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1、【高一数学】高中数学学习必备的初中知识技能(3.第三讲 一元二次方程根与系数的关系)（共7页）第三讲 一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用(本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述( 一、一元二次方程的根的判断式 2一元二次方程，用配方法将其变形为: axbxca，,0 (0)2bbac,42 ()x，,22a4a2(1) 当时，右端是正数(因此，方程有两个不相等的实数根: bac,402,bbac4 x,2ab2(2) 当时，
2、右端是零(因此，方程有两个相等的实数根: x,bac,401,22a2(3) 当时，右端是负数(因此，方程没有实数根( bac,4022由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况(因此，把叫bac,4bac,422做一元二次方程的根的判别式，表示为: axbxca，,0 (0),bac4【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数: 222 (1) (2) (3) 4912yy，,5(3)60xx，,2310xx,，,2解:(1) ，? 原方程有两个不相等的实数根( (3)42110,，,2 (2) 原方程可化为: 41290yy,，,2 ，? 原方程有两个相等的实数根( (12)449
3、0,，,2 (3) 原方程可化为: 56150xx,，,2 ，? 原方程没有实数根( (6)45152640,，,说明:在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式( 2【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的x320xxk,，,k范围: (1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根; (4) 方程无实数根( 2解: ,，,(2)43412kk11 (1) ; (2) ; 4120,kk4120,kk3311 (3) ; (4) ( 4120,kk4120,kk3322 【例3】已知实数、满足，试求、的值( yyxxyxyxy
4、，,，,，,210x解:可以把所给方程看作为关于的方程，整理得: x22 xyxyy,，,，,(2)10由于是实数，所以上述方程有实数根，因此: x222， ,，,(2)4(1)300yyyyy2代入原方程得:( xxx，,2101综上知: xy,1,0二、一元二次方程的根与系数的关系 2 一元二次方程的两个根为: axbxca，,0 (0)22,，,bbacbbac44 xx,22aa22,，,bbacbbacb44 所以:， xx，,，,1222aaa22222,，,bbacbbacbbacacc44()(4)4 xx,122222aaa(2)4aa2 定理:如果一元二次方程的两个根为，那
5、么: xx,axbxca，,0 (0)12bc xxxx，,1212aa说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”(上述定理成立的前提是( ,02【例4】若是方程的两个根，试求下列各式的值: xx,xx，,220070121122 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ( (5)(5)xx,|xx,xx，121212xx12分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算(这里，可以利用韦达定理来解答( 解:由题意，根据根与系数的关系得: xxxx，,2,200712122222(1) xxxxxx，,，,()
6、2(2)2(2007)4018121212xx，1122,12(2) ，,xxxx,200720071212(3) (5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx,，,，,121212222(4) |()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx,，,12121212说明:利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形: xx，112222212， xxxxxx，,，,()2()()4xxxxxx,，,，,121212121212xxxx1212222， |()4xxxxxx,，,xxxxxxxx，,，()12121212121212333等等(韦达定理体现了整体思想
7、( xxxxxxxx，,，,，()3()12121212122【例5】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的xkxkxk,，,(1)104值( (1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根满足( xx,|xx,1212分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能，一是，二是，xx,0,xx1212所以要分类讨论( 解:(1) ?方程两实根的积为5 1,22,，,，,(1)4(1)0kk,3,4 ? ,kk,4,122,xxk,，,1512,4所以，当时，方程两实根的积为5( k,4(2) 由得知: |xx,123 ?当时，所以方程有两相等实数根，故; x,0xx,0k1122?
