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1、一堂基于PISA的概念课实录与点评：人教版初中数学七年级下册多边形类比引路 正反互助 一堂基于PISA的概念课实录与点评 “类比是思维的引路人”，在概念教学中若适当利用类比的方式，能有效驱动学生的思维于最近发展区，便于概念的初步构建，然后借助正反例，彼此依托，相互为用，能使概念的理解得到深入.当然这个历程不会一挥而就，需要师生、生生的相互碰撞、彼此争论等成长过程，在历经磨砺后修成“正果”.这也是PISA测试给我们教学的启示. 以下以人教版7年级下多边形第一课时为例做一阐述. 一. 类比引路，辩驳中建构 播放图片，定格图形，学生观察，增进直观. 问题1:图中你能抽象出你认识的几何图形吗, 生:有
2、，有三角形、四边形、五边形、八边形 全体师:四边形、五边形可用一个名称表达，叫, 生:多边形 众师:多边形包含三角形吗, 生:包含，三角形属于多边形， 众问题2:你能类比三角形的概念，给多边形以定义吗, 生1:多条线段首尾顺次相连所构成的图形，叫多边形 生2:不对，应该在同一平面内 师:为什么加这一个条件，而三角形概念中为什么没加, 生2:因为三条线段只要首尾相接就会在同一平面内，而其它多边形不行 师:你能举出一个反例吗, 生2:能，你看(比划着) A. . . .D B C 图1 生3:还不对，还得需要指明不在同一直线上的多条线段 师生:愕然 师:能举一个反例说明吗, 生3(请求板演画图说明
3、):如图1，AB、BC、CD、DA四条线段顺次连接，但没有构成四边形 全体同学鼓掌叫好 师:这个反例举得好，这样多边形该怎样定义呢, 生:在同一平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的众图形称为n边形.三角形是最简单的多边形. 问题3:根据三角形学习获得的经验，同学们估计多边形还需要明确哪些相关概念, 生4:多边形的边、多边形的角、多边形的外角 图2 图3 师:说得好，这其实就是类比的思想在起着作用，由于三角形是一个最基本、最简单的多边形，三角形的相关概念也应该能体现在多边形中 师:如图2，五边形ABCDE(借此说明多边形的表示法:用顶点字母顺次书写，不能跳跃)，谁能借助图形说明
4、五边形的顶点、边、内角、外角, 生5:顶点5个:A、B、C、D、E;边有5条:AB、BC、CD、DE、AE;内角有5个:?A、?B、?C、?D、?E;外角在图里面见不到，得需要做出来. 师(示意上黑板板演): 生5:延长任何一条边(如图3)，延长线与相邻边构成的角就是，这样的角可以作出5个 生6:不对，应该做出10个，不过其中的两两都分别相等 问题4:我们知道，五边形的边是相邻顶点间的线段，从完善的角度思考，还应该研究, 生:不相邻顶点之间的线段 众师:对，这也是我们思考问题的常用方式求和谐.谁能命名这样的线段应该叫什么合适, 生7:斜角线 师(追问):为什么, 生7:因为这些线都斜着 师(发
5、现，画出来的这类线确实都是斜的，感觉有点误导，重新把五边形调整了一下，让BE成水平状，来一个不斜的消除错觉):连接BE，还斜吗, 生8(挠挠头，自己否定):看来这个名字不合适 师:谁再说说, 生9:可以叫对接线吗, 师:理由, 生9:因为这些线所连结的两个顶点不相邻，而是相对，所以才这样猜的 师:同学们感觉如何, 生:可行 众师:说法确实合理，但为了表述更加明确，数学上称之为“对角线” 生(心有灵犀，点头称是) 众师:这是一般多边形不同于三角形的一个地方，自然也成了我们今天研究的重点.(师板书:对角线) (点评:教学至此多边形的相关概念在类比的引领下已经悉数出场了执教者营造环境诱使学生观察、表
6、述、画图、举例相互辩驳思维联动各个概念在执教者的组织下形成并得以强化.) 问题5:从一个顶点出发，4边形有多少条对角线,分成多少三角形,5边形,6边形,n边形, (师组织小组讨论) 讨论结果:1条，2个三角形;2条，3个三角形;3条，4个三角形;从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，分成(n-2)个三角形. 师:你能确定一个n边形一共有多少条对角线吗, 讨论结果:n 边形共有 条对角线 ,点评:问题5不但巩固、深化了对对角线的认识揭示出多边形对角线条数的一般结论更重要的是为下一节课探寻多边形的内角和作了孕伏这种瞻前顾后的“大局”意识非常重要彰显出执教者的教学“大气”., 二、四条线段足以
