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1、中学高一数学必修一各章知识点总结高一数学必修一各章知识点总结高中高一数学必修 1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫 元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1. 元素的确定性; 2. 元素的互异性; 3. 元素的无序性 说明: (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一 个集合时，仅算一个元素。 (3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需 比较
2、它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3 、集合的表示: 如 我校的篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合: A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2 (集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作: N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于 “ 属于 ” 的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示， 如: a 是集合 A 的元素， 就说 a 属于集 合 A 记作 a ? A ，相反， a 不属于集
3、合 A 记作 a? A 列举法:把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。?语言描述法:例: 不是直角三角形的三角形 ?数学式子描述法:例:不等式 x-32 的解集是 x? R| x-32 或 x| x-32 4 、集合的分类: 1 (有限集 含有有限个元素的集合 2 (无限集 含有无限个元素的集合 3 (空集 不含任何元素的集合 例: x|x2= , 5 , 二、集合间的基本关系 1.“ 包含 ” 关系 子集 注意: 有两种可能( 1 ) A 是 B 的一部分，;(
4、 2 ) A 与 B 是同一集合。 反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A 2 ( “ 相等 ” 关系 (5?5 ，且 5?5 ，则 5=5) 实例:设 A=x|x2-1=0 B=- 1,1 “ 元素相同 ” 结论:对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素， 同时 , 集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B ， 即: A=B ? 任何一个集合是它本身的子集。 A A ?真子集 : 如果 A B, 且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B( 或
5、 B A) ?如果 A B, B C , 那么 A C ? 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1 ( 交集的定义: 一般地， 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集( 记作 A?B( 读作 ”A 交 B”) ，即 A?B=x|x ? A ，且 x ? B ( 2 、 并集的定义: 一般地， 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合， 叫做 A,B 的并集。记作: A ? B( 读作 ”A 并 B”) ，即 A ? B=x
6、|x ? A ，或 x ? B ( 3 、交集与并集的性质: A?A = A, A?= , A?B = B?A ， A ? A = A, A ? = A ,A ? B = B ? A. 4 、全集与补集 ( 1 )补集:设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集(即 )，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作: CSA 即 CSA =x | x? S 且 x? A S CsA A ( 2 )全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 ( 3 )性质:? CU(C UA)=A ?
7、(C UA)?A= ? (CUA) ? A=U 二、函数的有关概念 1 (函数的概念:设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对 于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么 就称 f : A?B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(记作: y=f(x) ， x ? A (其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合 f(x)| x ? A 叫做函数的值域( 注意: 2 如果只给出解析式 y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即 是指
8、能使这个式子有意义的实数的集合; 3 函数的定义域、 值域要写成集合或区 间的形式( 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域， 求函数的定义域时列不等 式组的主要依据是: (1) 分式的分母不等于零; (2) 偶次方根的被开方数不小于零; (3) 对数式的真数必须大于零; (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各 部分都有意义的 x 的值组成的集合 . ( 6 )指数为零底不可以等于零 (6) 实际问题 中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ( 又注意:求出不等式组的解集即
9、为函数的定义域。 ) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:( 1 )构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域(由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致， 即 称这两个函数相等(或为同一函数)( 2 )两个函数相等当且仅当它们的定义域 和对应关系完全一致， 而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方 法:?表达式相同;?定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) ( 见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都 应先考虑其定义域 . (2). 应熟悉掌握一次函数、二
10、次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1) 定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ? A) 中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x ? A) 的图象( C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一 组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , x ? A 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ),
11、也可能是由与任意平行与 Y 轴的 直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A 、描点法:根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B 、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用: 1 、直观的看出函数的性质; 2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解 题的速度。 发现解题中的错误。 4 (快去了解区间的概念 ( 1 )区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;( 2 )无穷区间;( 3 )
12、区 间的数轴表示( 5 (什么叫做映射 一般地，设 A 、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于 集合 A 中的任意一个元素 x ， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么 就称对应 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f : A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 a ? A,b ? B. 且元素 a 和元素 b 对应，那么， 我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，?集合A 、 B 及对应法 则 f 是确定的;?对应法则有 “ 方向性
13、” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与 从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ?对于映射 f : A?B 来说， 则应满足: (?) 集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的;(?)集合 A 中不同的元素，在集合 B 104.305.6加与减（二）2 P57-60中对应的象可以是同一个;(?)不要求集合 B 中的 每一个元素在集合 11.利用三角函数测高A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判 |a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；
14、断一个图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; 六、教学措施：3 图 3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的 (5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.特征; 94.234.29加与减（二）4 P49-564 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征(注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量 （3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25 (5)直角三角形的内切圆半径)