8、当时，由于 x,0,，,，,xxxxkk0101112123 ，故不合题意，舍去( k,1,0k23 综上可得，时，方程的两实根xx,满足|xx,( k,12122说明:根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足( ,02【例6】已知是一元二次方程的两个实数根( xx,4410kxkxk,，,123 (1) 是否存在实数，使成立,若存在，求出的值;kk(2)(2)xxxx,12122若不存在，请您说明理由( xx12 (2) 求使的值为整数的实数的整数值( ，,2kxx213解:(1) 假设存在实数，使成立( k(2)(2)xxxx,12
9、1222 ? 一元二次方程的两个实数根 4410kxkxk,，,40k, ? ， ,k0,2,，,(4)44(1)160kkkk,2 又是一元二次方程的两个实数根 xx,4410kxkxk,，,12xx，,1,12, ? ,k，1xx,12,4k,222 ? (2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx,，,，,121212121212k，939 ，但( k,0,k425k3 ?不存在实数，使成立( k(2)(2)xxxx,12122222xxxxxx，()44k121212 (2) ? ，,2244xxxxxxkk，11211212? 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到， k
10、，,11,2,4k，1k,0xx12 要使的值为整数的实数的整数值为,2,3,5( ，,2kxx21说明:(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在( 4 (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法( k，1A 组 21(一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) (1)210,kxxkA( B( C( D( kk,2,1且kk,2,1且k,2k,21122(若是方程的两个根，则的值为( ) xx,2630xx,，,，12xx1219 A( B( C( D( 2,2223(已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA
11、、OB的长分别是关于的方x22程的根，则等于( ) xmxm，,，,(21)30mA( B( C( D( 53或,53或,35224(若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方taxbxca，,0 (0),bac42式的关系是( ) Matb,，(2)A( B( C( D(大小关系不能确定 ,M,M,Mba,11225(若实数，且满足，则代数式的ab,aabb,，,，,850,850ab,，ab,11值为( ) A( B( C( D( 2220或,220或,2026(如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ abc,()()()0bcxcaxab,，,，,27(已知一个直角三角形的两条直角边的长恰
12、是方程的两个根，则这个直2870xx,，,角三角形的斜边长是 _ ( 28(若方程的两根之差为1，则的值是 _ ( 2(1)30xkxk,，,k229(设是方程的两实根，是关于的方程xx,xx，1,1xpxq，,0xqxp，,0x1212的两实根，则= _ ，= _ ( pq210(已知实数满足，则= _ ，= _ ，= _ ( abc,abcab,6,9acb211(对于二次三项式，小明得出如下结论:无论取什么实数，其值都不可xxx,，1036能等于10(您是否同意他的看法,请您说明理由( 1m212(若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的xn,0xmnxmn,，,(2)0n4值( 21
13、3(已知关于的一元二次方程( xxmxm，,(41)210(1) 求证:不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根; 111 (2) 若方程的两根为，且满足，求的值( xx,m，,12xx21212214(已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长( xxkxk,，,(1)104(1) 取何值时，方程存在两个正实数根, k(2) 当矩形的对角线长是时，求的值( 5kB 组 （3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.21(已知关于的方程有两个不相等的实数根( xx,(1)(23)10kxkxk,，,，,x12(1) 求的取值范围; k说明：根据垂径定理与推论可
14、知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数,如果存在，求出的值;如果不存kk在，请您说明理由( 2的方程的两个实数根的平方和等于11(求证:关于的方程2(已知关于xxxxm，,3022有实数根( (3)640kxkmxmm,，,，,（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.223(若是关于的方程的两个实数根，且都大于1( xx,xx,xkxk,，,(21)10x1212函数的取值范围是全体实数；(1) 求实数的取值范围; kx
15、11 (2) 若，求的值( ,kx22点在圆外 dr.第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案 A组 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，1( B 2( A 3(A 4(A 5(A 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。6( acbbc，,2,且7( 3 8( 9或 9( pq,1,3,3等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。10( 11(正确 12(4 abc,3,3,01213( (1)1650 (2),，,mm2314( (1) (2)2kk,21.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。B组 131( (2) 不存在 (1)1kk,且123.确定二次函数的表达式：（待定系数法）2( (1)当时，方程为，有实根;(2) 当时，也有实根( m,1k,3310x，,k,3,033(1) ; (2) ( k,7kk,且14