7、撑起四边形吗, 问题1:任意给出三条线段，能否构成三角形, 生:不能，需要满足三边属性任意两条线段的和大于第三条线段，否众则，不能构成 师:举个例子说明一下，好吗, 生10:长分别1，2，4的三条线段就不行 师:例子简单但不失典型性，很好 问题2:那任何4条线段都能构成四边形吗, 生:一时语塞 师:具体的考察一下如何, 生:开始试 生11:不一定，你看(板演:夸张地画了一条长线段40，3条短线段5、10、15，形成反差，如图4) 图4 师:同学们看怎样,能构成四边形吗, 生(大笑):肯定不行 众师:这说明什么问题, 生:构成四边形的线段也需要讲条件 众师:对，根据刚才同学的反例给予的启示，结合
8、三角形的构成条件，我们猜想一下构成四边形的条件, 生12:任意三边之和大于第四边， 生13(反问):这不和三边关系一样吗, 生14:只要保证三条较短线段的和大于最长线段即可. 师(点睛):是的，它类似于三角形的构成条件，在识别时，可借助生14的说法去确定，可缩短求解历程.有了这个发现，我们就不愁判断任何4条线段能否构成四边形了 师(追问):5边形的构成条件我们能做出猜想吗,6边形呢,n边形呢, 生:(部分学生)任意n-1条边之和大于第n边;(部分学生)只要保证众n-1条较短线段的和大于最长的线段即可. 师:同学们使用类比，获得两种说法，都说得非常好，通过以上我们再次体会了一般与特殊的辩证关系.
9、 小试牛刀: 1(长度为1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的四条线段能构成四边形吗, 2(若一个四边形的三边长为2cm、3cm、11cm，则它第四条边长x的取值范围是 . 3 2 4 6 图5 3.(2009年台湾中考题)如图5，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何,( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 答案:1.能;2. 6 cm,x,16 cm;3.C. ,点评:学生画龙老师点睛体现了教为主导、学为主体的和谐教材中并无本段内
10、容但类似的问题在后续学习中时有出现故而执教者“风物长宜放眼量”以拓展为基发展学生的思维力类比三角形构成的条件探得多边形各边之间的关系.可见执教者组织的这段教学一定程度地体现了“用教材教而不是教教材”的现代理念.其中小试牛刀中的3很好地联通了四边形与三角形的互化关系透出执教者的良苦用心., 三:正反对照见真谛 出示特殊多边形图片(图6) 图6 问题1:这些图片集体呈现，较之前面的图片有何差异, 生15:正规，顺眼 师:对，这些图片长得比较匀称，但同学们知道它们叫什么吗, 生16:正正当当，应该叫正多边形吧, 师:这位同学真会会意，的确叫正多边形 问题2:你能根据这些图片说说怎样给正多边形一个界定
11、,生17:各边一样长 生18:不行，还需要各角一样大， 生19 :没必要，你看等边三角形，不就是正三角形吗，等边三角形怎么定义的,不就是各边都相等的三角形吗, 生18:你反问就能强词夺理了，你举的三角形只是一个特殊的图形，不能代表全体 生19(不服状):你说不行，举个例子让我们看看 生18:这还不好说，你看菱形，四条边相等吧,是吗, 生19:还真是的 (一番交锋后，达成共识) 各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形.说明:有几条边就叫正几边形，如下: 生20(冷不丁一句):只有各角都相等不行嘛, 生21(立刻回击):不行，比如一般的长方形，四个角都是直角，行吗, 生20(顿悟):噢知道了 图
