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1、第三部分 专 题 探 究,数学 九年级 全一册 配人教版,专题四 分类讨论专题,考点突破,考点一： 与等腰三角形有关的分类讨论【例1】如图3-4-1，抛物线y=ax2+bx+6 （a0）与x轴交于点A（2，0）和点B（-6，0），与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使CMP为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.,解：（1）由题意，得 解得故抛物线的解析式为y=- x2-2x+6.,（2）抛物线的解析式为y=- x2-2x+6， 它的对称轴为直线x=-2. 设点P坐标为（-2，t）. 当x=0时，y=6，C（0，6）. M（-
2、2，0）， CP2=(-2)2+(t-6)2,PM2=t2,CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40 当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2. 解得t= 点P的坐标为P1,当CM=PM时，40=t2.解得t=2 . 点P的坐标为P2（-2，2 ） 或P3（-2，-2 ）. 当CM=CP时，40=（-2）2+（t-6）2. 解得t=0 (舍去) 或t=12. P点坐标为P4（-2，12） 综上所述，符合条件的点P的坐标为P1或P2（-2，2 ）或P3（-2，-2 ）或P4（-2，12）.,变式诊断,1. 如图3-4-2，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）,B（3，0）两点，与y轴交于点
3、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.,解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+3.将A(-1,0),B(3,0)代入,得 解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,（2）存在点P，使得PDC是等腰三角形由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，得点D坐标为（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1.若以CD为一腰，PD=CD，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐
4、标为（2，3）;,若以CD为底边，则PC=PD.设点P坐标为（x，y）.则x2+（3-y）2=（x-1）2+（y-4）2.整理，得y=4-x又点P（x，y）在抛物线上，4-x=-x2+2x+3，即x2-3x+1=0.解得x1= ，x2= 1 （不合题意，舍去）.x= ，y=4-x=即点P的坐标为综上所述,符合条件的点P的坐标为（2，3）或,考点突破,考点二: 与圆有关的分类讨论【例2】已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的直径是 _.,6或4,变式诊断,2. 若点P到O的圆周上的最大距离为8 cm，最小距离为2 cm，则O的半径为 _.,5 cm或3 cm,考点突破,【例
5、3】在半径为1的O中，弦AB,AC的长分别为1和 ，则BAC的度数为 _.,15或105,变式诊断,3. 半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 _.,60或120,考点突破,【例4】已知圆的半径为13 cm，两弦ABCD，AB=24 cm，CD=10 cm，则两弦AB，CD的距离是 _.,7 cm或17 cm,变式诊断,4. 如图3-4-3，O的直径为10 cm，弦AB为6 cm，点P为弦上的一动点，若OP的长为整数，则OP的可能值是 _.,4 cm或5 cm,考点突破,考点三：与相似有关的分类讨论【例5】 如图3-4-4，一张直角三角形纸片ABC，C=90
6、，AC=8，BC=6，现将三角形纸片对折，使点A落在BC边上，且要求折后的重合部分与原来的ABC相似，折痕分别交AC，AB于点D,E，求折痕DE的长.,解：分以下两种情况. 如答图3-4-1，当DEBC时，则点A落在点C上， AD=CD. DE= BC=3.,如答图3-4-1，当DE在AB的垂直平分线上，点A落在点B上，连接BD. ADEBDE， AE=BE= AB=5，AD=BD. 设CD=x，则AD=BD=8-x. 在RtBCD中，BD2=CD2+BC2， 即（8-x）2=x2+36. 解得x= . CD= . AD=BD=8-在RtBDE中，DE=,变式诊断,5. 如图3-4-5，在AB
7、C中，C=90，BC=8 cm，ACAB=35，点P从点B出发沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点B,C同时出发，则经过多少秒时，以点C，P,Q为顶点的三角形恰与ABC相似？,解：设经过x s时，以点C,P,Q为顶点的三角形恰与ABC相似.C=C=90，要使以点C,P,Q为顶点的三角形恰与ABC相似，只要满足 就行.由题意，可求得AC=6(cm)，AB=10（cm）,代入,得 解得x=2.4或x= . 答：经过2.4 s或 s时，以点C,P,Q为顶点的三角形恰与ABC相似.,基础训练,6. 在半径为1的O中，弦AB，AC
8、分别是 和 ，则BAC的度数为 _. 7. 已知ABC内接于O，OBC=35，则A的度数为 _.,75或15,55或125,8. 如图3-4-6，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，求满足条件的AP的长.,解：分两种情况：若PADPBC，则PAPB=ADBC=23.又PA+PB=AB=7，AP=725=2.8.若PADCBP，则PABC=ADBP，即PAPB=23=6，又PA+PB=AB=7，PA,PB是一元二次方程x2-7x+6=0的两根，解得x1=1，x2=6.AP=1或6. 综上，可知AP=2.8或1或6.,9. 已知关于x的一元二次方程
9、kx2+2（k+4）x+（k-4）=0.（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若等腰ABC的一边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长.,解：（1）关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0有实数根，=2（k+4）2-4k（k-4）0.解得k 且k0.,（2）若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，=0. =2（k+4）2-4k（k-4）=0.解得k= . 此时原方程化为x2-4x+4=0，x1=x2=2，即b=c=2. 此时ABC的三边为3，2，2能构成三角形，ABC的周长为3+2+2=7.,若a=b（或a=c）为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b
10、=a=3，代入方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0,得k32+2（k+4）3+（k-4）=0.解得k= .x1x2=bc= =3c，c= . 此时ABC的三边为3，3， 能构成三角形，ABC的周长为3+3+ = 综上所述，ABC的周长为7或,拓展提升,10. 已知在圆的内接ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为6 cm，圆的半径为10 cm，求腰AB的长.,解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论.如答图3-4-2，当圆心在ABC内时，连接OA. OD=6 cm，OB=10 cm，BD=8 cm. ODBC，根据垂径定理和等腰三角形的性质，可得ADBC，AD=10+6=16(cm).AB= (cm）.,如答图3-4-2，当圆心在ABC外时和答图3-4-2解法一样，只是AD=10-6=4(cm），AB= (cm）.,11. 如图3-4-7，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，PBBF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，求BM的长.,解:四边形ABCD为正方形，PBBF，ABC=PBF=90. ABP+PBC=PBC+CBF. ABP=CBF.当ABPCBM时，则有 解得BM=3. 当ABPMBC时，则有 解得BM=综上所述，BM的长为3或,