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1、2011年中考复习专题二次函数知识点总结二次函数专题 二次函数知识点 一、二次函数概念: 2yaxbxc,，abc1(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，a,0)的函数，叫做二次函数。 bc这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数a,0，而可以为零(二次函数的定义域是全体实数( 2yaxbxc,，2. 二次函数的结构特征: ? 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2( abc? 是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项( 二、二次函数的基本形式 2yax,1. 二次函数基本形式:的性质: a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号 开口方向 顶点坐标
2、对称轴 性质 yyx,0xx,0时，随的增大而增大;时，随 00 y，轴 a,0 向上 yxx,00的增大而减小;时，有最小值( yyx,0xx,0时，随的增大而减小;时，随00 y轴 ，a,0 向下 yxx,00的增大而增大;时，有最大值( 2yaxc,，2. 的性质: 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x,0yx,0yx时，随的增大而增大;时，随 0c y，轴 a,0 向上 x,0yxc的增大而减小;时，有最小值( x,0yx,0yx时，随的增大而减小;时，随0c y，轴 a,0 向下 x,0yxc的增大而增大;时，有最大值( 2yaxh,3. 的性质: ，左加右减。
3、 1 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,时，y随的增大而增大;xh,时，y随xh0 ，a,0 向上 X=h 的增大而减小;xh,时，y有最小值0( xxh,时，y随的增大而减小;xh,时，y随xh0 ，a,0 向下 X=h 的增大而增大;xh,时，y有最大值0( x2yaxhk,，4. 的性质: ，的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,yxh,y时，随x的增大而增大;时，随hk ，a,0 向上 X=h xh,ykx的增大而减小;时，有最小值( xh,yxh,y时，随x的增大而减小;时，随hk ，a,0 向下 X=h xh,ykx的增大而增大;时，有最大值( 三、二次
4、函数图象的平移 1. 平移步骤: 2yaxhk,，hk? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; ，2yax,hk? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: ，向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2. 平移规律 hk 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 22yaxhk,，yaxbxc,，四、二次函数与的比较 ，22yaxhk,，yaxbxc,，从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前，222bacb4,bac
5、b4,者，即，其中( yax,，hk,24aa24aa,2yaxbxc,，五、二次函数图象的画法 2 22yaxbxc,，yaxhk,，()五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴0c0c2hc，x0x0的交点、以及关于对称轴对称的点、与x轴的交点，(若与x轴，12没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). y画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与轴的交点. 2yaxbxc,，六、二次函数的性质 2,bbacb4, 1. 当a,0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶
6、点坐标为( x,2a24aa,bbbyyy当时，随x的增大而减小;当时，随x的增大而增大;当时，有最小x,x,x,2a2a2a24acb,值( 4a2,bbbacb4,ya,0 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为x,，顶点坐标为(当x,时，随,2a24aa2a,2bb4acb,yyxx的增大而增大;当x,时，随的增大而减小;当x,时，有最大值( 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 2yaxbxc,，abca,01. 一般式:(，为常数，); 2yaxhk,，()ahka,02. 顶点式:(，为常数，); yaxxxx,()()xxa,0x3. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标).
7、 1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2bac,40x有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a 1. 二次项系数 2yaxbxc,，a,0a二次函数中，作为二次项系数，显然( a,0aa ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; a,0aa ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( aaa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( b
8、2. 一次项系数 ba 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( a,0 ? 在的前提下， byb,0当时，即抛物线的对称轴在轴左侧; ,02abyb,0当时，即抛物线的对称轴就是轴; ,02a3 b当时，即抛物线对称轴在y轴的右侧( b,0,02a? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 a,0b当yb,0时，即抛物线的对称轴在轴右侧; ,02aby当b,0时，即抛物线的对称轴就是轴; ,02aby当b,0时，即抛物线对称轴在轴的左侧( ,02a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置( 总结: 3. 常数项c yy ? 当c,0时，抛物线与轴的交点在x轴上方，即抛物线与
9、轴交点的纵坐标为正; yy ? 当c,0时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为0; yy ? 当c,0时，抛物线与轴的交点在x轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( y 总结起来，c决定了抛物线与轴交点的位置( abc 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; x3. 已知抛
10、物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 x 1. 关于轴对称 22yaxbxc,，yaxbxc,x 关于轴对称后，得到的解析式是; 22yaxhk,yaxhk,，x关于轴对称后，得到的解析式是; ，y 2. 关于轴对称 22yaxbxc,，yaxbxc,，y 关于轴对称后，得到的解析式是; 22yaxhk,，yaxhk,，y关于轴对称后，得到的解析式是; ，3. 关于原点对称 22yaxbxc,，yaxbxc,，, 关于原点对称后，得到的解析式是; 22
11、yaxhk,，yaxhk,，, 关于原点对称后，得到的解析式是; ，4. 关于顶点对称 2b22yaxbxc,，yaxbxc,，, 关于顶点对称后，得到的解析式是; 2a22yaxhk,，yaxhk,，关于顶点对称后，得到的解析式是( ，4 mn 5. 关于点对称 ，22yaxhmnk,，,，,22yaxhk,，mn关于点对称后，得到的解析式是 ，a 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物
12、线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 22yaxbxc,，y,0axbxc，,0一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数: 2AxBx，00()xx,xx，,bac40时，图象与x轴交于两点，其中的是一元二次? 当，1212122bac,42axbxca，,00方程的两根(这两点间的距离. ABxx,，21a,0x? 当时，图象与轴只有一个交点; ,0x? 当时，图象与轴没有交点. 1y,0a,0xx 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; 2y,
13、0a,0xx当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( 2yaxbxc,，(0c)y2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，; 3. 二次函数常用解题方法总结: x? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; ? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2yaxbxc,，abcabc? 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合; x? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2axbxca，,(0)x? 与
