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1、初中(资料) 一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点修订一次函数一、定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即:y=kx (k为常数，k?0)二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1(作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(
2、通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2(性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。3(k，b与函数图像所在象限: 当k,0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k,0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b,0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b,0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k,0时，直线只通过一、三象限;当k,0时，直线只通过二、四象
3、限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b ? 和 y2=kx2+b ? (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用: 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式: 1.求函数图像
4、的k值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2 4.求任意线段的长:?(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a?0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2
5、 +k的图象; 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，开口向上，当a0，当x ? -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ? -b/2a时，y随x的增大而增大(若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)的两根(这两点间的距离AB=|x?-x?|当?=0(图象与x轴只有一个交点; 当?0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有
6、y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(a0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a( 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值(6(用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式: y=ax2+bx+c(a?0)( (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k(a?0)( (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a?0)( 7(二次函数知识很
7、容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现(反比例函数 形如 y,k,x(k为常数且k?0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质: 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为?k?。如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。 当K,0时，反比例函数图像经过一，三象
8、限，是减函数 当K,0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 知识点: 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。 2.对于双曲线y,k,x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y,k,(x?m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 对数函数 对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的
9、指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1，0)这点。 (4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 指数函数 指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的
10、区间，因此我们不予考虑。(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7) 函数总是通过(0，1)这点。 (8) 显然指数函数无界。 奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数 1(定
11、义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=,f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明: ?奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ?奇、偶函数
12、的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析:判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ?判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2(奇偶函数图像的特征: 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。f(x)为奇函数,f(x)的图像关于原点对称点(x,y)?(-x,-y)奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算 (1) .
13、 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. 94.234.29加与减（二）4 P49-56(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. tanA不表示“tan”乘以“A”；定义域 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x
14、属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 值域 名称定义 (二)教学难点函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 2.正弦：常用的求值域的方法 (1)化归法; (4)直线与圆的位置关系的数量特征:(2)图象法(数形结合)， 1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是
15、要介绍这些方法。(3)函数单调性法， 五、教学目标：(4)配方法， 104.305.6加与减（二）2 P57-60(5)换元法， (6)反函数法(逆求法)， (7)判别式法， (8)复合函数法， (9)三角代换法， (10)基本不等式法等 10.圆内接正多边形关于函数值域误区: 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。第二章 二次函数“范围”与“值域”相同吗,