12、7 师:同学们你来我往，辩驳的精彩，举出了很好的反例，让同学们心服口服.现在，老师也有个疑问，除了刚才举的反例，谁还能举出其它的反例, 这一下可难住了全体同学，学生一筹莫展，满脸疑惑 5分钟后，终于有人发言了 生22:先画一个正五边形，再把它压扁了或拉长了，因为五边形具有不稳定性，说着上黑板画图示7 图8 生:热烈的掌声 众生23(掌声未息，快步登台):看我的反例:一个正方形上放一个正三角形，擦去重合的边就行.(说着，画出图示8) 生(唏嘘一片):呀太经典了 众师:这是两个典型的各边相等但不是正多边形的反例，真了不起，不但五边形的不稳定性排上了用场，而且正多边形的组合也展示了魅力.哪谁还能举出
13、另外一类:即满足各角相等，但不是正多边形的反例, 图9 A B C D E /D /E 生24(稳操胜券的神态):这个好办，我受同学22的启发，把边动一动就/行了(图9中的ABCDE) (来了个大喘气，学生都翘首以待) 把边(DE)平移下来不就over了， 生(大部分如梦方醒):对呀，平移能把角转移啊，我们怎么没想到呢 ,点评:执教者瞅准时机在看似无疑处巧设疑问触动了学生的思维神经把学生引上求索之路.本段教学的精彩就在于此:学生的一番唇剑舌枪激烈的交锋在反正对照中达成了视界的融合对正多边形的概念的内涵与外延做了比较充分的交流从学生的表情可以看出情绪的高涨有效渗透了情感态度价值观目标.“真理愈辩
14、愈明”执教者搭建了放飞学生思维的平台学生们争先恐后登台竞技大展了个人风采., 四、凹凸谁来见证, 师(投影展示图形):观察以下图形，说说它们的异同, 图10 图11 图12 图13 生25:图10、11是四边形，而图12、13是5边形 生26:不对，图13从外边看是10边形，里面是5边形，还有三角形、四边形，这还真难说 生27:图13是个五角星，不过不标准 生28:图10、12都是往外鼓的，而图11、13有的地方往里陷 生29:图10、12都是丰满的，而图11、13则显得干瘪 师:说的都非常形象、具体，可见同学们的观察之仔细，从数学的角度来看，几边形问题本节开始就解决了，现在我们从凸凹的角度加
15、以区分(讲解凸多边形、凹多边形) 凸多边形与凹多边形 图14 图15 在图14(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形;而图14(2)就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形. 师:你能画一个凹五边形吗,一人板演，其他同学画在自己的练习本上，同位互查 (巡视、指导中) 生30:如图15 师:同学们画得不错，看来识辨凹多边形、凸多边形没太大问题.为了研究问题方便，以后没有特别说明，多边形是指凸多边形. ,点评:执教者一个开放的发问引发了学生的
16、仁者见仁智者见智发散了学生的思维加深对这些图形的多维认识最后落脚于“凹、凸”聚化了思维概念水到渠成.如此的同中求异、异中求同的对比给了学生话语权拉长了获知过程见证了执教者着力发展学生思维的育人理念, 五、共话多边形 问题1:多边形的定义及附件, 问题2:多边形的分类, 问题3:构成多边形的条件, 7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。问题4:正多边形的概念, 对称轴：x=问题5:整节课我们经常用到的数学思想方法是, 问题6:整节课我们多次用到的一种说明某一说法不合理的方法是, 问题7:若你来设计后面的教材，你能做出怎样的设想, (交流后达成共识): 问题1:(1)在同
17、一平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形称为n边形. (2)组成多边形的各条线段叫做多边形的边. (3)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.(4)多边形的边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (5)多边形的对角线:连接多边形的不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。对角线. 问题2:可分成凸多边形和凹多边形，没有特别说明，均指凸多边形 问题3:只要保证n-1条短线段的和大于最长的线段即可. 问题4:各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形. 问题5:类比、转化 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径
