PME=/PME=45二面角P-AM D为457、(本小题满分14分)在直三棱柱ABCAiB 中，AB=BC=CA=fl , AA=缶(I)求AB1与侧面CB1所成的角；(4分)(II)若点P为侧棱AAl的中点，求二面角P-BC-A的大小；(5分) (DI)在(II)的条件下，求点A到平面PBC的距离.解： 取BC中点D,连结AD,B】D.三棱柱ABC-AiB1C1是直棱柱.侧面CB】_L底面ABC,且交线为BC1分ABC为等边三角形.AD1BC,.从口上面CB】 二NABQ为AB1与侧面CB1所成的角2分在 RtaADBi 中.AD=g, ABi =+ A
7、B2 = yjla2+a2 =2An .sin/ABD=ZAB1D=30(II)连结 PB,PC,PD,PA1底面ABC AD1BCAPD1BC/. ZPDA为二面角P-BC-A的平面角在 RtAPADtanZPDA=Z PD A=arctanin)设点A到平面PBC的距离为h,则由_八敏=匕_碗得5趾21 = 58/?.J?=又皿, , S、PBCPB2 = PA2 + AB2 = (g)2 + / = |6/2 PD =收一(与=铮SAPHC =-BC PD =,： s”BC106、如图，四面体ABCD中，。、E分别是BD、BC的中点,CA = CB = CD = BD = 2. AB =
8、 AD = 0(I)求证：AO _L平面BCD;(ID求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦值；(I)证明：连结OCBO = DO、AB = AD,. AO J_ BD. BO = DO、BC = CD.:. CO J_ BD.在AAOC中，由巳知可得AO = 1,CO = J?而AC = 2, AO2 +CO2=AC：. ZAOC = 90“，即 AO _L OC./ BDCOC = O,. AO平面BCD(II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知MEAB, 0EDC 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OWE中，EM =-AB = .OE = -DC = , 222OM是直角AAOC斜边AC上的中线，.二OM = 1 AC = 1,2cqsZ-OEM = ,4