14、二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数;a,0下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: ,0 x抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 两个交点 可零、可负 ,0x抛物线与轴只二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 有一个交点 ,0x轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 抛物线与交点 图像参考: 5 2y=2x2y=x2xy=22xy= -22y= -x2y=-2x2y=3(x+4)22+2y=2xy=3x2y=3(x-2)2y=2x2y=2x-422y=2xy=2(x-4)2y=2(x-4
15、)-32y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x6 十一、函数的应用 刹车距离,何时获得最大利润二次函数应用 ,最大面积是多少,二次函数考查重点与常见题型 1( 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 22已知以x为自变量的二次函数y,(m,2)x，m,m,2额图像经过原点， 则m的值是 2( 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 如图，如果函数y,kx，b的图像在第一、二、三象限内，那么函数 2y,kx，bx,1的图像大致是( ) y y y y 1 1 0 x o-1 x 0
16、x 0 -1 x A B C D 3( 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如: 5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x, ，求这条抛物线的解析式。 34( 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如: 32已知抛物线y,ax，bx，c(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与y轴交点的纵坐标是, (1)2确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5(考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符
17、号 c2例1 (1)二次函数y=ax+bx+c的图像如图1，则点M(b，)在( ) aA(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 2 (2)(2005年武汉市)已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图2所示，则下列结论:?a、b同号;?当x=1和x=3时，函数值相等;?4a+b=0;?当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 7 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键( 2例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x，0)，且1x2，与y轴的正半轴
18、的交11点在点(O，2)的下方(下列结论:?abO;?4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D(4个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式 22例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案:C 例4、(2006年烟台市)如图(单位:m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到2AB与CD重合(设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym( (1)写出y与x的关系式; (
19、2)当x=2，3.5时，y分别是多少, (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间,求抛物线顶点坐标、对称轴. 例5、(2005年天津市)已知抛物线152y=x+x-( 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴( (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长( 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系( 222例6.已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x，O)，B(x，O)两点(x?ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在，请你说明理由( (
20、1)解:如图?抛物线交x轴于点A(x，0)，B(x2，O)， 1则x?x=30，又?xO，xO，?30A=OB，?x=-3x( 212122 ?x?x=-3x=-3(?x=1. 1211x0，?x=-1(?(x=3( 112?点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 2 ?(二次函数的解析式为y-2x-4x-6( (2)存在点M使?MC0?ACO( (2)解:点A关于y轴的对称点A(1，O)， ?直线A，C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)( ?符合题意的x的范围为-1x0或Ox5( 当点M的横坐标满足-1xO或Ox?ACO( 8 12例
21、7、(04?青海湟中县实验区卷)“已知函数的图象经过点A(c，,2)， y,x，bx，c2求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。 (2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评: 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c，,2)”，就可以列出两个方程了，而
22、解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 12解答 (1)根据的图象经过点A(c，y,x，bx，c,2)，图象的对称轴是21,2，,2,cbcc,2,x=3，得 b,3,12,2,b,3,解得 ,c,2.,12所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 y,x,3x，2.212x,3，5,x,3,5.(2)在解析式中令y=0，得，解得 x,3x，2,01225,0)
23、所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3,5,0). 5令x=3代入解析式，得 y,28.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。152所以抛物线的顶点坐标为 y,x,3x，2(3,),22定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;5所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。 (3,)23. 圆的对称性:函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;
24、将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1 (2006年旅顺口区)已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2，BF=1(试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积( 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力(同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间( 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如
25、下表: 9 x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数( 增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,此时每日销售利润是多少元, 7.三角形的外接圆、三角形的外心。1525,kb，, 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b(则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达,220kb，,式为y=-x+40( 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x
26、)=-x+50x-400=-(x-25)+225( 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元( 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;(2)问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程( 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线(如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2(5 m处(绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶(已知学生丙的身高是1(5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A、当a0时A(1(5 m B(1(625 m 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。C(1(66 m D(1(67 m 分析:本题考查二次函数的应用 答案:B 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。10