18、为辅助线.（圆心向弦作垂线）问题6:举反例. 问题7:安排多边形的内角和、外角和等的学习. ,点评:课堂小结是落叶归根的“根”执教者通过问题串引领学生共话多边形历数了知识技能、思想方法获取成功之愉悦实实在在地落成三维目标.其中的问题7把类比方法进一步迁移在本节即将落幕时为下一节课抹上一撇神秘.真可谓课尽意绵.再次透射出执教者敢于灵活驾驭教材的深厚功底, 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，【总评】: 4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。1、秉承概念教学乃重中之重的理念. 11.利用三角函数测高概念是数学的基石，是人进行思维的基本单
19、位，是数学学习的起点，对概念的准确把握可以说是衡量认知水平的第一标志. 李邦和院士一语道的:“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧(技巧不足道也”.有了这些认知，如何将“知”落实在“行”上才是关键教师往往在教上穷心竭力，而在学生的学上却显得有点绵软，不经意间就会忽略学生的学习方式和认知心理. 本节课不然，执教者把重心放在引导学生的学上，给了学生足够的话语权，在还原概念的形成过程、关注学生是如何获得数学概念、如何理解概念、以及概念与学生的生活经验、知识经验等的联系上浓墨重彩，这种师生、生生的纠结、交互、碰撞，把彻彻底底的一节抽象乏味的概念课，赋予灵动，焕发生机，从而澄明概念、深化概念.尤其是多边形与
20、正多边形的两个概念的教学，历经背景引入、丰富的例证、概括本质特征、试下定义、概念辨析(正例、反例)等悉心打磨，从具体到抽象，从偏颇到完善，执教者的主导作用与学生的主体参与和谐共进，不时擦出智慧的火花，这种深度的参与，使课堂变得鲜活，各个概念在一波三折、多维互动中落定. 2、类比引领，凸显其能. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。类比是数学的法宝.著名的数学大师波利亚曾说过“类比是获得发现的伟大源泉”;著名的日本物理学家论及，类比是一种创造性的思维形式;天文学家开普勒曾经说过:“我诊视类比胜于任何别的东西，它是最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的.”
21、这些论断都突出了类比的不菲作用.在数学知识体系中，概念不是孤立产生或存在的，诸概念之间往往有着十分密切的联系，特别是具有相似或相通关系的概念，用好类比可有拨云见日之效.本节课，执教者以三角形为先行组织者，通过类比自然过渡，在学生你一言我一语的修补、调整、精致等活动中，多边形及相关概念等浮出水面，在“类”中寻到一致，在“比”中透出差异，把个概念的内涵、外延搞了个澄澈 3.反例衬托，异彩纷呈. (1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.数学概念的学习过程中，出现认知的偏颇在所难免，而学生自己又往往难以察觉，为了澄清模糊认知，不仅需要
22、正面的例子深刻阐明，而且还需要合适的反例凸显概念的内核，突出概念的本质，在自我否定与自我认同的反复思辨中，明晰概念，以达到深刻理解和精致该概念的目的，从而优化学生的思维. 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。本节课，执教者除了不失时机地精心预设反例外，还钓出了意外生成反例的精彩.纵观上下可以发现，不期而遇的反例为概念的深化理解打开了通道，尤其是生22、23、24所举的三个反例，可谓“力透纸背、入木三分”.让人在惊诧之余，概念得以内化.的确，单靠老师直说白道，往往难以奏效;若有意识地引导学生寻找反例，让学生通过反例直击“盲点”，引发理智与冲动的交融，智慧与情感的碰撞，能有效消除思维“浅尝辄止”的隐忧. 著名数学家张奠宙先生说得好，“一个好例子，胜过一打名言”，正例突出概念的内涵，而反例揭示出概念的外延，它们的联手加深了对概念的认识和理解，此处反例的补正作用是正例所无法取代的.执教者通过本课玩转了反例，成为整堂课的亮点。